合成抵抗の求め方（直列と並列の公式）

合成抵抗の公式は、直列接続の公式・並列接続の公式・和分の積の公式があります。

合成抵抗の公式

合成抵抗の公式は、直列接続の公式・並列接続の公式・和分の積の公式があります。

直列接続の合成抵抗の公式

\(n\)個 の抵抗が直列接続になっている、回路の合成抵抗 \(R_0\) を求める公式は、次のようになります。

直列接続の公式
\(R_0=R_1+R_2+R_3+\cdots+R_n\)　[Ω]

直列接続の合成抵抗の求め方は、2個でも3個でもそれ以上でも、それぞれの抵抗の値を足し算をすれば求めることができます。

並列接続の合成抵抗の公式

\(n\)個 の抵抗が並列接続、になっている回路の合成抵抗 \(R_0\) を求める公式は、次のようになります。

並列接続の公式
\(\cfrac{1}{R_0}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cdots+\cfrac{1}{R_n}\)　[Ω]

上の公式は、合成抵抗の逆数になっていますので、合成抵抗を求めるには、\(R=\) の形に直す必要があります。

和分の積の公式（2個の抵抗が並列接続のときに使える公式）

並列回路において、2個の抵抗が並列接続のときだけ、「和分の積の公式」が使えます。

和分の積の公式
\(R_0=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\)　[Ω]

上図のように、2個の抵抗が、並列に接続されているときの合成抵抗は、「和分の積の公式」を使うことができる。

和分の積の公式の求め方

和分の積の公式は、並列接続の公式から求められます。

コンダクタンスについて

抵抗の逆数は　コンダクタンス　になります。

コンダクタンスは　\(G\)　で表し、記号に　[S]　ジーメンス　を使います。

\(\cfrac{1}{R_0}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}+\cdots+\cfrac{1}{R_n}\)　[Ω]　

合成コンダクタンスを　\(G_0\)　で表すと

\(G_0=G_1+G_2+G_3+\cdots+G_n\)　[S]　となります。

直列接続の合成抵抗の練習問題

次に直列接続の計算例を示します。直列接続の合成抵抗は、単純に「足せば良い」ので簡単です。

並列接続の合成抵抗の求め方

並列接続の計算例を示します。2個の抵抗が並列接続のときは、「和分の積の公式」を使うと簡単に計算できます。

和分の積の公式
\(R_0=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\)　[Ω]

2個の抵抗が並列接続の合成抵抗の計算例1

図のように、30Ωと20Ωの抵抗が、並列に接続されています。合成抵抗　\(R_0\)　を求めよ。

2個の抵抗の並列接続の合成抵抗は、「和分の積」を使います。

\(R_0=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\)　の式に代入して

\(R_0=\cfrac{30×20}{30+20}=\cfrac{600}{50}=12\)　[Ω]　

2個の抵抗が並列接続の合成抵抗の計算例2

図のように、50Ωと50Ωの抵抗が、並列に接続されています。合成抵抗　\(R_0\)　を求めよ。

2つの抵抗の並列接続の合成抵抗は、和分の積が使えます。

\(R_0=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\)　に代入して

\(R_0=\cfrac{50×50}{50+50}=\cfrac{2500}{100}=25\)　[Ω]　になります。

並列回路の抵抗が同じ値のときの合成抵抗の特徴

抵抗が同じ値のときの、並列接続の合成抵抗は、次のような特徴があります。

3個の抵抗が並列接続の合成抵抗の計算例

3個の抵抗が並列接続の、合成抵抗の求め方は2つの方法があります。

和分の積を2回使う方法

和分の積の公式の1回目

3個の抵抗30Ω、20Ω、4Ωのうちの、どれか2個の抵抗を選んで「和分の積の公式」を使います。

どの抵抗の組み合わせでも良いのですが、計算しやすそうな、30Ωと20Ωの抵抗で、「和分の積の公式」を使います。

元の回路は、次の回路と同じになります。

上の回路に和分の積の公式を、代入すると

\(R_0=\cfrac{12×4}{12+4}=\cfrac{48}{16}=3\)　[Ω]　になります。

並列接続の公式による計算例

3個の抵抗の値を「並列接続の公式」に代入します。

合成抵抗　\(R_0=\)　の形に変形すると

\(R_0=3\)　[Ω]　　

直列接続と並列接続が混同した回路の合成抵抗の求め方

直列接続と並列接続が混ざっている、抵抗の回路を「直並列接続」と呼びます。

直並列接続の回路の、合成抵抗を求めるのは複雑そうに見えます。しかし、基本的には簡単にできるものから、合成抵抗を求めていけば良いので実際はそれほど難しくはありません。

直並列接続の合成抵抗の求め方の例題

例題1

上図のような、直並列接続の回路があります。一見とても難しそうに見えます。しかし、「チョットしたコツ」をわかっていれば、簡単に合成抵抗を求められます。

直並列接続のコツは、簡単に合成できるものから合成するということ。

例題2

同じような例ですが、もう1つ解説します。

直並列接続のコツは、簡単に合成できるものから合成するということ。

上の例で分かるように、直列でも並列でも、合成しやすいものから合成していけば良いということになります。

まとめ

合成抵抗の求め方の公式は、「直列接続の公式」と「並列接続の公式」と「和分の積の公式」があります。

以上で「合成抵抗の求め方（直列と並列の公式）」の説明を終わります。