合成抵抗の計算




直流回路に複数の抵抗を接続したときの、合成抵抗(複数の抵抗を一つの抵抗として合成したもの)の求め方を説明します。

直列に接続したときの合成抵抗や、並列に接続したときの合成抵抗があります。

また、直列接続と並列接続が混在したものがありますが、基本的にはどんなに複雑なようでも、一つずつ合成して求めていけば計算することができます。

直列接続の合成抵抗

2個のときの直列接続

2個の抵抗が直列になっているときの合成抵抗は、それぞれの抵抗を足せば良いので簡単です。

図のように、2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) が直列に接続されています。

直列接続の2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の合成抵抗を \(R\) とすると
\(R=R_1+R_2\hspace{8px}\rm [Ω]\)
のように、単純に\(R_1\)と\(R_2\)を足したものになります。

2個の抵抗の合成抵抗が足し算になる理由

抵抗の直列接続が足し算で求められる理由は、次のように考えることができます。
2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) に流れる電流 \(I\) は、各抵抗に同じ大きさの電流が流れます。

\(R_1\) にかかる電圧を \(V_1\)
\(R_2\) にかかる電圧を \(V_2\) とすると

\(E=V_1+V_2\cdots(1)\) になります。

オームの法則から
\(E=RI\)
\(V_1=R_1I\)
\(V_2=R_2I\) ですから
式(1)に代入すると

\(RI=R_1I+R_2I\) になります。

両辺を、電流 \(I\) で割ると
\(R=R_1+R_2\) [Ω] となるので
直列接続の場合は単純に抵抗値を、足せば良いことがわかります。

n 個のときの直列接続

\(n\)個以上の抵抗の直列接続も、基本的に2個のときと同じように求めることができます。

\(R=R_1+R_2+R_3……R_n\hspace{8px}\rm [Ω]\)
というように、単純に加算すれば良いので簡単です。

\(n\)個の直列接続の合成抵抗が足し算になる理由

\(n\)個の抵抗の直列接続の回路に流れる電流 \(I\) は、各抵抗に同じ大きさの電流が流れます。

それぞれの抵抗に掛かる電圧は、次のようになります。
\(R_1\) にかかる電圧を \(V_1\)
\(R_2\) にかかる電圧を \(V_2\)
\(R_3\) にかかる電圧を \(V_3\)
\(R_n\) にかかる電圧を \(V_n\)

\(E=V_1+V_2+V_3+\cdots+V_n\cdots(2)\) になります。

オームの法則から
\(E=RI\)
\(V_1=R_1I\)
\(V_2=R_2I\)
\(V_3=R_3I\)
\(V_n=R_nI\) ですから
式(2)に代入すると

\(RI=R_1I+R_2I+R_3I+\cdots+R_nI\) になります。

両辺を、電流 \(I\) で割ると
\(R=R_1+R_2+R_3+\cdots+R_n\) [Ω] となるので
直列接続の場合は単純に抵抗値を、足せば良いことがわかります。

並列接続の合成抵抗

2個のときの並列接続

2個の抵抗が並列に接続された合成抵抗は、合成抵抗の逆数が、それぞれの抵抗の逆数の和になります。

合成抵抗を\(R\)とすると
合成抵抗の逆数=各抵抗の逆数の和 になります。
\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\hspace{8px}\rm [Ω]\)

和分の積の公式
\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\hspace{8px}\rm [Ω]\)

2個の抵抗の並列接続の合成抵抗が和分の積で求められる理由

次の図で考えると、2個の抵抗の並列接続の各抵抗に掛かる電圧は\(E\hspace{8px}\rm [V]\)

回路に流れる電流の関係は、回路全体に流れる電流を \(I\) とすると
\(I=I_1+I_2\hspace{8px}\rm [A]\cdots(3)\)

並列接続の2個の抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の合成抵抗を \(R\) とします。

オームの法則から、\(I=\cfrac{E}{R}\)
\(I_1=\cfrac{E}{R_1}\)
\(I_2=\cfrac{E}{R_2}\) になりますので
式(3)に代入すると
\(\cfrac{E}{R}=\cfrac{E}{R_1}+\cfrac{E}{R_2}\) になります。

両辺を、電圧 \(E\) で割ると

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\) になります。

逆数を直して、\(R\) の式にすると

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) [Ω] になります。

この公式を、「和分の積」といいます。

2個の時には「和分の積」が使える
抵抗が2個の並列接続のときは、「和分の積」の公式が使えます。

和分の積は、その名の通り分数の分母に「2つの抵抗の和」を入れます。

そして、分数の分子には「2つの抵抗の積」を入れて計算するものです。

\(R=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) [Ω]

n 個のときの並列接続

n 個の並列接続のときは、逆数で計算して最後に \(R=\) という形にして値を求めるわけです。
考え方は、2個のときと同じようにできます。

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}……\cfrac{1}{R_n}\) [Ω] 

考え方
オームの法則から合成抵抗 \(R\) [Ω]は

\(R=\cfrac{E}{I_1}+\cfrac{E}{I_2}+\cfrac{E}{I_3}+\cdots+\cfrac{E}{I_n}\)\(=\cfrac{E}{\cfrac{E}{R_1}+\cfrac{E}{R_2}+\cfrac{E}{R_3}+\cdots+\cfrac{E}{R_n}}\)\(=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}+\cdots+\cfrac{1}{R_n}}\)

