テブナンの定理の使い方【任意の場所に流れる電流を求める定理】

この記事で書いていること

テブナンの定理は複雑な回路を等価回路に変換します。

等価回路に変換するには、等価電源と等価抵抗を求めます。

等価回路に変換することで、オームの法則を使って簡単に電流を求めることができます。

テブナンの定理は複雑な回路を等価回路に変換して任意の場所の電流を求める定理です。

目次

テブナンの定理とはどういう定理?

テブナンの定理のイメージ

テブナンの定理は 複雑な回路網(電気回路)を 等価回路 に変換します。

等価回路に変換すれば、流れる電流はオームの法則で求めることができます。

テブナンの定理で重要なのが 等価電源と等価抵抗の求め方 になります。

テブナンの定理を使う手順

図(1)のような、複雑な回路網の抵抗  \(R\)  に流れる電流 \(I\) を求めるとします。

この場合、図(2)のように等価電源 \(V_0\) と等価抵抗 \(R_0\) の 等価回路 に変換します。

テブナンの定理 は 回路の任意の場所の電流 を求めるときに有効な定理です。

手 順

  • 電流を求めたい部分を切り離します。
  • 等価電源 \(V_0\) を求めます。
  • 等価抵抗 \(R_0\) を求めます。
    (回路内部の 電圧源はすべて短絡 して除去します。)
    (回路内部の 電流源はすべて開放 して除去します。)
  • 等価回路に変換します。
  • 目的の電流 \(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\) [A] を求めます。

テブナンの定理の使い方(電圧源)

電源は電圧源の場合が一般的です。ここでは電圧源の説明をします。

図のようなの回路の電流 \(I\) を求める場合において、テブナンの定理の使い方を説明します。

等価電源の求め方

手 順

等価電源 \(V_0\) を求めます。

電流を求めたい部分を切り離す

\(V_0\) の求め方

等価電源  \(V_0\)  は端子ab間の電圧です。

青の矢印の閉回路に流れる電流 \(I_0\) を求めます。

オームの法則から

\(I_0=\cfrac{\rm電圧}{\rm抵抗}=\cfrac{15-6}{3+6}=1\) [A] 

等価電源を求める2つの方法

上図の回路は端子abを移動して、次の図のように考えても同じになります。

\(V_0\) の値は、次の図の「左の回路」あるいは「右の回路」のどちらかを計算すれば求められます。

左の回路の場合

端子bを \(0\) [V] として、それぞれの電圧(電位)を考える。

  1. 電池のプラス側の電圧は \(15\) [V] です。
  2. \(3\) [Ω] の抵抗により \(3\) [V] の電圧降下があります。
  3. \(3\) [Ω] の抵抗による電圧降下は図の向きになります。
  4. 端子aの電圧は \(15-3=12\) [V] になります。
  5. \(V_0\) は端子abの電圧ですから \(V_0=12\) [V] になります。

右の回路の場合

端子bを \(0\) [V] として、それぞれの電圧(電位)を考えると。

  1. 電池のプラス側の電圧は \(6\) [V] です。
  2. \(6\) [Ω] の抵抗により \(6\) [V] の電圧降下があります。
  3. \(6\) [Ω] の抵抗による電圧降下は図の向きになります。
  4. 端子aの電圧は \(6+6=12\) [V] になります。
  5. \(V_0\) は端子abの電圧ですから \(V_0=12\) [V] になります。

以上のことから、等価電源の値は
\(V_0=12\) [V] になります。

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等価抵抗の求め方

等価抵抗 \(R_0\) は、端子ab間から見たときの抵抗値です。

回路内部のすべての電源を短絡させます。(電圧源なので短絡します。)

等価抵抗 \(R_0\) は、並列接続なので

\(R_0=\cfrac{3×6}{3+6}=2\) [Ω] になります。

等価回路に変換して電流を求める

等価回路に変換する

この等価回路の負荷抵抗に流れる電流 \(I\) を オームの法則 により求めると、次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\)\(=\cfrac{12}{2+4}=2\) [A] 

テブナンの定理の使い方(電流源)

