この記事で書いていること
抵抗とコイルを直列に接続したRL直列回路について、電圧、電流、インピーダンスの関係について説明します。
RL直列回路とRC直列回路の考え方は、コイルとコンデンサの違いだけで基本的には同じです。
RL直列回路の概要
RL直列回路とは、抵抗 \(R\) と コイル \(L\) を直列に接続した回路のことをいいます。
■ RL直列回路の電流
RL直列回路では、抵抗 \(R\) と コイル \(L\) は
直列に接続されているので
RL直列回路に流れる電流 \(I\) は 同じ電流 になります。
■ RL直列回路の電圧
抵抗の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]
大きさは \(V_R=RI\) [V]
コイルの端子電圧 \(\dot{V_L}\) は
\(\dot{V_L}=X_L\dot{I}\) [V]
(\(X_L=ωL\)) なので
大きさは \(V_L=X_LI=ωLI\) [V]
RL直列回路の全電圧 \(\dot{E}\) は抵抗とコイルの各端子電圧の和になります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}\) [V]
\(\dot{E}=(R+X_L)\dot{I}\) [V]
\(\dot{E}=(R+ωL)\dot{I}\) [V]
大きさは \(E=I\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) [V]
RL直列回路のベクトル図
■ RL直列回路のベクトルの描き方
RL直列回路では 流れる電流 \(\dot{I}\) が同じなので
電流を基準としてベクトルを描きます。
• 電流を基準ベクトルとして描きます。
抵抗の端子電圧 \(\dot{V_R}\) を電流と同相に描きます。
\(\dot{V_R}\) の長さは、矢印の始点からの長さです。
コイルの端子電圧 \(\dot{V_L}\) を電流より \(\cfrac{\pi}{2}\) 進めて描きます。
\(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_L}\) のベクトル和が電源電圧 \(\dot{E}\) になります。
RL直列回路では、電源電圧に対して遅れ電流が流れます。
RL直列回路の電圧・電流の大きさ
■ RL直列回路の電圧・電流の大きさ
ベクトル図において \(\dot{V_R}\) \(\dot{V_L}\) \(\dot{E}\) は直角三角形ですから
三平方の定理を用いると回路の全電圧 \(E\) の大きさは
\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_L}^2}=\sqrt{(RI)^2+(X_LI)^2}\)
\(E=I\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) [V]
\(E=I\sqrt{R^2+(ωL)^2}\) [V]
したがって、回路に流れる電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\) [A]
\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(ωL)^2}}\) [A] になります。
RL直列回路の合成インピーダンスの大きさ
合成インピーダンスは 電圧と電流の比ですから
電圧の式
\(E=I\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) [V] から
\(Z=\cfrac{E}{I}=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) [Ω]
\(X_L=ωL\) なので
\(Z=\sqrt{R^2+(ωL)^2}\) [Ω] になります。
■ RL直列回路のインピーダンス角
RL直列回路のベクトル図で、基準とする電流 \(\dot{I}\) に対する電圧 \(\dot{E}\) の位相差 \(θ\) を RL直列回路の インピーダンス角 といいます。
\(\tanθ=\cfrac{V_L}{V_R}=\cfrac{X_LI}{RI}=\cfrac{X_L}{R}\)
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{X_L}{R}\) [rad]
RL直列回路の記号法
交流を複素数で表す方法を 記号法 といいます。
次の回路は記号法によるRL直列回路です。
■ 直交座標表示
\(jX_L=jωL\) 誘導性リアクタンス
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は、電流 \(\dot{I}\) と同相なので
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]
コイル \(L\) の端子電圧 \(\dot{V_L}\) は電流 \(\dot{I}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が進みます。
\(\dot{V_L}=jX_L\dot{I}=jωL\dot{I}\) [V]
■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所
- 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
- \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか
■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)（オメガ）の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。
これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。
- \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
- \(-j\) は時計方向に90°移動します。
回路全体の電圧 \(\dot{E}\) は、RL直列回路では各端子電圧 \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_L}\) の和になりますから
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}\) [V]
\(\dot{E}=(R+jX_L)\dot{I}\) [V]
\(\dot{E}=(R+jωL)\dot{I}\) [V]
したがって、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R+jX_L}\) [A]
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R+jωL}\) [A] になります。
インピーダンス \(\dot{Z}\) は
\(\dot{Z}=R+jωL\) になります。
■ 極座標表示
