テブナンの定理

テブナンの定理は複雑な回路を、等価回路に変換して電流を求める定理です。

テブナンの定理の使い方

テブナンの定理 は 回路の任意の場所の電流  を求めるときに有効な定理です。

回路中の任意の場所に流れる 電流 \(I\) を、求めるときに使います。

図(1)のような、複雑な回路網の抵抗に流れる電流 \(I\) を求めるとします。

この場合、図(2)のように等価電源 \(V_0\) と等価抵抗 \(R_0\) の等価回路に変換します。

テブナンの定理を使うと電流 \(I\) は、次の式で求めることができます。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\) [A] 
  1. 電流を求めたい部分を切り離します。
  2. 等価電源 \(V_0\) を求めます。
  3. 等価抵抗 \(R_0\) を求めます。
    ・回路内部の電圧源はすべて短絡して除去します。
    ・回路内部の電流源はすべて開放して除去します。
  4. 等価回路に変換します。
  5. 目的の電流 \(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\) [A] を求めます。

テブナンの定理(電圧源)の場合

図のようなの回路の電流 \(I\) を求める場合において、テブナンの定理の解き方を説明します。

電流を求めたい部分を切り離します。

等価電源 \(V_0\) を求めます。

等価電源 \(V_0\) は、端子ab間の電位差です。

\(V_0\) の求め方は、次のようにします。
青の矢印の閉回路に流れる電流 \(I_0\) を求めます。

閉回路に流れる電流を \(I_0\) はオームの法則から、次の式が成り立ちます。

\(I_0=\cfrac{電圧}{抵抗}=\cfrac{15-6}{3+6}=1\) [A] 

上図の回路は端子abを移動して、次の図のように考えても同じになります。

\(V_0\) の値は、次の図の「左の回路」あるいは「右の回路」のどちらかを計算すれば求められます。

■ 左の回路の場合
端子bを \(0\) [V] として、それぞれの電圧(電位)を考えると

  1. 電池のプラス側の電圧は \(15\) [V] です。
  2. \(3\) [Ω] の抵抗により \(3\) [V] の電圧降下があります。
  3. \(3\) [Ω] の抵抗による電圧降下は図の向きになります。
  4. 端子aの電圧は \(15-3=12\) [V] になります。
  5. \(V_0\) は端子abの電圧ですから \(V_0=12\) [V] になります。

■ 右の回路の場合
端子bを \(0\) [V] として、それぞれの電圧(電位)を考えると

  1. 電池のプラス側の電圧は \(6\) [V] です。
  2. \(6\) [Ω] の抵抗により \(6\) [V] の電圧降下があります。
  3. \(6\) [Ω] の抵抗による電圧降下は図の向きになります。
  4. 端子aの電圧は \(6+6=12\) [V] になります。
  5. \(V_0\) は端子abの電圧ですから \(V_0=12\) [V] になります。

以上のことから
\(V_0=12\) [V] になります。

次に等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

等価抵抗 \(R_0\) は、端子ab間から見たときの抵抗値です。

回路内部のすべての電源を短絡させます。(電圧源なので短絡します。)

等価抵抗 \(R_0\) は、並列接続なので

\(R_0=\cfrac{3×6}{3+6}=2\) [Ω] になります。

等価回路に変換します。

この等価回路の負荷抵抗に流れる電流 \(I\) を、オームの法則により求めると、次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\)\(=\cfrac{12}{2+4}=2\) [A] 

等価電源を電位を使って求める

図のようなブリッジ回路の電流 \(I\) [A] をテブナンの定理で求める場合

等価電源 \(V_0\) を各位置の電位から求めることができます。

■ 等価電源を求める

抵抗を切り離します。

図1のように、中央の抵抗を切り離し、端子をa,b とします。

ab 間の電位を求めます。

図2のように、それぞれの位置の電位を計算します。

電源の \(100\) [V] が抵抗の比に分圧されます。

a 点の電位 \(60\) [V] 、 b 点の電位 \(80\) [V] から

\(V_0=80-60=20\) [V] になります。

■ 等価抵抗を求める
電源を短絡して、図3のように整理します。

すると、並列抵抗の直列接続になっていることが分かります。

ab 間の合成抵抗を \(R_0\) [Ω] とすると

\(R_0=\cfrac{40×60}{40+60}+\cfrac{20×80}{20+80}=40\) [Ω] となります。

■ 等価回路に変換する
元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\) [Ω] に流れる電流 \(I\) [A] は次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{20}{40+10}=0.4\) [A] 

テブナンの定理(電流源)の場合

図のような電流源回路の電流 \(I\) [A] を求める。

この回路の場合は、電流が分岐するところの抵抗が \(4\) [Ω] と同じなので、計算をしなくても \(6\) [A] であることがわかります。

テブナンの定理で確認する

等価電源を求めます。

図1のように抵抗を切り離して、端子をa,b とします。

ab 間の電位を求めます。

図2のように、抵抗の電圧降下を考えると電位がわかります。

a点、b点の電位から次のように計算できます。

\(V_0=72-24=48\) [V] 

等価抵抗を求めます。

電流源を開放して取り除きます。

等価抵抗は

\(R_0=1+3=4\) [Ω] になります。

等価回路に変換します。

元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\) [Ω] に流れる電流 \(I\) [A] は次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{48}{4+4}=6\) [A] 

テブナンの定理を検証する

次のような回路で、電流 \(I\) をテブナンの定理で求めよ。という問題があるとします。

テブナンの定理で、\(V_0\) を求めます。

\(I_0=\cfrac{100}{25}=4\) [A] から

\(V_0=100-5×4=80\) [V]  

次に、等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

抵抗の並列接続なので、和分の積で求めます。

\(R_0=\cfrac{5×20}{5+20}=4\) [Ω]  

求めた \(V_0、R_0\) から、もとの回路を、等価回路にすると次のようになります。

求める電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{80}{8}=10\) [A] になります。

各要素についての検証

回路の各要素を、次の図のようにして考えて見ます。

合成抵抗を \(R\) とすると

\(R=5+\cfrac{20×4}{20+4}=\cfrac{25}{3}\) [Ω]  

\(I_1=\cfrac{100}{\cfrac{25}{3}}=12\) [A] 

\(I_2、I\) を 分流の法則 で求める。

\(I_2=I_1×\cfrac{4}{20+4}=2\) [A] 

\(I=I_1×\cfrac{20}{20+4}=10\) [A] 

したがって、\(V_1=V_2=40\) [V]  

\(V_1=100-5×12=40\) [V]  

\(V_2=20×2=40\) [V]  

■ 各要素の数値は次のようになります。

回路の負荷抵抗 \(4\) [Ω] にかかる電圧は、\(40\) [V] になり、テブナンの定理の \(V_0=80\) [V] とは異なることに注意が必要です。

■ 等価回路での各要素の数値は、次のようになります。

\(V_0=80\) [V] は、\(R_0\) と負荷抵抗 \(4\) [Ω] の電圧降下の和になります。

以上で「テブナンの定理」の説明を終わります。