RL並列回路の概要




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RL並列回路の概要

RL並列回路とは、抵抗 \(R\) [Ω]と自己インダクタンス \(L\) [H] のコイルを、並列に接続した回路のことをいいます。

RL並列回路の電圧と電流

上の図のようなRL並列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したときの特徴は次のようなものです。

  • 並列回路では、抵抗 \(R\) とコイル \(L\) に掛かる電圧 \(\dot{E}\) は同じになります。
  • 抵抗に流れる電流 \(\dot{I_R}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と同相になります。
  • コイルに流れる電流 \(\dot{I_L}\) は、電圧 \(\dot{E}\) に対して \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 遅れます。
RL並列回路では抵抗とコイルに対して、電圧が共通になります。

電流について
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]

\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{X_L}\) [A]

RL並列回路の全体の電流 \(\dot{I}\) は、各電流の「ベクトルの和」になります。

\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}\) [A]

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R}+\cfrac{\dot{E}}{X_L}\)

\(\dot{I}=\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{X_L}\right)×\dot{E}\) [A] になります。

この式から、インピーダンス \(\dot{Z}\) は
\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{I}}\)

\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{X_L}}\) [Ω] になります。

RL並列回路のベクトル図

抵抗 \(R\) とコイル \(L\) の並列接続では、回路の抵抗とコイルに掛かる電圧 \(\dot{E}\) が同じなので、電圧 \(\dot{E}\) を「基準」にして、各端子に流れる電流をベクトル図にすると、次のようになります。

RL並列回路では、各素子に掛かる電圧が同じになるので、電圧 \(\dot{E}\) を基準にすると、抵抗 \(R\) に流れる電流 \(\dot{I_R}\) は電圧 \(\dot{E}\) と同相になります。

また、コイルに流れる電流 \(\dot{I_L}\) は、電圧 \(\dot{E}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 遅れます。

位相 \(θ\) は、インピーダンスの種類と大きさによって変化します。

RL並列回路の各電流の大きさ


RL並列回路のベクトル図で、\(I_R・I_L・I\) は直角三角形ですから三平方の定理を用いると

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\)

\(I=\sqrt{\left(\cfrac{E}{R}\right)^2+\left(\cfrac{E}{X_L}\right)^2}\)=\(\sqrt{E^2\left(\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}\right)}\)

\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}\) [A]

したがって、電圧 \(E\) の大きさは
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\) [V]

また、\(X_L=ωL\) ですから
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{(ωL)}^2}}}\) [V] になります。

RL並列回路のインピーダンスの大きさ

RL並列回路のオームの法則

RL並列回路の電圧 \(E\)、電流 \(I\)、インピーダンス \(Z\) の間には、オームの法則が成り立ちます。

RL並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、電圧 \(E\) と電流 \(I\) の比になりますから

\(E=ZI=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\) [V]

\(I=\cfrac{E}{Z}=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}\) [A]

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_L}^2}}}\) [Ω]

\(Z=\cfrac{RX_L}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\)=\(\cfrac{RωL}{\sqrt{R^2+{(ωL)}^2}}\) [Ω]  ただし、\(X_L=ωL\)

RL並列回路のインピーダンス角

上のインピーダンスの関係図からインピーダンス角は、次のように表されます。

\(\tan θ=\cfrac{-I_L}{I_R}=-\cfrac{R}{X_L}\)

\(θ=\tan^{-1}-\cfrac{R}{X_L}=\tan^{-1}-\cfrac{R}{ωL}\) [rad] になります。

記号法によるRL並列回路

交流を複素数で表す方法を「記号法」といいます。

RL並列回路では、抵抗 \(R\) と自己インダクタンス \(L\) [H] のコイルに掛かる電圧が同じになりますので、電圧 \(\dot{E}\)を基準にします。

直交座標表示

●抵抗 \(R\) を流れる電流 \(\dot{I_R}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と同相なので

\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]

●コイル \(L\) を流れる電流 \(\dot{I_L}\) は電圧 \(\dot{E}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が遅れます。

\(\dot{I_L}=-j\cfrac{\dot{E}}{X_L}=\cfrac{\dot{E}}{jX_L}\) [A]

虚数単位
\(j\) は虚数単位で、\(j=\sqrt{-1}\)
\(-j\) を掛けることは、現在の位置から時計方向に \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 回転させることを意味します。

●回路全体の電流 \(\dot{I}\) は、RL並列接続では各電流 \(\dot{I_R}\) と \(\dot{I_L}\) の和になりますから

\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}\)=\(\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{jX_L}}}\right)\dot{E}\) [A]

\(X_L=ωL\) なので

\(\dot{I}=\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{jωL}}}\right)\dot{E}\) [A]

電圧 \(\dot{E}\) は

\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+{\cfrac{1}{jX_L}}}\) [V]

\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{jωL}}}\right)}=\) [V] になります。

極座標表示

\(\dot{I_R}=\cfrac{E}{R}\angle 0\) [A]  (電圧 \(\dot{E}\) と同相)

\(\dot{I_L}=\cfrac{E}{X_L}\angle -\cfrac{π}{2}\) [A]  (電圧 \(\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 遅れ)

例題

問題1
●抵抗 \(R=16\) {Ω}、誘導リアクタンス \(X_L=12\) [Ω] の並列回路の合成インピーダンスを求めよ。

解答
並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\cfrac{RX_L}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\)

\(Z=\cfrac{16×12}{\sqrt{16^2+12^2}}\)

\(Z=\cfrac{192}{20}=9.6\) [Ω]

問題2
●抵抗 \(R=3\) {Ω}、誘導リアクタンス \(X_L=4\) [Ω] の並列回路に、電圧 100 [V] を加えたときに回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。

解答
合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\cfrac{RX_L}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\)

\(Z=\cfrac{3×4}{\sqrt{3^2+4^2}}\)

\(Z=\cfrac{12}{5}=2.4\) [Ω]

電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{2.4}\)\(≒41.7\) [A]

問題3
●次の回路の、力率を求めよ。

解答
力率は、次の式で求められるので、抵抗に流れる電流\(I_R\)が分かれば力率を求められます。

\(\cosθ=\cfrac{I_R}{I}\)

コイルに流れる電流\(I_L=\cfrac{120}{12}=10 A\)になります。

回路に流れる電流は、12.5 Aと分かっているので、抵抗に流れる電流は「三平方の定理」から次のように、求められます。

\(12.5^2=10^2+{I_R}^2\)

\({I_R}^2=7.5^2\)

\(I_R=7.5 A\)

力率は\(\cosθ=\cfrac{I_R}{I}\)の式から

\(\cosθ=\cfrac{7.5}{12.5}=0.6\)

従って、力率は 60%になります。

以上で「RL並列回路の概要」の説明を終わります。




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