抵抗とコイルを並列に接続したRL並列回路について、電圧、電流、インピーダンスの関係について説明します。
RL並列回路とRC並列回路の考え方は、コイルとコンデンサの違いだけで基本的には同じです。
RL並列回路の概要
RL並列回路とは、抵抗 \(R\) と自己インダクタンス \(L\) のコイルを、並列に接続した回路のことをいいます。
■ RL並列回路の電圧
RL並列回路では、抵抗 \(R\) と コイル \(L\) は並列に接続されているので、RとLにかかる電圧 \(E\) は 同じ大きさの電圧 になります。
■ RL並列回路の電流
• 抵抗に流れる電流 \(\dot{I_R}\) は
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
大きさは \(I_R=\cfrac{E}{R}\) [A]
• コイルに流れる電流 \(\dot{I_L}\) は
\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{X_L}\) [A]
(\(X_L=ωL\)) なので
大きさは \(I_L=\cfrac{E}{X_L}=\cfrac{E}{ωL}\) [A]
• RL並列回路の全電流 \(\dot{I}\) は抵抗とコイルに流れる電流の和になります。
\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}\) [V]
\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{X_L}\right)\) [A]
\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{ωL}\right)\) [A]
大きさは \(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}\) [A]
RL並列回路のベクトル図
■ RL並列回路のベクトルの描き方
RL並列回路のRとLにかかる電圧は同じ大きさなので、電圧を基準としてベクトルを描きます。
• 電圧を基準としてベクトルを描きます。
• 抵抗に流れる電流 \(\dot{I_R}\) を電圧と同相に描きます。
• コイルに流れる電流 \(\dot{I_L}\) を電圧より \(\cfrac{\pi}{2}\) 遅れて描きます。
• \(\dot{I_R}\) と \(\dot{I_L}\) のベクトル和が回路に流れる全電流 \(\dot{I}\) になります。
RLの並列回路では、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は電源電圧に対して遅れ電流になります。
RL並列回路の電圧・電流の大きさ
■ RL並列回路の電圧・電流の大きさ
ベクトル図において \(\dot{I_R}\) \(\dot{I_L}\) \(\dot{I}\) は直角三角形ですから
三平方の定理を用いると回路の全電流 \(I\) の大きさは
\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\)
\(I=\sqrt{\left(\cfrac{E}{R}\right)^2+\left(\cfrac{E}{X_L}\right)^2}\)
\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}\) [A]
\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}\) [A]
したがって、電源電圧 \(E\) は
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\) [V]
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}}\) [V] になります。
RL並列回路の合成インピーダンスの大きさ
合成インピーダンスは 電圧と電流の比ですから
電圧の式
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\) [V] から
\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\) [Ω]
(\(X_L=ωL\)) なので
\(Z=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}}\) [Ω] になります。
■ RL並列回路のインピーダンス角
RL並列回路のベクトル図で、基準とする電圧 \(\dot{E}\) に対する電流 \(\dot{I}\) の位相差 \(θ\) を RL並列回路の インピーダンス角 といいます。
\(\tanθ=\cfrac{-I_L}{I_R}=\cfrac{-\cfrac{E}{X_L}}{\cfrac{E}{R}}=-\cfrac{R}{X_L}\)
\(θ=\tan^{-1}-\cfrac{R}{X_L}\) [rad]
RL並列回路の記号法
交流を複素数で表す方法を 記号法 といいます。
次の回路は記号法によるRL並列回路です。
■ 直交座標表示
\(jX_L=jωL\) 誘導性リアクタンス
抵抗 \(R\) を流れる電流 \(\dot{I_R}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と同相なので
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
コイル \(L\) を流れる電流 \(\dot{I_L}\) は電圧 \(\dot{E}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が遅れます。
\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{jX_L}=-j\cfrac{\dot{E}}{X_L}=-j\cfrac{\dot{E}}{ωL}\) [A]
■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所
- 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
- \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか
■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)（オメガ）の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。
これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。
- \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
- \(-j\) は時計方向に90°移動します。
回路全体の電流 \(\dot{I}\) は、RL並列接続では各電流 \(\dot{I_R}\) と \(\dot{I_L}\) の和になりますから
\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}\)\(=\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{jX_L}}}\right)\dot{E}\) [A]
\(X_L=ωL\) なので
\(\dot{I}=\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{jωL}}}\right)\dot{E}\) [A]
電圧 \(\dot{E}\) は
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+{\cfrac{1}{jX_L}}}\)
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jωL}}\) [V] になります。
インピーダンス \(\dot{Z}\) は
\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}}\) [Ω] になります。
■ 極座標表示
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\angle 0\) [A] (電圧 \(\dot{E}\) と同相)
\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{X_L}\angle -\cfrac{π}{2}\) [A] (電圧 \(\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 遅れ)
\(\dot{I}\angle -θ（シータ）\) [A]
並列回路の力率について
並列回路の力率はインピーダンスで求めるときに
\(\cosθ=\cfrac{I_R}{I}=\cfrac{Z}{R}\) になりますので注意が必要です。
直列回路のときは
\(\cosθ=\cfrac{R}{Z}\) になります。
RL並列回路の公式
■ RL並列回路の公式
ベクトル
\(X_L=ωL\) [Ω]
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{ωL}\) [A]
\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}\) [A]
記号法
\(jX_L=jωL\) [Ω]
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{jX_L}=\cfrac{\dot{E}}{jωL}\) [A]
\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}\right)\) [A]
\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jωL}\right)\) [A]
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}}\) [V]
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jωL}}\) [V]
\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}}\) [Ω]
\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jωL}}\) [Ω]
大きさ
\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(X_L)^2}}\) [A]
\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}\) [A]
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\) [V]
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{(ωL)^2}}}\) [V]
\(Z=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\) [Ω]
\(Z=\cfrac{RX_L}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\) [Ω]
\(Z=\cfrac{RωL}{\sqrt{R^2+{(ωL)}^2}}\) [Ω]
練習問題
■ 問題１
抵抗 \(R=16\) {Ω}、誘導リアクタンス \(X_L=12\) [Ω] の並列回路の合成インピーダンスを求めよ。
＜解答例＞
並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は
\(Z=\cfrac{RX_L}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\)
\(Z=\cfrac{16×12}{\sqrt{16^2+12^2}}\)
\(Z=\cfrac{192}{20}=9.6\) [Ω]
■ 問題２
抵抗 \(R=3\) {Ω}、誘導リアクタンス \(X_L=4\) [Ω] の並列回路に、電圧 100 [V]
を加えたときに回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。
＜解答例＞
合成インピーダンス \(Z\) は
\(Z=\cfrac{RX_L}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\)
\(Z=\cfrac{3×4}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(Z=\cfrac{12}{5}=2.4\) [Ω]
電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{E}{Z}\)\(=\cfrac{100}{2.4}\)\(≒41.7\) [A]
■ 問題３
次の回路の力率を求めよ。
＜解答例＞
力率は、次の式で求められるので、抵抗に流れる電流 \(I_R\) が分かれば力率を求められます。
\(\cosθ=\cfrac{I_R}{I}\)
コイルに流れる電流 \(I_L=\cfrac{120}{12}=10\) [A] になります。
回路に流れる電流は、12.5 Aと分かっているので、抵抗に流れる電流は「三平方の定理」から次のように、求められます。
\(12.5^2=10^2+{I_R}^2\)
\({I_R}^2=7.5^2\)
\(I_R=7.5\)
力率は \(\cosθ=\cfrac{I_R}{I}\) の式から
\(\cosθ=\cfrac{7.5}{12.5}=0.6\)
従って、力率は 60％ になります。