合成抵抗の計算

直列接続の合成抵抗の計算

合成抵抗とは 2個以上の抵抗 を 1つの抵抗 に置き換えたときの 抵抗の値 をいいます。

抵抗の直列接続のときは、2個でも3個以上でも、単純に足せば良い。
\(R=R_1+R_2+R_3+\cdots+R_n\) 
例題1

2つの抵抗を足せば良いので

\(30+15=45\) [Ω] になります。

例題2

直列接続は何個あっても、足せば良いので

\(10+8+9=27\) [Ω] になります。

並列接続の合成抵抗の計算

抵抗の並列接続のときの合成抵抗は
合成抵抗の逆数=それぞれの抵抗の逆数の和 になります。

並列接続の抵抗が2個以上のときの公式は

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}+\cdots+\cfrac{1}{R_n}\) になります。

並列接続の抵抗が2個のときは「和分の積」の公式が使えます

抵抗が2個のときの並列接続は「和分の積」の公式を使います。

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) 

【重要】
★ ただし、「和分の積」の公式は2個のときだけしか使えない。

★ 並列接続の合成抵抗は、元のそれぞれの抵抗の値より、必ず小さい値になります。
 
和分の積の公式は
\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\) を変形して

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) が求められます。

例題1

和分の積の公式に代入して

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\)

\(=\cfrac{30×20}{30+20}=\cfrac{600}{50}=12\) [Ω] 

例題2

和分の積の公式に代入して

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\)

\(=\cfrac{50×50}{50+50}=\cfrac{2500}{100}=25\) [Ω] になります。

【重要】
並列抵抗が同じ値のときは、抵抗値を抵抗の数で割れば答えになります。

\(30\) [Ω] が2個ならば

\(R=\cfrac{30}{2}=15\) [Ω] となります。

\(30\) [Ω] が3個ならば

\(R=\cfrac{30}{3}=10\) [Ω] となります。

並列接続の抵抗が3個のときの計算方法

例題1

■ 基本の解き方
\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\) の公式から

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{20}+\cfrac{1}{12}\)

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{4}{120}+\cfrac{6}{120}+\cfrac{10}{120}\)

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{20}{120}=\cfrac{1}{6}\)
 
\(R=6\) [Ω]  
 
■ 和分の積を使う方法
図のように「和分の積」の公式を2回に分けて使います。

青丸の \(20\) [Ω] と \(30\) [Ω] の抵抗を「和分の積」で計算します。

\(\cfrac{20×30}{20+30}=12\) 

次に、赤丸の \(12\) [Ω] と \(12\) [Ω] を「和分の積」で計算します。

\(\cfrac{12×12}{12+12}=\cfrac{144}{24}=6\) [Ω] になります。

この場合は、\(12\) [Ω] が2個なので、\(12\) [Ω] の半分の \(6\) [Ω] になることはすぐに分かります。

直並列接続の合成抵抗の計算

並列になっている \(R_1\) と \(R_2\) を和分の積で求め、その合成抵抗と \(R_3\) の合成抵抗を求めます。

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}+R_3\)

 

直並列接続の合成抵抗の計算のコツは、並列接続の抵抗を1個にまとめることです。

例題1

並列接続のところは「和分の積」を使います。

\(R=\cfrac{20×80}{20+80}+30=46\) [Ω] 

 

その他の接続

\(R_2\) と \(R_3\) を1個にまとめて合成抵抗を計算して、その合成した抵抗と \(R_1\) で「和分の積」で計算します。

\(R=\cfrac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+(R_2+R_3)}\) 
例題1

\(4\) [Ω] と \(14\) [Ω] で \(18\) [Ω] になります。

\(18\) [Ω] と \(12\) [Ω] で「和分の積」を使います。

\(R=\cfrac{18×12}{18+12}=\cfrac{36}{5}\)

\(=7.2\) [Ω] 

例題2

左側の並列抵抗と右側の並列抵抗を求めて、それぞれの合成抵抗を足し算すれば求められます。

逆数を使った通常のやり方でも良いのですが、抵抗値が同じ場合の並列抵抗は個数で割れば合成抵抗を求められます。

\(左側の合成抵抗R_1=\cfrac{30}{3}=10\) [Ω]  

