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テブナンの定理の使い方【任意の場所に流れる電流を求める定理】

テブナンの定理は、「複雑な回路を等価回路」に変換する法則です。

テブナンの定理により、等価電源等価抵抗 を求めて「等価回路」に変換します。

等価回路に変換すれば、複雑な電気回路を オームの法則 を使って簡単に電流を求めることができます。

テブナンの定理とは、複雑な回路を「等価回路」に変換して、任意の場所の電流 を求める定理です。

目次

テブナンの定理とは?

テブナンの定理のイメージ

テブナンの定理とは 複雑な回路網(電気回路)を 等価回路 に変換します。

等価回路に変換すれば、流れる電流はオームの法則で求めることができます。

テブナンの定理で重要なのが 等価電源と等価抵抗の求め方 になります。

テブナンの定理の名称について

  • 鳳-テブナンの定理(ほう-テブナンのていり)
  • ヘルムホルツ-テブナンの定理
  • 等価電圧源表示

などの呼び方があります。

テブナンの定理を使う手順

図(1)のような、複雑な回路網に接続された、抵抗  \(R\)  に流れる電流 \(I\) を求めるとします。

図(2)のように、テブナンの定理で 等価電源 \(V_0\) と等価抵抗 \(R_0\) の 等価回路 に変換します。

テブナンの定理 は 回路の任意の場所の電流 を求めるときに有効な定理です。

テブナンの定理の手順

  1. 電流を求めたい部分を切り離します。
  2. 等価電源 \(V_0\) を求めます。
  3. 等価抵抗 \(R_0\) を求めます。
    (回路内部の 電圧源はすべて短絡 して除去します。)
    (回路内部の 電流源はすべて開放 して除去します。)
  4. テブナンの定理で、等価回路に変換します。
  5. 目的の電流 \(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\) [A] を求めます。

テブナンの定理の使い方(電圧源)

電気回路の電源は、電圧源 の場合が一般的です。ここでは、電源が電圧源の説明をします。

図のような、回路の電流 \(I\) を求める場合の、テブナンの定理の使い方を説明します。

等価電源の求め方

手 順

1.電流を、求めたい部分を切り離します。

2.等価電源 \(V_0\) を求めます。

\(V_0\) の求め方

等価電源  \(V_0\)  は端子ab間の電圧です。

3.青の矢印の閉回路に、流れる電流 \(I_0\) を求めます。

オームの法則から

\(I_0=\cfrac{\rm電圧}{\rm抵抗}=\cfrac{15-6}{3+6}=1\) [A] 

等価電源を求める2つの方法

上図の閉回路は、端子abを移動して

次の図のように考えても、電気的には同じになります。

\(V_0\) の値は、次の図の「左の回路」あるいは

「右の回路」のどちらかを計算すれば求められます。

左の回路の場合

端子bを、0 [V] として、電源電圧と電圧降下の電圧(電位)を考えます。

  1. 電源のプラス側の電圧は、15 [V] です。
  2. 3 [Ω] の抵抗により、3 [V] の電圧降下があります。
  3. 3 [Ω] の抵抗による電圧降下は、図の向きになります。
  4. 端子aの電圧は、15-3=12 [V] になります。
  5. \(V_0\) は端子abの電圧ですから \(V_0=12\) [V] になります。

右の回路の場合

端子bを、0 [V] として、それぞれの電圧(電位)を考えると。

  1. 電源のプラス側の電圧は、6 [V] です。
  2. 6 [Ω] の抵抗により、6 [V] の電圧降下があります。
  3. 6 [Ω] の抵抗による電圧降下は、図の向きになります。
  4. 端子aの電圧は、6+6=12 [V] になります。
  5. \(V_0\) は端子abの電圧ですから \(V_0=12\) [V] になります。

以上のことから、等価電源の値は

\(V_0=12\) [V] になります。

等価抵抗の求め方

等価抵抗 \(R_0\) は、端子ab間から見たときの抵抗値です。

回路内部のすべての電源を短絡させます。(電圧源なので短絡します。)

等価抵抗 \(R_0\) は、並列接続なので

\(R_0=\cfrac{3×6}{3+6}=2\) [Ω] になります。

テブナンの定理で等価回路に変換して電流を求める

求めた 等価電源と等価抵抗 から、等価回路 に変換します。

この等価回路の負荷抵抗に流れる電流 \(I\) を オームの法則 により求めると、次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\)\(=\cfrac{12}{2+4}=2\) [A] 

テブナンの定理の使い方(電流源)

