ミルマンの定理




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ミルマンの定理

ミルマンの定理は複数の電源と抵抗が並列に接続された回路において、端子電圧を簡単に求めるための定理のことです。

ミルマンの定理は「全電圧の定理」、「帆足(ほあし)-ミルマンの定理」ともいわれます。

∑(シグマ)の意味

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{4}R_i\) という式の意味は次のようなことです。

\(R_i\) の \(i\) に 1 から 4 を代入して、合計するということで

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{4}R_i=R_1+R_2+R_3+R_4\) と言う意味になります。

ミルマンの定理の方程式

ミルマンの定理は、図のように複数の電源と複数の抵抗が、並列に接続された回路の端子ab 間の、端子電圧 \(V_{ab}\) は次のようになります。

\(V_{ab}= \cfrac{ \displaystyle \sum _{ i=1 }^n\cfrac{E_i}{R_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^n\cfrac{1}{R_i}}\)

ミルマンの定理を電圧源と電流源の等価回路で出してみる

●電圧源の回路は、ミルマンの定理から次のようになります。

\(V_{ab}=\cfrac{\cfrac{E_1}{R_1}+\cfrac{E_2}{R_2}}{\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}}\)

●等価交換した電流源の回路は次のようになります。

等価交換の式から \(E_0=r_0I_0\)

\(E_0=V_{ab}、I_0=I_1+I_2、r_0\) は \(R_1\) と \(R_2\) の並列接続の合成抵抗になります。

\(I_0=I_1+I_2=\cfrac{E_1}{R_1}+\cfrac{E_2}{R_2}\)

\(\cfrac{1}{r_0}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\)

\(r_0=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}}\)

\(V_{ab}=r_0I_0\)

\(V_{ab}=\cfrac{\cfrac{E_1}{R_1}+\cfrac{E_2}{R_2}}{\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}}\)

となるので、ミルマンの定理の計算結果と同じになります。

この例では、電源と抵抗が 2個 の場合でしたが、電源と抵抗の数が \(i\)個 の場合も同様に計算することができます。

ミルマンの定理をアドミタンスで表す

アドミタンスを \(Y_i\) とすると、ミルマンの定理は次のようになります。

\(V_{ab}= \cfrac{ \displaystyle \sum _{ i=1 }^nY_iE_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^nY_i}\)

計算例

例題 1

変形すると図のようになります。

cb 間の電圧 \(V_{cb}\) をミルマンの定理で求めます。

\(V_{cb}=\cfrac{\cfrac{10}{5}+\cfrac{0}{20}+\cfrac{0}{4}}{\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{20}+\cfrac{1}{4}}=\cfrac{10}{5}×\cfrac{20}{10}=4[V]\)

電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{4}{4}=1\) [A] になります。

端子ab 間の電圧 \(V_{ab}\) は

\(V_{ab}=1A×1Ω=1\) [V]

例題 2

変形すると図のようになります。

ミルマンの定理に当てはめると \(V_{ab}\) は次のようになります。

\(V_{ab}=\cfrac{\cfrac{30}{10}+\cfrac{5}{15}+\cfrac{0}{4}}{\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{15}+\cfrac{1}{4}}\)=\(\cfrac{100}{30}×\cfrac{60}{25}=8\) [V]

負荷抵抗4Ωに流れる電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{8}{4}=2\) [A] になります。

以上で「ミルマンの定理」の説明を終わります。




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