RL直列回路の概要




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RL直列回路の概要

RL直列回路とは、次の図のように抵抗 \(R\) [Ω] と自己インダクタンス \(L\) [H] のコイルを、直列に接続した回路のことをいいます。

RL直列回路の電圧と電流

上図のようなRL直列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したとき、RL直列回路に流れる電流を \(\dot{I}\) とします。

電流について
RL直列回路では、抵抗 \(R\) とコイル \(L\) は直列に接続されているので、RL直列回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は「同じ値」になります。

電圧の関係
各素子の端子電圧と電源電圧の関係は、次のようになります。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) とすると
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

コイル \(L\) の端子電圧 \(\dot{V_L}\) とすると
\(\dot{V_L}=X_L\dot{I}=ωL\dot{I}\) [V]

電源電圧を \(\dot{E}\) とすると
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}\) [V]

\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}=R\dot{I}+X_L\dot{I}=(R+X_L)\dot{I}\) [V] になります。

電源電圧 \(\dot{E}\) は、直列接続なので、各端子電圧の「ベクトルの和」になります。

RL直列回路のベクトル関係

抵抗 \(R\) とコイル \(L\) の直列接続では、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) が同じなので、電流 \(\dot{I}\) を「基準」にしてそれぞれの端子電圧をベクトル図にすると、次のようになります。

RL直列回路では、回路を流れる電流 \(\dot{I}\) が同じなので電流 \(\dot{I}\) を基準にすると、抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は電流 \(\dot{I}\) と同相になります。

また、コイルの端子電圧 \(\dot{V_L}\) は、電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進みます。

電源電圧 \(\dot{E}\) の位相 \(θ\) は、インピーダンスの種類と大きさによって変化します。

RL直列回路の各電圧の大きさ


RL直列回路のベクトル図で、\(V_R・V_L・E\) は直角三角形ですから三平方の定理を用いると

\(E^2={V_R}^2+{V_L}^2\)

\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_L}^2}\)=\(\sqrt{(RI)^2+(X_LI)^2}\)=\(\sqrt{I^2R^2+{X_L}^2I^2}\)

\(E=I\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) [V]

したがって、回路に流れる電流Iの大きさは
\(I=\cfrac{V}{\sqrt{{R^2}+{X_L}^2}}\) [A]

また、\(X_L=ωL\) ですから
\(I=\cfrac{V}{\sqrt{{R^2}+(ωL)^2}}\) [A] になります。

RL直列回路のインピーダンスの大きさ

RL直列回路のオームの法則

RL直列回路の電圧 \(E\)、電流 \(I\)、インピーダンス \(Z\) の間には、オームの法則が成り立ちます。

RL直列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、電圧 \(E\) と電流 \(I\) の比になりますから

\(E=ZI=\sqrt{R^2+{X_L}^2} I\) [V]

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{V}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\) [A]

\(Z=\cfrac{E}{I}=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) [Ω]

\(Z=\sqrt{R^2+(ωL)^2}\)  ただし、\(X_L=ωL\)

RL直列回路のインピーダンス角

抵抗 \(R\) 、コイルのリアクタンス \(X_L\)、インピーダンス \(Z\) の関係を示すと、次の図のようになります。

上のインピーダンスの関係の図からインピーダンス角は、次のように表されます。

\(\tan θ=\cfrac{V_L}{V_R}=\cfrac{X_L}{R}=\cfrac{ωL}{R}\)

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{X_L}{R}=\tan^{-1}\cfrac{ωL}{R}\) [rad] になります。

記号法によるRL直列回路

交流を複素数で表す方法を「記号法」といいます。

RL直列回路では、抵抗 \(R\) と自己インダクタンス \(L\) [H] のコイルに流れる電流が同じになりますので、電流 \(\dot{I}\)を基準にします。

各端子電圧を記号法を使って表すと、次のようになります。

直交座標表示

●抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は、電流 \(\dot{I}\) と同相なので
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