ここでは、電流源の場合の説明をします。

図のような、電流源回路の電流 \(I\) [A] を求めます。

等価電源の求め方

手 順

図1のように、抵抗を切り離して端子ab とします。

図2のように、抵抗の電圧降下を考えると 電位 がわかります。

b の電位は、オームの法則から

2 Ω × 12 A=24 V

a の電位は、オームの法則から

(2 Ω + 3 Ω + 1Ω) × 12 A=72 V

ab 間の 電位差 は

図3のように、a の電位とb の電位から求められます。

\(V_0=72-24=48\) [V] 

等価抵抗の求め方

等価抵抗を求める場合、電流源を開放して取り除きます。

回路から電流源を取り除くと、図4の回路になります。

等価抵抗は

\(R_0=1+3=4\) [Ω] になります。

テブナンの定理で等価回路に変換して電流を求める

等価回路に変換する。

元の回路を等価回路に変換すると、図5の回路になります。

\(R\) [Ω] に流れる電流 \(I\) [A] は次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{48}{4+4}=6\) [A] 

この回路は、複雑に見えますが
分流する抵抗が「並列接続」であり、抵抗値が (1+3Ω) と 4 Ω と同じなので
同じ大きさの電流 \(6\) [A] に分流することがわかります。

テブナンの定理でブリッジ回路を解く

図のようなブリッジ回路の電流 \(I\) [A] をテブナンの定理で求める場合

等価電源 \(V_0\) を、電位から求めることができます。

等価電源を求める

手 順

1.抵抗を切り離します。

図のように、中央の抵抗を切り離し、端子を b、c とします。

2.等価電源 \(V_0\) を求める。

それぞれの位置の電位は、次のようになります。

  • \(a \cdots100\) [V]
  • \(b \cdots100-20=80\) [V]
  • \(c \cdots100-40=60\) [V]
  • \(d \cdots 0\) [V]

等価電源 \(V_0=V_{bc}\) とすると

bの電位 \(80\) [V] 、 cの電位 \(60\) [V] から

等価電源 \(V_0=80-60=20\) [V] になります。

等価抵抗を求める


等価抵抗を求めるために、電源を短絡して整理します。

2つの並列抵抗が、直列接続になっています。

bc 間の合成抵抗が、等価抵抗 \(R_0\) [Ω] です。

\(R_0=\cfrac{20×80}{20+80}+\cfrac{40×60}{40+60}=40\) [Ω] となります。

テブナンの定理で等価回路に変換する


元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\) [Ω] に流れる電流 \(I\) [A] は、次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{20}{40+10}=0.4\) [A] 

テブナンの定理を検証する

テブナンの定理の検証をします。

次のような回路で

電流 \(I\) をテブナンの定理で求めよ。

という問題があるとします。

等価電源を求める

テブナンの定理で、\(V_0\) を求めます。

\(I_0=\cfrac{100}{25}=4\) [A] から

\(V_0=100-5×4=80\) [V]  

等価抵抗を求める

次に、等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

抵抗の並列接続なので、和分の積で求めます。

\(R_0=\cfrac{5×20}{5+20}=4\) [Ω]  

テブナンの定理で等価回路に変換する

求めた \(V_0、R_0\) から 

元の回路を等価回路にすると、次のようになります。

求める電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{80}{8}=10\) [A] になります。

テブナンの定理の各要素に付いての検証


回路の各要素を、次の図のようにして考えて見ます。

合成抵抗を \(R\) とすると

\(R=5+\cfrac{20×4}{20+4}=\cfrac{25}{3}\) [Ω]  

\(I_1=\cfrac{100}{\cfrac{25}{3}}=12\) [A] 

\(I_2、I\) を 抵抗の分流の法則 で求める。

\(I_2=I_1×\cfrac{4}{20+4}=2\) [A] 

\(I=I_1×\cfrac{20}{20+4}=10\) [A] 

したがって、\(V_1=V_2=40\) [V]  

\(V_1=100-5×12=40\) [V]  

\(V_2=20×2=40\) [V]  

各要素の数値

回路の負荷抵抗 \(4\) [Ω] にかかる電圧は

\(40\) [V] になり

テブナンの定理の \(V_0=80\) [V] 

とは異なることに注意が必要です。

テブナンの定理の等価回路の数値

\(V_0=80\) [V] は、\(R_0\) と負荷抵抗 \(4\) [Ω] の電圧降下の和になります。

まとめ

テブナンの定理のまとめ

  • 電流を求めたい部分を切り離します。
  • 等価電源 \(V_0\) を求めます。
  • 等価抵抗 \(R_0\) を求めます。
    (回路内部の 電圧源はすべて短絡 して除去します。)
    (回路内部の 電流源はすべて開放 して除去します。)
  • 等価回路に変換します。
  • 目的の電流 \(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\) [A] を求めます。

以上で「テブナンの定理の使い方【任意の場所に流れる電流を求める定理】」の説明を終わります。

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