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三相電力の公式

  • 三相電力の公式
  • 三相電力の公式に \(\sqrt3\) がつく理由
  • 三相電力のまとめ

について説明しています。

目次

三相電力の公式

三相電力は、電圧、電流、力率 で求めます。

三相電力の公式

三相電力=\(\sqrt3\) × 線間電圧 × 線電流 × \(\cosθ\) [W]

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W]

三相電力の公式

三相電力の公式は

三相電力を \(P\) [W]

線間電圧を \(V_l\) [V]

線電流を \(I_l\) [A]

力率を \(\cosθ\) とすると

三相結線(スター結線・デルタ結線)の種類に関係なく

次の式で表されます。

三相電力の公式

三相電力=\(\sqrt3\) × 線間電圧 × 線電流 × \(\cosθ\) [W]

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W]

三相電力は3つの単相電力の和

三相電力は、3つの単相電力の和になります。

三相電力を「相電圧と相電流」で表す

三相電力の公式を「相電圧と相電流」で表すと

三相電力を \(P\) [W]

相電圧を \(V\) [V]

相電流を \(I\) [A]

力率を \(\cosθ\)とすると

\(P=3VI\cosθ\) [W] となります。

三相電力を「相電圧と相電流」で表す場合は、単相交流電力の3倍になります。

三相電力の公式に \(\sqrt{3}\) が付く理由

スター結線で \(\sqrt3\) が付く理由

スター結線で

三相電力の公式に \(\sqrt3\) が付くのは

相電圧 \(=\cfrac{1}{\sqrt3}×\) 線間電圧 の関係があるためです。

三相電力を \(P\) [W]

線間電圧を \(V_l\) [V]

線電流を \(I_l\) [A]

力率を \(\cosθ\) とすると

相電圧と線間電圧の関係

相電圧 \(V\)、線間電圧 \(V_l\) とすると

相電圧 \(=\cfrac{1}{\sqrt3}×\) 線間電圧 の関係です。

\(V=\cfrac{1}{\sqrt3}V_l\)

相電流と線電流の関係

相電流 \(=\) 線電流

\(I=I_l\) 

「三相電力を相電圧と相電流で表す式」に代入すると

三相電力を相電圧と相電流で表す式
\(P=3VI\cosθ\) [W] 

\(P=3VI\cosθ=3×\cfrac{1}{\sqrt3}V_l×I_l\cosθ\)

分母を有理化すると

\(P=\cfrac{3\sqrt3}{\sqrt3×\sqrt3}×V_lI_l\cosθ=\sqrt3V_lI_l\cosθ\) [W]

三相電力の公式と同じになります。

三相電力の公式

三相電力=\(\sqrt3\) × 線間電圧 × 線電流 × \(\cosθ\) [W]

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W]

スター結線のベクトル図から線間電圧を求める

ベクトル図から、線間電圧が相電圧の \(\sqrt3\) 倍になることを求めます。

スター結線の線間電圧は、\(V_{ab}=E_a-E_b\) で求めます。

ベクトル図から線間電圧を求める

線間電圧 \(V_{ab}=E_a-E_b\) のベクトル図です。

  • 三角形 ABO は、辺 BO が 線間電圧 \(V_{ab}\) 
    辺 AO と辺 AB が相電圧 \(E_a\) と \(-E_b\) になります。
  • P点は、底辺 BO を二等分します。

    \(PO=\cfrac{1}{2}V_{ab}\) になります。
  • 直角三角形 APO で、∠AOPは \(\cfrac{π}{6}\)(30度)です。
    辺AP:AO:PO の比率は、\(1:2:\sqrt{3}\) になります。

    \(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{PO}{AO}=\cfrac{\cfrac{1}{2}V_{ab}}{E_a}=\cfrac{\sqrt3}{2}\)

    \(V_{ab}=2E_acos\cfrac{π}{6}\)=\(2E_a×\cfrac{\sqrt3}{2}\)=\(\sqrt3{E_a}\)
  • 線間電圧は、相電圧の \(\sqrt3\) 倍になります。

スター結線のときは、「相電流=線電流」です。

三相電力の公式

三相電力=\(\sqrt3\) × 線間電圧 × 線電流 × \(\cosθ\) [W]

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W]

デルタ結線で \(\sqrt{3}\) が付く理由

デルタ結線で

三相電力の公式に \(\sqrt3\) が付くのは

相電流 \(=\cfrac{1}{\sqrt3}×\) 線電流 の関係があるためです。

三相電力を \(P\) [W]

線間電圧を \(V_l\) [V]

線電流を \(I_l\) [A]

力率を \(\cosθ\) とすると

相電流と線電流の関係

相電流 \(I\)、線電流 \(I_l\) とすると

相電流 \(=\cfrac{1}{\sqrt3}×\) 線電流 の関係です。

\(I=\cfrac{1}{\sqrt3}I_l\)

相電圧と線間電圧の関係

相電圧 \(=\) 線間電圧

\(V=V_l\) 

「三相電力を相電圧と相電流で表す公式」に代入すると

三相電力を相電圧と相電流で表す公式
\(P=3VI\cosθ\) [W] 

\(P=3VI\cosθ=3×V_l×\cfrac{1}{\sqrt3}I_l\cosθ\)

分母を有理化すると

\(P=\cfrac{3\sqrt3}{\sqrt3×\sqrt3}×V_lI_l\cosθ=\sqrt3V_lI_l\cosθ\) [W]

三相電力の公式と同じになります。

三相電力の公式

三相電力=\(\sqrt3\) × 線間電圧 × 線電流 × \(\cosθ\) [W]

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W]

デルタ結線のベクトル図から線電流を求める

ベクトル図から、線電流が相電流の \(\sqrt3\) 倍になることを求めます。

デルタ結線の線電流は、\(I_a=I_{ab}-I_{ca}\) で求めます。

ベクトル図から線電流を求める

線電流 \(I_a=I_{ab}-I_{ca}\) のベクトル図です。

  • 三角形ABO は、辺BO が 線電流 \(I_a\)
    辺AO と 辺AB が 相電流 \(I_{ab}\) と \(-I_{ca}\) になります。
  • P点は、底辺BO を二等分します。
    \(PO=\cfrac{1}{2}I_a\) になります。
  • 直角三角形APO で、∠AOPは \(\cfrac{π}{6}\)(30度)です。
    辺AP:AO:PO の比率は、\(1:2:\sqrt3\) になります。

    \(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{PO}{AO}=\cfrac{\cfrac{1}{2}I_a}{I_{ab}}=\cfrac{\sqrt3}{2}\)

    \(I_a=2I_{ab}cos\cfrac{π}{6}\)=\(2×I_{ab}×\cfrac{\sqrt3}{2}\)=\(\sqrt3I_{ab}\)
  • 線電流は、相電流の \(\sqrt3\) 倍になります。

デルタ結線のときは、「相電圧=線間電圧」です。

三相電力の公式

三相電力=\(\sqrt3\) × 線間電圧 × 線電流 × \(\cosθ\) [W]

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W]

以上のように、スター結線でもデルタ結線でも同じ公式になります。

三相電力の公式のまとめ

三相電力の公式は

三相電力を \(P\) [W]

線間電圧を \(V_l\) [V]

線電流を \(I_l\) [A]

力率を \(\cosθ\) とすると

三相結線(スター結線・デルタ結線)の種類に関係なく

次の式で表されます。

三相電力の公式

三相電力=\(\sqrt3\) × 線間電圧 × 線電流 × \(\cosθ\) [W]

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W]

以上で「三相電力の公式」の説明を終わります。

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