ミルマンの定理は複数の電源と抵抗が、並列に接続された回路において、端子電圧を簡単に求めることができる定理のことです。
ミルマンの定理
ミルマンの定理は、複数の電源と抵抗が、並列に接続された回路において、 端子電圧 を簡単に求めることができる定理のことです。
ミルマンの定理は 全電圧の定理 または（帆足（ほあし）・ミルマンの定理 ともいわれます。
図のような、回路があったとき、端子電圧を \(V\)、電流を \(I\)、コンダクタンスを \(G\) とすると
\(V=\cfrac{I}{G}\quad\rm[V]\) で求めることができます。
- 各回路のコンダクタンス \(G\) を求める。
- 各回路の電流 \(I\) を求める。
- 端子電圧を求める。 \(V=\cfrac{I}{G}\quad\rm[V]\)
\(V=\cfrac{I}{G}\) の式は
\(I=\displaystyle \sum _{ i=1 }^n\cfrac{E_i}{R_i}\)
\(G=\displaystyle \sum_{i=1}^n\cfrac{1}{R_i}\) とすると
\(V= \cfrac{ \displaystyle \sum _{ i=1 }^n\cfrac{E_i}{R_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^n\cfrac{1}{R_i}}\) になります。
■ ∑（シグマ）の意味
たとえば、\(\displaystyle \sum_{i=1}^{4}R_i\) という式の意味は、次のようなことです。
\(R_i\) の \(i\) に 1 から 4 を代入して、合計するということで
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{4}R_i=R_1+R_2+R_3+R_4\) と言う意味になります。
ミルマンの定理の使い方
ミルマンの定理は、図のような複数の電源と複数の抵抗が、並列に接続された回路の端子電圧 \(V\) を求めるときに使います。
ミルマンの定理を使うには、次の図のように \(n\) 個の回路に考えます。
■ 各回路のコンダクタンスを求める。
各回路ごとに、コンダクタンスを求めて、それぞれのコンダクタンスを足し算します。
合成コンダクタンス \(G\) は
\(G=G_1+G_2\cdots G_{n-1}+G_n\)＝\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cdots \cfrac{1}{R_{n-1}}+\cfrac{1}{R_n}\) となります。
■ 各回路の電流を求める。
各回路ごとに、電流を求めて、それぞれの電流を足し算します。
\(I=I_1+I_2\cdots I_{n-1}+I_n\)
\(=\cfrac{E_1}{R_1}+\cfrac{E_2}{R_2}+\cdots \cfrac{E_{n-1}}{R_{n-1}}+\cfrac{E_n}{R_n}\) となります。
■ 端子電圧を求める。
端子電圧は、次の式から求められます。
\(V=\cfrac{I}{G}\)＝\(\cfrac{ \displaystyle \sum _{ i=1 }^n\cfrac{E_i}{R_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^n\cfrac{1}{R_i}}\quad\rm[V]\)
ミルマンの定理の練習問題
わかりやすいように、数値を入れた回路で計算をしてみます。
問題1
ミルマンの定理を使って、回路図の \(6\quad\rm[Ω]\) にかかる電圧 \(V\) を求めます。
＜解 答＞
ミルマンの定理を使えば、端子電圧 \(V\) は、次のように求められます。
■ 合成コンダクタンスを求める。
回路ごとにコンダクタンス \(G\) を求めます。
コンダクタンスは並列になっているので、それぞれのコンダクタンスを足し算をすれば良いことになります。
\(G=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{10}=\cfrac{14}{30}\quad\rm[S]\)
■ ミルマンの定理の電流を求める。
それぞれの回路について、電流を求めます。
合成電流は、それぞれの電流を足し算します。
\(I=\cfrac{21}{5}+\cfrac{0}{6}+\cfrac{14}{10}=\cfrac{168}{30}\quad\rm[A]\)
抵抗だけで起電力がないときは、単純に起電力をゼロにすれば良いことになります。
■ 端子電圧を求める。
求める端子電圧 \(V\) は、ミルマンの定理から
\(V=\cfrac{I}{G}\)＝\(\cfrac{\cfrac{168}{30}}{\cfrac{14}{30}}\)＝\(\cfrac{168}{14}=12\quad\rm[V]\)
このように、ミルマンの定理ではコンダクタンスと電流を、回路ごとに求めて計算すれば良いので簡単です。
問題2
図の回路において、電圧 \(V\) と各枝路の電流 \(I_1、I_2、I_3\) を求める。
＜解 答＞
端子電圧を求める。
■ 合成コンダクタンスを求める。
ミルマンの定理の、合成コンダクタンス \(G\) は
\(G=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}\)＝\(\cfrac{6+3+2}{12}=\cfrac{11}{12}\)
■ 合成電流を求める。
ミルマンの定理の合成電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{8}{2}-\cfrac{10}{4}+\cfrac{12}{6}=\cfrac{42}{12}\)
■ 端子電圧 \(V\) を求める。
\(V=\cfrac{I}{G}\) の式から
\(V=\cfrac{\cfrac{42}{12}}{\cfrac{11}{12}}=\cfrac{42}{11}\quad\rm[V]\) になります。
各枝路の電流を求める
■ 電流 \(I_1\) を求める。
電流 \(I_1\) を求めるには、次のように考えれば良いことになります。
端子電圧 \(V\) は \(8\quad\rm[V]\) と \(2\quad\rm[Ω]\) の電圧降下の合計です。
したがって、\(V=8+2I_1\)
\(I_1=\cfrac{1}{2}(V-8)=\cfrac{1}{2}(\cfrac{42}{11}-8)\)＝\(\cfrac{1}{2}(\cfrac{42-88}{11})=-\cfrac{23}{11}\quad\rm[A]\)
\(I_1\) はマイナス符号になりますので、図の向きと反対の向きに流れることになります。
■ 電流 \(I_2\) を求める。
同様にして、\(V=-10+4I_2\)
\(I_2=\cfrac{1}{4}(V+10)=\cfrac{1}{4}(\cfrac{42+110}{11})\)＝\(\cfrac{1}{4}(\cfrac{152}{11})=\cfrac{38}{11}\quad\rm[A]\)
電流の向きは、図の向きと同じ向きになります。
■ 電流 \(I_3\) を求める。
同様にして、\(V=12+6I_3\)
\(I_3=\cfrac{1}{6}(V-12)=\cfrac{1}{6}(\cfrac{42-132}{11})\)＝\(-\cfrac{1}{6}(\cfrac{90}{11})=-\cfrac{15}{11}\quad\rm[A]\)
電流の向きは、図の向きと反対の向きになります。
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以上で「ミルマンの定理」の説明を終わります。