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\angle 0\) [V] (電流 \(\dot{I}\) と同相)
\(\dot{V_L}=X_LI\angle \cfrac{π}{2}\) [V] (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 進み)
\(\dot{E}\angle+θ（シータ）\) [V]
■ インピーダンスベクトル図
インピーダンスの関係を、図のように表したものを、インピーダンスベクトル図、または インピーダンス三角形 といいます。
インピーダンス \(\dot{Z}\) は 電圧と電流の比ですから
\(\dot{E}=(R+jX_L)\dot{I}\) [V]
\(\dot{Z}=R+jX_L\) [Ω]
\(\dot{Z}=R+jωL\) [Ω] になります。
■ インピーダンス角 \(θ\)
インピーダンスベクトル図から、インピーダンス角 \(θ\) [rad] は
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{X_L}{R}\) または
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{ωL}{R}\) [rad] になります。
直列回路の力率について
直列回路の力率はインピーダンスで求めるときに
\(\cosθ=\cfrac{V_R}{E}=\cfrac{R}{Z}\) になります。
並列接続のときは
\(\cosθ=\cfrac{Z}{R}\) になります。
RL直列回路の公式
■ RL直列回路の公式
ベクトル
\(X_L=ωL\) [Ω]
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]
\(\dot{V_L}=X_L\dot{I}=ωL\dot{I}\) [V]
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}\) [V]
記号法
\(jX_L=jωL\) [Ω]
\(\dot{V_L}=jX_L\dot{I}=jωL\dot{I}\) [V]
\(\dot{E}=(R+jX_L)\dot{I}\) [V]
\(\dot{E}=(R+jωL)\dot{I}\) [V]
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R+jX_L}\) [A]
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R+jωL}\) [A]
\(\dot{Z}=R+jX_L\)
\(\dot{Z}=R+jωL\) [Ω]
大きさ
\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_L}^2}\) [V]
\(E=I\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) [V]
\(E=I\sqrt{R^2+(ωL)^2}\) [V]
\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\)
\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(ωL)^2}}\) [A]
\(Z=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) [Ω]
\(Z=\sqrt{R^2+(ωL)^2}\) [Ω]
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{ωL}{R}\) [rad]
練習問題
問題１
抵抗 \(4\) [Ω] と自己インダクタンス\(10\) [mH] のコイルの直列回路がある。
この回路に、電圧 \(120\) [V]、周波数 \(\cfrac{150}{\pi}\) [Hz] の電圧を加えたときの合成インピーダンス \(Z\) の大きさと消費電力 \(P\) を求めよ。
＜解答例＞
RL直列回路の合成インピーダンスは
\(Z=\sqrt{R^2+(ωL)^2} 、ω=2πf\) になります。
コイルのリアクタンスを \(X_L\) とすると
\(X_L=2×\pi×\cfrac{150}{\pi}×10×10^{-3}=3\) [Ω]
数値を当てはめると
\(Z=\sqrt{4^2+3^2}=5\) [Ω]
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{5}=20\) [A]
消費電力は抵抗で消費する電力になります。コイルは電力を消費しません。
\(P=RI^2=4×20^2=1600\) [W]
問題２
図のような回路において、抵抗 \(8\) [Ω] とインダクタンス \(6\) [Ω] の各端子電圧 \(V_R、V_L\) を求めよ。
＜解答例＞
RL直列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、次のようになります。
\(Z=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) で求められます。
\(Z=\sqrt{8^2+6^2}\)\(=\sqrt{100}=10\) [Ω] になります。
回路に流れる電流は、オームの法則で求められます。
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{10}=10\) [A]
各端子の電圧のベクトル図は次のようになります。
抵抗の端子電圧は
\(V_R=8×10=80\) [V]
コイルの端子電圧は
\(V_L=6×10=60\) [V]
問題３
図のような回路において、交流 \(E=100\) [V] の電圧を加えたところ抵抗 \(20\) [Ω] の端子電圧が \(80\) [V] になりました。
回路に流れる電流 \(I\) [A] とコイルのリアクタンス \(X_L\) [Ω]、回路全体のインピーダンス \(Z\) [Ω] の大きさを求めよ。
＜解答例＞
抵抗 \(20\) [Ω] の端子電圧から、オームの法則により電流を求めることができます。
\(I=\cfrac{V_R}{R}=\cfrac{80}{20}=4\) [A]
RL直列回路ですから、電流 \(I\) は回路を流れる電流と同じものになります。
RL直列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、次のようになります。
\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{100}{4}=25\) [Ω] で求められます。
コイルのリアクタンスは、インピーダンスの式から求められます。
\(Z=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\)
\(25=\sqrt{20^2+{X_L}^2}\)
\({X_L}^2=25^2-20^2=15^2\)
\(X_L=15\) [Ω] になります。
以上で「RL直列回路の概要」の説明を終わります。