合成抵抗の計算




直流回路に複数の抵抗を接続したときの、合成抵抗(複数の抵抗を一つの抵抗として合成したもの)の求め方を説明します。

直列に接続したときの合成抵抗や、並列に接続したときの合成抵抗があります。

また、直列接続と並列接続が混在したものがありますが、基本的にはどんなに複雑なようでも、一つずつ合成して求めていけば計算することができます。

直列接続の合成抵抗

2個のときの直列接続

2個の抵抗が直列になっているときの合成抵抗は、それぞれの抵抗を足せば良いので簡単です。

抵抗は、電流の流れをジャマするものですから、抵抗が直列に接続されていれば抵抗値が大きくなるというのは、感覚的にもわかると思います。

図のように、2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) が直列に接続されています。

直列接続の2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の合成抵抗を \(R\) とします。

このとき、2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) に流れる電流 \(I\) は、同じ大きさの電流が流れます。

\(R_1\) にかかる電圧を \(V_1\) 、\(R_2\) にかかる電圧を \(V_2\) とすると

\(V=V_1+V_2\) になります。

オームの法則から、\(V=RI\)、\(V_1=R_1I\)、 \(V_2=R_2I\) ですから、上の電圧の式に代入すると

\(RI=R_1I+R_2I\) になります。

両辺を、電流 \(I\) で割ると

\(R=R_1+R_2\) [Ω] となるので

直列接続の場合は単純に抵抗値を、足せば良いことがわかります。

n 個のときの直列接続

2個以上の抵抗の直列接続も、基本的に2個のときと同じように求めることができます。

\(R=R_1+R_2+R_3……R_n\) [Ω] というように、単純に加算すれば良いので簡単です。

並列接続の合成抵抗

2個のときの並列接続

並列に接続された合成抵抗は、合成抵抗の逆数が、それぞれの抵抗の逆数の和になります。

並列に接続された、2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) には同じ電圧 \(V\) がかかることになります。

抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) に流れる電流は、それぞれの抵抗の大きさに反比例した大きさの電流 \(I_1\) と \(I_2\) が流れることになります。

並列接続の2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の合成抵抗を \(R\) とします。

回路全体に流れる電流を \(I\) とすると

\(I=I_1+I_2\) となります。

オームの法則から、\(I=\cfrac{V}{R}\)、\(I_1=\cfrac{V}{R_1}\)、\(I_2=\cfrac{V}{R_2}\) になりますので、上の電流の式に代入すると

\(\cfrac{V}{R}=\cfrac{V}{R_1}+\cfrac{V}{R_2}\) になります。

両辺を、電圧 \(V\) で割ると

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\) になります。

逆数を直して、\(R\) の式にすると

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) [Ω] になります。

この公式を、「和分の積」といいます。

「和分の積」
\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) [Ω]

2個の時には「和分の積」が使える
抵抗が2個の並列接続のときは、「和分の積」という公式が使えます。

和分の積は、その名の通り分数の分母に「2つの抵抗の和」を入れます。

そして、分数の分子には「2つの抵抗の積」を入れて計算するものです。

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) [Ω]

n 個のときの並列接続

n 個の並列接続のときは、逆数で計算して最後に \(R=\) という形にして値を求めるわけです。

考え方は、2個のときと同じようにできます。

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}……\cfrac{1}{R_n}\) [Ω]

直列と並列の合成抵抗の求め方を理解しておけば、あとは組み合わせの問題になります。

合成抵抗の計算例

例題 1
端子ab間の合成抵抗を求めよ。

解答例
暗算でできそうな問題です。7.5ΩでOKと思ったら、2.5Ω!

なんでー?

よく見たら、右側の5Ωは短絡されていた。確かに答えは2.5Ωでした。

こんな問題もあるから注意が必要です。

和分の積で求められる。

\(R=\cfrac{5×5}{5+5}\)=2.5 [Ω]

例題 2
端子ab間の合成抵抗を求めよ。

解答例
1.仮に電流が端子 a から端子 b の方向に流れると仮定します。
2.端子 ac と端子 ad を見ると対称になっているので、c と d の電位は等しいと考えられます。
3.端子 cd 間には電位差が無いので端子 cd 間を導線で結ぶ。

問題の図は次のようになります。

4.端子 aM 間の合成抵抗を \(R_1\) とし、端子 Mb 間の合成抵抗を \(R_2\) とする。
5.端子 ab 間の合成抵抗を \(R_0\) とすると、\(R_0=R_1+R_2\) になります。

・端子 aM 間の合成抵抗を $R_1$ は、最終的に並列接続になるので逆数で求めます。

\(\cfrac{1}{R_1}=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{R+\cfrac{R}{2}}+\cfrac{1}{R}=\cfrac{8}{3R}\)

\(R_1=\cfrac{3R}{8}\)

\(R_2=R\)

\(R_0=R_1+R_2=\cfrac{3R}{8}+R=\cfrac{11R}{8}\) [Ω]

以上で「合成抵抗の計算」の説明を終わります。




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