RLC並列共振回路




この記事は次の項目について書いています。(この記事は2019/7/28に更新されました。)

  • RLC並列共振とは何のこと?
  • RLC並列共振回路の共振周波数
  • RLC並列共振回路の電圧と電流とインピーダンス

RLC並列共振とは何のこと?

次の回路図は「RLC並列回路」「RLC並列共振回路」です。

見たところ違いはありませんね。
実は、回路の周波数が違います。

RLC並列回路の「ある特別な状態の時」を RLC並列共振回路 といいます。

コイルのリアクタンスは \(X_L=ωL=2πfL\)
コンデンサのリアクタンスは \(X_C=\cfrac{1}{ωC}=\cfrac{1}{2πfC}\) ですね。
両方とも、周波数 \(f\) が関係しています。

RLC並列回路のインピーダンスの式をアドミタンスで表します。
\(\dot Y=\cfrac{1}{\dot Z}\)\(=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}-\cfrac{1}{jX_C}\)

\(\dot Y=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j}・\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)\quad[S]\cdots①\)  になります。

RLC並列回路の「ある特別な状態の時」は何かというと
式①の虚数部 \(\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)\) で、\(\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)=0\) になるときのことです。

\(\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)=0\) になるということは、どういうことかというと
見かけ上、コイルとコンデンサがなくなったということになります。

RLC並列回路において、\(\left(\cfrac{1}{ωL}=ωC\right)\) になることを「RLC並列共振」といいます。

共振はある特定の周波数のときに \(\left(\cfrac{1}{ωL}=ωC\right)\) という状態になります。
このときの周波数を共振周波数 \(f_0\) といいます。

共振周波数 \(f_0\) のときの、アドミタンスの式は \(\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)=0\) なので
\(\dot Y=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j}・\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)\) 
\(\dot Y=\cfrac{1}{\dot Z}=\cfrac{1}{R}\)

\(\dot Z=R\quad[Ω]\cdots②\) になります。

共振とは
RLC並列回路において、\(\left(\cfrac{1}{ωL}=ωC\right)\) になるときの状態を共振状態といいます。
共振状態のときのインピーダンスは、\(\dot Z=R\) となり、抵抗 \(R\) だけになります。

RLC並列共振回路の共振周波数

RLC並列回路の共振周波数 \(f_0\) は、共振角速度を \(ω_0\) とすると

\(\cfrac{1}{ωL}=ωC\) から
\(ω^2=\cfrac{1}{LC}\)
\(ω=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\)

ここで、\(ω_0=2πf\) ですから
\(2πf_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\) になります。

したがって、共振周波数は

\(f_0=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\quad[Hz]\)  になります。

RLC並列共振回路の電流と電圧とインピーダンス

RLC並列共振時の電流

RLC並列共振時に抵抗、コイル、コンデンサに流れる電流は、図のようになります。

共振しているときは、コイルの電流 \(I_L\) とコンデンサの電流 \(I_C\) が互いに打ち消し合うのでリアクタンス分はなくなり、抵抗分だけになります。

各素子に流れる電流

抵抗 \(R\) の電流 \(\dot{I_R}\) は
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\quad[\rm A]\) 

コイルに流れる電流 \(\dot{I_L}\) は
\(\dot{I_L}=\cfrac{\dot{E}}{jωL}\quad[\rm A]\) 

コンデンサに流れる電流 \(\dot{I_C}\) は
\(\dot{I_C}=jωC\dot{E}\quad[\rm A]\) 

全電流を \(\dot I\) は
\(\dot I=\dot{I_R}+\dot{I_L}+\dot{I_C}\)

\(\dot I=\cfrac{\dot{E}}{R}+\cfrac{\dot{E}}{jωL}+jωC\dot{E}\quad[\rm A]\)

RLC並列共振時の電流

RLC並列回路の共振状態のときには、図のように共振電流 \(\dot{I_0}\) は最小になります。

共振電流 \(\dot{I_0}\) は
\(\dot{I_0}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{Z}}=\cfrac{\dot{E}}{R}\quad[\rm A]\) になります。

計算例

並列共振
抵抗 \(R\) 4 [Ω]、コイル \(L\) 2 [H]、コンデンサ \(C\) 5.07 [uF] を図のように接続した回路の共振周波数 \(f_0\) を求めよ。

<解 答>
\(f_o=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\)\(=\cfrac{1}{2×3.14×\sqrt{2×5.07×10^{-6}}}\)\(=\cfrac{1}{6.28×\sqrt{10.14×10^{-6}}}\)\(≒\cfrac{1}{6.28×3.18×10^{-3}}≒50\) [Hz]

RLC直列共振回路

2019.06.10

以上で「RLC並列共振回路」の説明を終わります。




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