テブナンの定理

テブナンの定理は複雑な回路を、等価回路に変換して電流を求める定理です。

テブナンの定理の使い方

テブナンの定理 は 回路の任意の場所の電流  を求めるときに有効な定理です。

回路中の任意の場所に流れる 電流 \(I\) を、求めるときに使います。

図(1)のような、複雑な回路網の抵抗に流れる電流 \(I\) を求めるとします。

この場合、図(2)のように等価電源 \(V_0\) と等価抵抗 \(R_0\) の等価回路に変換します。

テブナンの定理を使うと電流 \(I\) は、次の式で求めることができます。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\quad\rm[A]\)
  1. 電流を求めたい部分を切り離します。
  2. 等価電源 \(V_0\) を求めます。
  3. 等価抵抗 \(R_0\) を求めます。
    ・回路内部の電圧源はすべて短絡して除去します。
    ・回路内部の電流源はすべて開放して除去します。
  4. 等価回路に変換します。
  5. 目的の電流 \(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\quad\rm[A]\) を求めます。

テブナンの定理(電圧源)の場合

図のようなの回路の電流 \(I\) を求める場合において、テブナンの定理の解き方を説明します。

電流を求めたい部分を切り離します。

等価電源 \(V_0\) を求めます。

等価電源 \(V_0\) は、端子ab間の電位差です。

\(V_0\) の求め方は、次のようにします。

閉回路に流れる電流を \(I_0\) とすると、次の式が成り立ちます。

\(I_0=\cfrac{15-6}{3+6}=1\quad\rm[A]\)

したがって、\(V_0\) は

\(15V-3V=6V+6V=12\quad\rm[V]\) になります。

関連記事

電気回路の計算をするときに、 起電力や電圧降下の正負 を考える必要があります。 電源の起電力が電圧降下の合計と等しくなることで、電気回路は成り立っています。 起電力や電圧降下の正負を正しく理解することは、オームの法則[…]

等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

等価抵抗 \(R_0\) は、端子ab間から見たときの抵抗値です。

回路内部のすべての電源を短絡させます。(電圧源なので短絡します。)

等価抵抗 \(R_0\) は、並列接続なので

\(R_0=\cfrac{3×6}{3+6}=2\quad\rm[Ω]\) になります。

等価回路に変換します。

この等価回路の負荷抵抗に流れる電流 \(I\) を、オームの法則により求めると、次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\)\(=\cfrac{12}{2+4}=2\quad\rm[A]\)

関連記事

電気回路の基本法則のオームの法則について説明します。 ■ オームの法則 オームの法則を初めて見る人が理解する方法 オームの法則は、電圧と電流、抵抗についての関係を示すものです。 覚えやすいように、次の[…]

等価電源を電位を使って求める

図のようなブリッジ回路の電流 \(I\quad\rm[A]\) をテブナンの定理で求める場合

等価電源 \(V_0\) を各位置の電位から求めることができます。

■ 等価電源を求める

抵抗を切り離します。

図1のように、中央の抵抗を切り離し、端子をa,b とします。

ab 間の電位を求めます。

図2のように、それぞれの位置の電位を計算します。

電源の \(100\quad\rm[V]\) が抵抗の比に分圧されます。

a 点の電位 \(60\quad\rm[V]\)、 b 点の電位 \(80\quad\rm[V]\) から

\(V_0=80-60=20\quad\rm[V]\) になります。

■ 等価抵抗を求める

電源を短絡して、図3のように整理します。

すると、並列抵抗の直列接続になっていることが分かります。

ab 間の合成抵抗を \(R_0\quad\rm[Ω]\) とすると

\(R_0=\cfrac{40×60}{40+60}+\cfrac{20×80}{20+80}=40\quad\rm[Ω]\) となります。

■ 等価回路に変換する

元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\quad\rm[Ω]\) に流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) は次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{20}{40+10}=0.4\quad\rm[A]\)

テブナンの定理(電流源)の場合

図のような電流源回路の電流 \(I\quad\rm[A]\) を求める。

この回路の場合は、電流が分岐するところの抵抗が \(4\quad\rm[Ω]\) と同じなので、計算をしなくても \(6\quad\rm[A]\) であることがわかります。

テブナンの定理で確認する

等価電源を求めます。

図1のように抵抗を切り離して、端子をa,b とします。

ab 間の電位を求めます。

図2のように、抵抗の電圧降下を考えると電位がわかります。

a点、b点の電位から次のように計算できます。

\(V_0=72-24=48\quad\rm[V]\)

等価抵抗を求めます。

電流源を開放して取り除きます。

等価抵抗は

\(R_0=1+3=4\quad\rm[Ω]\) になります。

等価回路に変換します。

元の回路を等価回路に変換すると、図4の回路になります。

\(R\quad\rm[Ω]\) に流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) は次のようになります。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}=\cfrac{48}{4+4}=6\quad\rm[A]\)

テブナンの定理を検証する

次のような回路で、電流 \(I\) をテブナンの定理で求めよ。という問題があるとします。

テブナンの定理で、\(V_0\) を求めます。

\(I_0=\cfrac{100}{25}=4\quad\rm[A]\) から

\(V_0=100-5×4=80\quad\rm[V]\) 

次に、等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

抵抗の並列接続なので、和分の積で求めます。

\(R_0=\cfrac{5×20}{5+20}=4\quad\rm[Ω]\) 

求めた \(V_0、R_0\) から、もとの回路を、等価回路にすると次のようになります。

求める電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{80}{8}=10\quad\rm[A]\) になります。

各要素についての検証

回路の各要素を、次の図のようにして考えて見ます。

合成抵抗を \(R\) とすると

\(R=5+\cfrac{20×4}{20+4}=\cfrac{25}{3}\quad\rm[Ω]\) 

\(I_1=\cfrac{100}{\cfrac{25}{3}}=12\quad\rm[A]\)

\(I_2、I\) を 分流の法則 で求める。

\(I_2=I_1×\cfrac{4}{20+4}=2\quad\rm[A]\)

\(I=I_1×\cfrac{20}{20+4}=10\quad\rm[A]\) 

したがって、\(V_1=V_2=40\quad\rm[V]\) 

\(V_1=100-5×12=40\quad\rm[V]\) 

\(V_2=20×2=40\quad\rm[V]\) 

関連記事

抵抗の並列回路では、電流がそれぞれの抵抗に分かれて流れます。 電流が分かれて流れることを電流の 分流 といいます。 抵抗が2つの並列接続 抵抗の2つの場合は、分流の法則が使えます。 分流の法則 […]

■ 各要素の数値は次のようになります。

回路の負荷抵抗 \(4\quad\rm[Ω]\) にかかる電圧は、\(40\quad\rm[V]\) になり、テブナンの定理の \(V_0=80\quad\rm[V]\) とは異なることに注意が必要です。

■ 等価回路での各要素の数値は、次のようになります。

\(V_0=80\quad\rm[V]\) は、\(R_0\) と負荷抵抗 \(4\quad\rm[Ω]\) の電圧降下の和になります。

以上で「テブナンの定理」の説明を終わります。