\(右側の合成抵抗R_2=\cfrac{30}{2}=15\) [Ω]  

したがって
\(R=10+15=25\) [Ω] になります。

例題3

\(R_1\) の合成抵抗から順に求めていきます。

\(R_1=\cfrac{10}{2}=5\) [Ω] 

\(R_1=5\) [Ω] に直列の \(5\) [Ω] を足すと \(10\) [Ω] になります。 

\(R_2\) は \(10\) [Ω] と \(10\) [Ω] の並列なので \(5\) [Ω] になります。

\(R_2=5\) [Ω] に直列の \(5\) [Ω] を足すと \(10\) [Ω] になります。 
 
\(R_3\) は \(10\) [Ω] と \(10\) [Ω] の並列なので \(5\) [Ω] になります。

したがって
\(R=5\) [Ω] になります。

直列接続の合成抵抗が足し算になる理由

\(n\) 個の抵抗の直列接続の回路に流れる電流 \(I\) は、各抵抗に同じ大きさの電流が流れます。

それぞれの抵抗に掛かる電圧は、次のようになります。
 
\(R_1\) にかかる電圧を \(V_1\)

\(R_2\) にかかる電圧を \(V_2\)

\(R_3\) にかかる電圧を \(V_3\)

\(R_n\) にかかる電圧を \(V_n\)

\(E=V_1+V_2+V_3+\cdots+V_n\cdots(1)\) になります。

オームの法則 から

\(E=RI\)

\(V_1=R_1I\)

\(V_2=R_2I\)

\(V_3=R_3I\)

\(V_n=R_nI\) ですから

式(1)に代入すると

\(RI=R_1I+R_2I+R_3I+\cdots+R_nI\) になります。

両辺を、電流 \(I\) で割ると

\(R=R_1+R_2+R_3+\cdots+R_n\quad\rm[Ω]\) となります。

直列接続の場合は単純に抵抗値を足せば良いことがわかります。

並列接続の合成抵抗の逆数がそれぞれの抵抗の逆数の和になる理由

\(n\) 個の抵抗の並列接続の回路の抵抗にかかる電圧 \(E\) は同じ大きさです。

それぞれの抵抗に流れる電流は、次のようになります。

\(R_1\) に流れる電流を \(I_1\)

\(R_2\) に流れる電流を \(I_2\)

\(R_3\) に流れる電流を \(I_3\)

\(R_n\) に流れる電流を \(I_n\)

\(I=I_1+I_2+I_3+\cdots+I_n\cdots(1)\) になります。

オームの法則 から

\(I=\cfrac{E}{R}\)

\(I_1=\cfrac{E}{R_1}\)

\(I_2=\cfrac{E}{R_2}\)

\(I_3=\cfrac{E}{R_3}\)

\(I_n==\cfrac{E}{R_n}\) ですから

式(1)に代入すると

\(\cfrac{E}{R}=\cfrac{E}{R_1}+\cfrac{E}{R_2}+\cfrac{E}{R_3}+\cdots+\cfrac{E}{R_n}\) になります。

両辺を、電圧 \(E\) で割ると

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}……\cfrac{1}{R_n}\quad\rm[Ω]\) となります。

抵抗の逆数は 「コンダクタンス」 になります。

コンダクタンスは \(G\) で表し、記号に [S]ジーメンス を使います。

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}+\cdots+\cfrac{1}{R_n}\quad\rm[Ω]\) をコンダクタンスで表すと

\(G=G_1+G_2+G_3+\cdots+G_n\quad\rm[S]\) となります。

練習問題

■ 問題1
次の回路の合成抵抗を求め、回路に流れる電流 \(I\) [A] を求めよ。

解答例
\(50と50\) [Ω] の並列接続なので \(25\) [Ω] になります。

\(25と5\) [Ω] の直列接続で \(30\) [Ω] になります。

最後に \(30と20\) [Ω] の並列接続ですから和分の積を使って

合成抵抗\(=\cfrac{30×20}{30+20}=\cfrac{600}{50}\)

合成抵抗\(=12\) [Ω] になります。

回路に流れる電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{R}=\cfrac{6}{12}=0.5\) [Ω] になります。

コンダクタンスについては次の記事が参考になります。
■関連記事■  コンダクタンスについて

以上で「合成抵抗の計算」の説明を終わります。