テブナンの定理




テブナンの定理

テブナンの定理回路の任意の場所の電流 を求めるときに有効な定理です。
回路中の任意の場所に流れる電流 \(I\) を、求めるときに使います。

テブナンの定理の使い方

図(1)のような、複雑な回路網の抵抗に流れる電流 \(I\) を求めるとします。
この場合、図(2)のように等価電源 \(V_0\) と等価抵抗 \(R_0\) に変換します。
電流 \(I\) は 
\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\hspace{8px}\rm [A]\) として簡単に求めることができます。

手順
1.電流を求めたい部分を切り離します。
2.等価電源 \(V_0\) を求めます。
3.等価抵抗 \(R_0\) を求めます。
 ・回路内部の電圧源はすべて短絡して除去します。
 ・回路内部の電流源はすべて開放して除去します。
4.等価回路に変換します。
5.目的の電流 \(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\hspace{8px}\rm [A]\) を求めます。

テブナンの定理(電圧源)の例

図のようなの回路の電流 \(I\) を求める場合において、テブナンの定理の解き方を説明します。

1.電流を求めたい部分を切り離します

2.等価電源 \(V_0\) を求める

•\(V_0\) を求めるには、次のようにします。

閉回路に流れる電流を \(I_0\) とすると、次の式が成り立ちます。
\(I_0=\cfrac{15-6}{3+6}=1\hspace{8px}\rm [A]\)

したがって、\(V_0\) は
\(15V-3V=6V+6V=12\hspace{8px}\rm [V]\) になります。

起電力と電圧降下の正負

2018.07.13

3.等価抵抗 \(R_0\) を求める

回路内部のすべての電源を短絡させます。(電圧源なので短絡します。)

合成抵抗 \(R_0\) は、並列接続なので
\(R_0=\cfrac{3×6}{3+6}=2\hspace{8px}\rm [Ω]\) になります。

4.等価回路に変換する

この等価回路の負荷抵抗に流れる電流 \(I\) を、オームの法則により求めると、次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\)\(=\cfrac{12}{2+4}=2\hspace{8px}\rm [A]\)

等価電源を電位を使って求める

図のようなブリッジ回路の電流 \(I\hspace{8px}\rm [A]\) をテブナンの定理で求める場合
等価電源 \(V_0\) を各位置の電位から求めることができます。

等価電源を求める

1.抵抗を切り離す
図1のように、中央の抵抗を切り離し、端子をa,b とします。

2.ab 間の電位を求める
図2のように、それぞれの位置の電位を計算します。
電源の \(100\hspace{8px}\rm [V]\) が抵抗の比に分圧されます。
a 点の電位 \(60\hspace{8px}\rm [V]\)、 b 点の電位 \(80\hspace{8px}\rm [V]\) から
\(V_0=80-60=20\hspace{8px}\rm [V]\) になります。

等価抵抗を求める

電源を短絡して、図3のように整理します。
すると並列抵抗の直列接続になっています。

ab 間の合成抵抗を \(R_0\hspace{8px}\rm [Ω]\) とすると
\(R_0=\cfrac{40×60}{40+60}+\cfrac{20×80}{20+80}=40\hspace{8px}\rm [Ω]\) となります。

等価回路に変換する

元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\hspace{8px}\rm [Ω]\) に流れる電流 \(I\hspace{8px}\rm [A]\) は次のようになります。
\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{20}{40+10}=0.4\hspace{8px}\rm [A]\)

テブナンの定理(電流源)の例

図のような電流源回路の電流 \(I\hspace{8px}\rm [A]\) を求める。
この回路の場合は電流が分岐するところの抵抗が \(4\hspace{8px}\rm [Ω]\) と同じなので、\(6\hspace{8px}\rm [A]\) であることがわかります。

テブナンの定理で確認する

等価電源を求める

1.抵抗を切り離す
図1のように抵抗を切り離して、端子をa,b とします。

2.ab 間の電位を求める
図2のように、抵抗の電圧降下を考えると電位がわかります。
a点、b点の電位から次のように計算できます。
\(V_0=72-24=48\hspace{8px}\rm [V]\)

等価抵抗を求める

電流源を開放して取り除きます。
等価抵抗は
\(R_0=1+3=4\hspace{8px}\rm [Ω]\) になります。

等価回路に変換する

元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\hspace{8px}\rm [Ω]\) に流れる電流 \(I\hspace{8px}\rm [A]\) は次のようになります。
\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{48}{4+4}=6\hspace{8px}\rm [A]\)

テブナンの定理を検証する

次のような回路で、電流 \(I\) をテブナンの定理で求めよ。という問題があるとします。

テブナンの定理で、\(V_0\) を求めます。

\(I_0=\cfrac{100}{25}=4\) [A] から

\(V_0=100-5×4=80\) [V]

次に、等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

抵抗の並列接続なので、和分の積で求めます。
\(R_0=\cfrac{5×20}{5+20}=4\) [Ω]

求めた \(V_0、R_0\) から、もとの回路を、等価回路にすると次のようになります。

求める電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{80}{8}=10\) [A] になります。

各要素についての検証

回路の各要素を、次の図のようにして考えて見ます。

合成抵抗を \(R\) とすると

\(R=5+\cfrac{20×4}{20+4}=\cfrac{25}{3}\) [Ω]

\(I_1=\cfrac{100}{\cfrac{25}{3}}=12\) [A]

\(I_2、I\) を分流の法則で求める。

\(I_2=I_1×\cfrac{4}{20+4}=2\) [A]

\(I=I_1×\cfrac{20}{20+4}=10\) [A]

したがって、\(V_1=V_2=40\) [V]

\(V_1=100-5×12=40\) [V]

\(V_2=20×2=40\) [V]

●各要素の数値は次のようになります。

回路の負荷抵抗 \(4\) [Ω] にかかる電圧は、\(40\) [V] になり、テブナンの定理の \(V_0=80\) [V] とは異なることに注意が必要です。

●等価回路での各要素の数値は、次のようになります。

\(V_0=80\) [V] は、\(R_0\) と負荷抵抗 \(4\) [Ω] の電圧降下の和になります。

以上で「テブナンの定理」の説明を終わります。