RL並列回路の概要

RL並列回路とは、抵抗　 \(R\)　と自己インダクタンス　\(L\)　のコイルを、並列に接続した回路のことをいいます。

■　RL並列回路の電圧

RL並列回路では、抵抗　\(R\)　と　コイル　\(L\)　は並列に接続されているので、RとLにかかる電圧　\(E\)　は　同じ大きさの電圧　になります。

■　RL並列回路の電流

•　抵抗に流れる電流　\(\dot{I_R}\)　は

\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\)　[A]　

大きさは　\(I_R=\cfrac{E}{R}\)　[A]　

•　コイルに流れる電流　\(\dot{I_L}\)　は

\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{X_L}\)　[A]　

(\(X_L=ωL\))　なので

大きさは　\(I_L=\cfrac{E}{X_L}=\cfrac{E}{ωL}\)　[A]　

•　RL並列回路の全電流　\(\dot{I}\)　は抵抗とコイルに流れる電流の和になります。

\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}\)　[V]

大きさは　　\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}\)　[A]

■　RL並列回路のベクトルの描き方

RL並列回路のRとLにかかる電圧は同じ大きさなので、電圧を基準としてベクトルを描きます。

•　電圧を基準としてベクトルを描きます。

•　抵抗に流れる電流　\(\dot{I_R}\)　を電圧と同相に描きます。

•　コイルに流れる電流　\(\dot{I_L}\)　を電圧より　\(\cfrac{\pi}{2}\)　遅れて描きます。

•　\(\dot{I_R}\)　と　\(\dot{I_L}\)　のベクトル和が回路に流れる全電流　\(\dot{I}\)　になります。

RLの並列回路では、回路に流れる電流　\(\dot{I}\)　は電源電圧に対して遅れ電流になります。

■　RL並列回路の電圧・電流の大きさ

ベクトル図において　\(\dot{I_R}\)　\(\dot{I_L}\)　\(\dot{I}\)　は直角三角形ですから

三平方の定理を用いると回路の全電流　\(I\)　の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\)

\(I=\sqrt{\left(\cfrac{E}{R}\right)^2+\left(\cfrac{E}{X_L}\right)^2}\)

したがって、電源電圧　\(E\)　は

合成インピーダンスは　電圧と電流の比ですから

電圧の式

\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\)　[V]　から

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\)　[Ω]　　

(\(X_L=ωL\))　なので

■　RL並列回路のインピーダンス角

RL並列回路のベクトル図で、基準とする電圧　\(\dot{E}\)　に対する電流　\(\dot{I}\)　の位相差　\(θ\)　を　RL並列回路の　インピーダンス角　といいます。

\(\tanθ=\cfrac{-I_L}{I_R}=\cfrac{-\cfrac{E}{X_L}}{\cfrac{E}{R}}=-\cfrac{R}{X_L}\)

次の回路は記号法によるRL並列回路です。

■　直交座標表示

\(jX_L=jωL\)　誘導性リアクタンス

抵抗　\(R\)　を流れる電流　\(\dot{I_R}\)　は、電圧　\(\dot{E}\)　と同相なので

\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\)　[A]　

コイル　\(L\)　を流れる電流　\(\dot{I_L}\)　は電圧　\(\dot{E}\)　より、\(\cfrac{π}{2}\)　[rad]　位相が遅れます。

\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{jX_L}=-j\cfrac{\dot{E}}{X_L}=-j\cfrac{\dot{E}}{ωL}\)　[A]　

回路全体の電流　\(\dot{I}\)　は、RL並列接続では各電流　\(\dot{I_R}\)　と　\(\dot{I_L}\)　の和になりますから

\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}\)\(=\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{jX_L}}}\right)\dot{E}\)　[A]　

\(X_L=ωL\)　なので

\(\dot{I}=\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{jωL}}}\right)\dot{E}\)　[A]　

電圧　\(\dot{E}\)　は

\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+{\cfrac{1}{jX_L}}}\)

\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jωL}}\)　[V]　になります。

インピーダンス　\(\dot{Z}\)　は

\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}}\)　[Ω]　になります。

■　極座標表示

\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\angle 0\)　[A]　　(電圧　\(\dot{E}\)　と同相)

\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{X_L}\angle -\cfrac{π}{2}\)　[A]　　(電圧　\(\dot{E}\)　より　\(\cfrac{π}{2}\)　遅れ)

\(\dot{I}\angle -θ（シータ）\)　[A]

並列回路の力率はインピーダンスで求めるときに

\(\cosθ=\cfrac{I_R}{I}=\cfrac{Z}{R}\)　になりますので注意が必要です。

直列回路のときは

\(\cosθ=\cfrac{R}{Z}\)　になります。

■　RL並列回路の公式

ベクトル
\(X_L=ωL\)　[Ω]　　

\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\)　[A]　

\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{ωL}\)　[A]　

\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}\)　[A]

記号法
\(jX_L=jωL\)　[Ω]

\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\)　[A]　

\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{jX_L}=\cfrac{\dot{E}}{jωL}\)　[A]　

\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}\right)\)　[A]　

\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jωL}\right)\)　[A]　

\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}}\)　[V]　

\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jωL}}\)　[V]　

\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}}\)　[Ω]

\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jωL}}\)　[Ω]　

大きさ
\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(X_L)^2}}\)　[A]

\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}\)　[A] 　
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\)　[V]　

\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}}\)　[V]　　

\(Z=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\)　[Ω]　

\(Z=\cfrac{RX_L}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\)　[Ω]　

\(Z=\cfrac{RωL}{\sqrt{R^2+{(ωL)}^2}}\)　[Ω]