テブナンの定理




テブナンの定理

テブナンの定理 は求めたいものが、回路の電流 のときに有効な定理です。
回路中の任意の場所に流れる電流 \(I\) を、求めるときに使います。

テブナンの定理の使い方

図(1)のような、複雑な回路網の抵抗に流れる電流 \(I\) を求めるとします。
この場合、図(2)のように等価電源 \(V_0\) と等価抵抗 \(R_0\) に変換します。
電流 \(I\) は 
\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\) [A] として簡単に求めることができます。

手順
1.電流を求めたい部分を切り離します。
2.等価電源 \(V_0\) を求める。
3.等価抵抗 \(R_0\) を求める。(回路内部の電源をすべて短絡する)
4.等価回路に変換する。
5.目的の電流 \(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\) [A]を求める。

テブナンの定理の例

図のようなの回路の電流 \(I\) を求める場合において、テブナンの定理の使い方を説明します。

1.電流を求めたい部分を切り離します

2.等価電源 \(V_0\) を求める

•\(V_0\) を求めるには、次のようにします。

閉回路に流れる電流を \(I_0\) とすると、次の式が成り立ちます。
\(I_0=\cfrac{15-6}{3+6}=1\) [A]

したがって、\(V_0\) は
\(15V-3V=6V+6V=12\) [V] になります。

起電力と電圧降下の正負

2018.07.13

3.等価抵抗 \(R_0\) を求める。

回路内部のすべての電源を短絡させます。

合成抵抗 \(R_0\) は、並列接続なので
\(R_0=\cfrac{3×6}{3+6}=2\) [Ω] になります。

4.等価回路に変換する

この等価回路の負荷抵抗に流れる電流 \(I\) を、オームの法則により求めると、次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\)\(=\cfrac{12}{2+4}=2\) [A] 

テブナンの定理を検証する

次のような回路で、電流 \(I\) をテブナンの定理で求めよ。という問題があるとします。

テブナンの定理で、\(V_0\) を求めます。

\(I_0=\cfrac{100}{25}=4\) [A] から

\(V_0=100-5×4=80\) [V]

次に、等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

抵抗の並列接続なので、和分の積で求めます。
\(R_0=\cfrac{5×20}{5+20}=4\) [Ω]

求めた \(V_0、R_0\) から、もとの回路を、等価回路にすると次のようになります。

求める電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{80}{8}=10\) [A] になります。

各要素についての検証

回路の各要素を、次の図のようにして考えて見ます。

合成抵抗を \(R\) とすると

\(R=5+\cfrac{20×4}{20+4}=\cfrac{25}{3}\) [Ω]

\(I_1=\cfrac{100}{\cfrac{25}{3}}=12\) [A]

\(I_2、I\) を分流の法則で求める。

\(I_2=I_1×\cfrac{4}{20+4}=2\) [A]

\(I=I_1×\cfrac{20}{20+4}=10\) [A]

したがって、\(V_1=V_2=40\) [V]

\(V_1=100-5×12=40\) [V]

\(V_2=20×2=40\) [V]

●各要素の数値は次のようになります。

回路の負荷抵抗 \(4\) [Ω] にかかる電圧は、\(40\) [V] になり、テブナンの定理の \(V_0=80\) [V] とは異なることに注意が必要です。

●等価回路での各要素の数値は、次のようになります。

\(V_0=80\) [V] は、\(R_0\) と負荷抵抗 \(4\) [Ω] の電圧降下の和になります。


テブナンの定理の証明

テブナンの定理は、どのように考えて作られたのでしょうか。

図1のような、回路の端子ab 間に抵抗 \(R\) [Ω] をつないだとき、流れた電流を \(I\) [A] とすると次のように表されます。

\(I=\cfrac{V_i}{R_i+R}\) [A] 

●テブナンの定理の証明をしてみます

まず、回路の負荷抵抗 \(R\) を切り離します。

回路網の複数の電源を一つにまとめた電源を \(V_0\) とします。

同じように、複数の抵抗を一つにまとめた内部抵抗を \(R_i\) とします。 

また、端子ab 間の開放電圧を \(V_i\) とします。

一般的に、\(V_0\) と \(V_i\) の値は異なります。

●端子電圧と同じ電圧の電池 \(V_i\) を接続する

図3のように、ab 間の端子電圧と同じ大きさの起電力を持つ電池を、ab 端子に接続します。

そうすると、両方の電位差がなくなりますので、回路には電流 \(I_E\) は流れません。

●抵抗 \(R\) を接続する

回路に流れる電流 \(I_E\) は 0(ゼロ)なので、図4 のように、回路に抵抗 \(R\) を接続しても変化は起こりません。

●内部電源 \(V_0=0\) にする

図4 の回路の内部電源 \(V_0\) を 0(ゼロ)にすると、電池 \(V_i\) から、図5 のように、電流 \(I_1\) が流れます。

●電池 \(V_i=0\) にする

次に今度は、図4 の回路の電池 \(V_i\) を 0(ゼロ)にすると、内部電源 \(V_0\) により、図6 のように、電流 \(I_2\) が抵抗 \(R\) に流れます。

この電流 \(I_2\) は図1 で流れた電流 \(I\) と等しくなります。

図1 の電流 \(I\) はテブナンの定理で流れた電流になります。

●内部抵抗 \(R_i\) を求める

この回路が持つ内部抵抗(合成抵抗)は \(R_i\) ですから、図7 の右の図の回路と等価になります。

したがって、電流 \(I_1\) はオームの法則から

\(I_1=\cfrac{V_i}{R_i+R}\) [A] になります。

ここで、\(I_1=-I_2、I_2=I\) ですから、向きが違いますがそれぞれの大きさは等しくなります。

つまり、\(I_1=I_2=I\) [A]

したがって、

\(I=\cfrac{V_i}{R_i+R}\) [A] になります。

この式は、図1のテブナンの定理の式と同じになります。

以上で「テブナンの定理」の説明を終わります。







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