●コイル \(L\) の端子電圧 \(\dot{V_L}\) は電流 \(\dot{I}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が進みます。
\(\dot{V_L}=jX_L\dot{I}\)

虚数単位
\(j\) は虚数単位で、\(j=\sqrt{-1}\)
\(j\) を掛けることは、元の位置から反時計方向に \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 回転させることを意味します。

●回路全体の電圧 \(\dot{E}\) は、RL直列接続では各端子電圧 \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_L}\) の和になりますから
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}\)=\(R\dot{I}+jX_L\dot{I}\)=\((R+jX_L)\dot{I}\) [V]

\(X_L=ωL\) なので
\(\dot{E}=(R+jωL)\dot{I}\) [V]

したがって、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{R+jX_L}\) [A]

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{R+jωL}\) [A] になります。

極座標表示

\(\dot{V_R}=RI\angle 0\) [V]  (電流 \(\dot{I}\) と同相)

\(\dot{V_L}=X_LI\angle \cfrac{π}{2}\) [V]  (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 進み)

インピーダンスベクトル図

インピーダンスの関係を、図で表すと次のようになります。

この図のように表したものを、インピーダンスベクトル図、またはインピーダンス三角形といいます。

RL直列回路で電圧 \(\dot{E}\) と電流 \(\dot{I}\) の関係は
\(\dot{E}=(R+jX_L)\dot{I}\) [V] です。

合成インピーダンスを \(\dot{Z}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と電流 \(\dot{I}\) の比で求められます。

\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{I}}=R+jX_L=R+jωL\) [Ω] になります。

合成インピーダンス \(\dot{Z}\) の複素数は、実数部が \(R\) で、虚数部が \(jX_L\) ですから、上のようなベクトル図になります。

●インピーダンス角 \(θ\)

インピーダンスベクトル図から、インピーダンス角 \(θ\) [rad] は
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{X_L}{R}\) [rad] または

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{ωL}{R}\) [rad] になります。

例題

問題1
抵抗 5[Ω]と自己インダクタンス 10[mH] のコイルの直列回路がある。

この回路に、周波数 50[Hz] の電圧を加えたときの合成インピーダンスの大きさを求めよ。

解答
RL直列回路の合成インピーダンスは

\(Z=\sqrt{R^2+(ωL)^2} 、ω=2πf\) になります。

数値を当てはめると
\(Z=\sqrt{5^2+(2×3.14×50×10×10^{-3})^2}\)

\(Z=\sqrt{25+9.86}≒5.9\) [Ω]

問題2
図のような回路において、抵抗 8[Ω]とインダクタンス 6[Ω] の各端子電圧 \(V_R、V_L\) を求めよ。

解答
RL直列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、次のようになります。

\(Z=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\) で求められます。

\(Z=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\) [Ω] になります。

回路に流れる電流は、オームの法則で求められます。

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{10}=10\) [A] 

抵抗の端子電圧は
\(V_R=8×10=80\) [V]

コイルの端子電圧は
\(V_L=6×10=60\) [V]

問題3
図のような回路において、交流 \(E=100\) [V] の電圧を加えたところ抵抗 20[Ω] の端子電圧が 80[V] になりました。

回路に流れる電流 \(I\) [A] とコイルのリアクタンス \(X_L\) [Ω]、回路全体のインピーダンス \(Z\) [Ω] の大きさを求めよ。

解答
抵抗 20[Ω] の端子電圧から、オームの法則により電流を求めることができます。

\(I=\cfrac{V_R}{R}=\cfrac{80}{20}=4\) [A]

RL直列回路ですから、電流 \(I\) [A] は回路を流れる電流と同じものになります。

RL直列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、次のようになります。

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{100}{4}=25\) [Ω] で求められます。

コイルのリアクタンスは、インピーダンスの式から求められます。

\(Z=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\)

\(25=\sqrt{20^2+{X_L}^2}\)

\({X_L}^2=25^2-20^2=15^2\)

\(X_L=15\) [Ω] になります。

となります。

以上で「RL直列回路の概要」の説明を終わります。




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