ミルマンの定理

ミルマンの定理は複数の電源と抵抗が、並列に接続された回路において、端子電圧を簡単に求めることができる定理のことです。

\(V=\cfrac{I}{G}\quad\rm[V]\)

ミルマンの定理

ミルマンの定理は、複数の電源と抵抗が、並列に接続された回路において、 端子電圧 を簡単に求めることができる定理のことです。

ミルマンの定理は 全電圧の定理 または(帆足(ほあし)・ミルマンの定理 ともいわれます。

図のような、回路があったとき、端子電圧を \(V\)、電流を \(I\)、コンダクタンスを \(G\) とすると
\(V=\cfrac{I}{G}\quad\rm[V]\) で求めることができます。

  1. 各回路のコンダクタンス \(G\) を求める。
  2. 各回路の電流 \(I\) を求める。
  3. 端子電圧を求める。 \(V=\cfrac{I}{G}\quad\rm[V]\)

\(V=\cfrac{I}{G}\) の式は

\(I=\displaystyle \sum _{ i=1 }^n\cfrac{E_i}{R_i}\)

\(G=\displaystyle \sum_{i=1}^n\cfrac{1}{R_i}\) とすると

\(V= \cfrac{ \displaystyle \sum _{ i=1 }^n\cfrac{E_i}{R_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^n\cfrac{1}{R_i}}\) になります。

■ ∑(シグマ)の意味

たとえば、\(\displaystyle \sum_{i=1}^{4}R_i\) という式の意味は、次のようなことです。

\(R_i\) の \(i\) に  1 から  4 を代入して、合計するということで

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{4}R_i=R_1+R_2+R_3+R_4\) と言う意味になります。

ミルマンの定理の使い方

ミルマンの定理は、図のような複数の電源と複数の抵抗が、並列に接続された回路の端子電圧 \(V\) を求めるときに使います。

ミルマンの定理を使うには、次の図のように \(n\) 個の回路に考えます。

■ 各回路のコンダクタンスを求める。

各回路ごとに、コンダクタンスを求めて、それぞれのコンダクタンスを足し算します。

合成コンダクタンス \(G\) は

\(G=G_1+G_2\cdots G_{n-1}+G_n\)=\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cdots \cfrac{1}{R_{n-1}}+\cfrac{1}{R_n}\) となります。

■ 各回路の電流を求める。

各回路ごとに、電流を求めて、それぞれの電流を足し算します。

このときに、求めた電流値はミルマンの定理を使うためのもので、実際に回路の枝路に流れる電流値とは異なります。

\(I=I_1+I_2\cdots I_{n-1}+I_n\)
\(=\cfrac{E_1}{R_1}+\cfrac{E_2}{R_2}+\cdots \cfrac{E_{n-1}}{R_{n-1}}+\cfrac{E_n}{R_n}\) となります。

■ 端子電圧を求める。

端子電圧は、次の式から求められます。

\(V=\cfrac{I}{G}\)=\(\cfrac{ \displaystyle \sum _{ i=1 }^n\cfrac{E_i}{R_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^n\cfrac{1}{R_i}}\quad\rm[V]\) 

ミルマンの定理の練習問題

わかりやすいように、数値を入れた回路で計算をしてみます。

問題1

ミルマンの定理を使って、回路図の \(6\quad\rm[Ω]\) にかかる電圧 \(V\) を求めます。

<解 答>

ミルマンの定理を使えば、端子電圧 \(V\) は、次のように求められます。

■ 合成コンダクタンスを求める。

回路ごとにコンダクタンス \(G\) を求めます。

コンダクタンスは並列になっているので、それぞれのコンダクタンスを足し算をすれば良いことになります。

\(G=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{10}=\cfrac{14}{30}\quad\rm[S]\)

■ ミルマンの定理の電流を求める。

それぞれの回路について、電流を求めます。

合成電流は、それぞれの電流を足し算します。

\(I=\cfrac{21}{5}+\cfrac{0}{6}+\cfrac{14}{10}=\cfrac{168}{30}\quad\rm[A]\)

抵抗だけで起電力がないときは、単純に起電力をゼロにすれば良いことになります。

■ 端子電圧を求める。

求める端子電圧 \(V\) は、ミルマンの定理から

\(V=\cfrac{I}{G}\)=\(\cfrac{\cfrac{168}{30}}{\cfrac{14}{30}}\)=\(\cfrac{168}{14}=12\quad\rm[V]\)

このように、ミルマンの定理ではコンダクタンスと電流を、回路ごとに求めて計算すれば良いので簡単です。

問題2

図の回路において、電圧 \(V\) と各枝路の電流 \(I_1、I_2、I_3\) を求める。

<解 答>
端子電圧を求める。

■ 合成コンダクタンスを求める。

ミルマンの定理の、合成コンダクタンス \(G\) は

\(G=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}\)=\(\cfrac{6+3+2}{12}=\cfrac{11}{12}\)

■ 合成電流を求める。

ミルマンの定理の合成電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{8}{2}-\cfrac{10}{4}+\cfrac{12}{6}=\cfrac{42}{12}\)

■ 端子電圧 \(V\) を求める。

\(V=\cfrac{I}{G}\) の式から

\(V=\cfrac{\cfrac{42}{12}}{\cfrac{11}{12}}=\cfrac{42}{11}\quad\rm[V]\) になります。

中央の起電力は、他の起電力と向きが逆になっているので、他の起電力の向きを「正」としたら、中央の起電力の向きは「負」にしなければなりません。

各枝路の電流を求める

■ 電流 \(I_1\) を求める。

電流 \(I_1\) を求めるには、次のように考えれば良いことになります。

端子電圧 \(V\) は \(8\quad\rm[V]\) と \(2\quad\rm[Ω]\) の電圧降下の合計です。

したがって、\(V=8+2I_1\)

\(I_1=\cfrac{1}{2}(V-8)=\cfrac{1}{2}(\cfrac{42}{11}-8)\)=\(\cfrac{1}{2}(\cfrac{42-88}{11})=-\cfrac{23}{11}\quad\rm[A]\)

\(I_1\) はマイナス符号になりますので、図の向きと反対の向きに流れることになります。

■ 電流 \(I_2\) を求める。

同様にして、\(V=-10+4I_2\)

\(I_2=\cfrac{1}{4}(V+10)=\cfrac{1}{4}(\cfrac{42+110}{11})\)=\(\cfrac{1}{4}(\cfrac{152}{11})=\cfrac{38}{11}\quad\rm[A]\) 

電流の向きは、図の向きと同じ向きになります。

■ 電流 \(I_3\) を求める。

同様にして、\(V=12+6I_3\)

\(I_3=\cfrac{1}{6}(V-12)=\cfrac{1}{6}(\cfrac{42-132}{11})\)=\(-\cfrac{1}{6}(\cfrac{90}{11})=-\cfrac{15}{11}\quad\rm[A]\) 

電流の向きは、図の向きと反対の向きになります。

以上で「ミルマンの定理」の説明を終わります。