ここでは電流源の場合の説明をします。

図のような電流源回路の電流 \(I\) [A] を求める。

この回路の場合は、電流が分岐するところの抵抗が \(4\) [Ω] と同じなので

計算をしなくても \(6\) [A] であることがわかります。

等価電源の求め方

手 順

図1のように抵抗を切り離して、端子をa,b とします。

ab 間の電位を求めます。

図2のように、抵抗の電圧降下を考えると電位がわかります。

a点、b点の電位から次のように計算できます。

\(V_0=72-24=48\) [V] 

等価抵抗の求め方

電流源を開放して取り除きます。

等価抵抗は

\(R_0=1+3=4\) [Ω] になります。

等価回路に変換して電流を求める

等価回路に変換する。

元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\) [Ω] に流れる電流 \(I\) [A] は次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{48}{4+4}=6\) [A] 

テブナンの定理でブリッジ回路を解く

図のようなブリッジ回路の電流 \(I\) [A] をテブナンの定理で求める場合

等価電源 \(V_0\) を各位置の電位から求めることができます。

等価電源を求める

手 順

抵抗を切り離します。

図1のように、中央の抵抗を切り離し、端子をa,b とします。

ab 間の電位を求めます。

図2のように、それぞれの位置の電位を計算します。

電源の \(100\) [V] が抵抗の比に分圧されます。

a 点の電位 \(60\) [V] 、 b 点の電位 \(80\) [V] から

\(V_0=80-60=20\) [V] になります。

等価抵抗を求める


電源を短絡して、図3のように整理します。

すると、並列抵抗の直列接続になっていることが分かります。

ab 間の合成抵抗を \(R_0\) [Ω] とすると

\(R_0=\cfrac{40×60}{40+60}+\cfrac{20×80}{20+80}=40\) [Ω] となります。

等価回路に変換する


元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\) [Ω] に流れる電流 \(I\) [A] は次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{20}{40+10}=0.4\) [A] 

テブナンの定理を検証する

テブナンの定理の検証をします。

次のような回路で

電流 \(I\) をテブナンの定理で求めよ。

という問題があるとします。

等価電源を求める

テブナンの定理で、\(V_0\) を求めます。

\(I_0=\cfrac{100}{25}=4\) [A] から

\(V_0=100-5×4=80\) [V]  

等価抵抗を求める

次に、等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

抵抗の並列接続なので、和分の積で求めます。

\(R_0=\cfrac{5×20}{5+20}=4\) [Ω]  

等価回路に変換する

求めた \(V_0、R_0\) から 

元の回路を等価回路にすると、次のようになります。

求める電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{80}{8}=10\) [A] になります。

各要素に付いての検証


回路の各要素を、次の図のようにして考えて見ます。

合成抵抗を \(R\) とすると

\(R=5+\cfrac{20×4}{20+4}=\cfrac{25}{3}\) [Ω]  

\(I_1=\cfrac{100}{\cfrac{25}{3}}=12\) [A] 

\(I_2、I\) を 抵抗の分流の法則 で求める。

\(I_2=I_1×\cfrac{4}{20+4}=2\) [A] 

\(I=I_1×\cfrac{20}{20+4}=10\) [A] 

したがって、\(V_1=V_2=40\) [V]  

\(V_1=100-5×12=40\) [V]  

\(V_2=20×2=40\) [V]  

各要素の数値

回路の負荷抵抗 \(4\) [Ω] にかかる電圧は

\(40\) [V] になり

テブナンの定理の \(V_0=80\) [V] 

とは異なることに注意が必要です。

等価回路の数値

\(V_0=80\) [V] は、\(R_0\) と負荷抵抗 \(4\) [Ω] の電圧降下の和になります。

まとめ

テブナンの定理のまとめ

  • 電流を求めたい部分を切り離します。
  • 等価電源 \(V_0\) を求めます。
  • 等価抵抗 \(R_0\) を求めます。
    (回路内部の 電圧源はすべて短絡 して除去します。)
    (回路内部の 電流源はすべて開放 して除去します。)
  • 等価回路に変換します。
  • 目的の電流 \(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\) [A] を求めます。

以上で「テブナンの定理の使い方【任意の場所に流れる電流を求める定理】」の説明を終わります。

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