よって、合成抵抗の逆数 \(\cfrac{1}{R}\) は

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}+\cdots+\cfrac{1}{R_n}\) [Ω] で求めることができます。

抵抗の逆数は「コンダクタンス」になります。コンダクタンスは \(G\) で表し、記号に [S]ジーメンス を使います。

\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}+\cdots+\cfrac{1}{R_n}\) [Ω] をコンダクタンスで表すと

\(G=G_1+G_2+G_3+\cdots+G_n\) [S] となります。

コンダクタンスについて

2018.07.15
直列と並列の合成抵抗の求め方を理解しておけば、あとは組み合わせの問題になります。

練習問題

問題1

次のように抵抗が直列と並列に、複雑に接続されている場合の解き方を説明します。

<解 答>
解き方のコツは、並列に接続されている抵抗を1つに合成することです。
この問題は次のような順番で解いていきます。
1.回路を\(R_1、R_2、R_3\)に分けて考えます。\(R_1\)の回路には抵抗が3つありますので、2つだけの合成抵抗を求めます。

2.\(R_1\)の\(R_S\)から順に合成して単純にしていきます。

\(R_S\)を計算すると
\(R_S=\cfrac{40×40}{40+40}=20\hspace{8px}\rm [Ω]\)

\(R_1\)を計算すると
\(R_1=\cfrac{20×30}{20+30}=12\hspace{8px}\rm [Ω]\)

\(R_2=4\hspace{8px}\rm [Ω]\) 

\(R_3\)は並列接続ですから
\(R_3=\cfrac{8×8}{8+8}=4\hspace{8px}\rm [Ω]\) 

最後に\(R_1、R_2、R_3\)の直列接続になったので、足し算をすれば良いことになります。

合成抵抗\(=R1+R2+R3=12+4+4=20\hspace{8px}\rm [Ω]\) となります。

合成抵抗のコツ
並列抵抗を合成して単純化していくこと。

問題2

オームの法則で合成抵抗を求めよ。

<解 答>
回路の合成抵抗を\(R\)、電圧を\(E\)、流れる電流\(I\) とすると、各抵抗の端子電圧は

\(V_1=2×I\hspace{8px}\rm [V]\)

\(V_2=4×I\hspace{8px}\rm [V]\)

\(E=V_1+V_2\) ですから

\(12=2×I+4×I=6I=RI\) なので、オームの法則から \(E=RI\)

したがって、\(R=6\hspace{8px}\rm [Ω]\) であることがわかります。

問題3

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

<解 答>
1.\(5[Ω]\) の抵抗の上端を右に移動すると、\(5[Ω]\) と\(20[Ω]\) の並列回路になります。

点線部分を「和分の積」で計算すると

合成抵抗は
\(\cfrac{5×20}{5+20}=4\hspace{8px}\rm [Ω]\)

2.次に赤い点線部分は、\(8[Ω]\) と\(4[Ω]\) の直列回路になります。

合成抵抗は
\(8+4=12\hspace{8px}\rm [Ω]\) 

3.次に緑の点線部分は、\(4[Ω]\) と\(12[Ω]\) の並列回路になります。

合成抵抗は
\(\cfrac{4×12}{4+12}=3\hspace{8px}\rm [Ω]\) 

4.最後は、\(6[Ω]\) と\(3[Ω]\) の直列回路になります。

ab間の合成抵抗は
\(6+3=9\hspace{8px}\rm [Ω]\) になります。

問題4

図の回路の抵抗 \(R\) の両端の電圧が \(6[V]\)、電流 \(I\) が\(1[A]\) でした。抵抗 \(R\) を求めよ。

<解 答>
図のように抵抗に流れる電流を \(I_1、I_2\) として考えます。

1.\(I_2\) は電圧と抵抗がわかっているので、オームの法則から

\(I_2=\cfrac{6}{15}=0.4\hspace{8px}\rm [A]\)

2.回路を流れる電流 \(I=I_1+I_2\) なので

\(I_1=I-I_2=1-0.4=0.6\hspace{8px}\rm [A]\) になります。

3.オームの法則から抵抗 \(R\hspace{8px}\rm [Ω]\) は

\(R=\cfrac{E}{I}=\cfrac{6}{0.6}=10\hspace{8px}\rm [Ω]\) になります。

問題5

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

<解 答>
暗算でできそうな問題です。\(7.5Ω\) でOKと思ったら、\(2.5Ω\)!

なんでー?

よく見たら、右側の\(5Ω\)は短絡されていた。確かに答えは\(2.5Ω\)でした。

こんな問題もあるから注意が必要です。

答えは和分の積で求められます。

\(R=\cfrac{5×5}{5+5}=2.5\hspace{8px}\rm [Ω]\)

問題6

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

<解 答>
1.仮に電流が端子 a から端子 b の方向に流れると仮定します。
2.端子 ac と端子 ad を見ると対称になっているので、c と d の電位は等しいと考えられます。
3.端子 cd 間には電位差が無いので端子 cd 間を導線で結ぶ。

問題の図は次のようになります。

4.端子 aM 間の合成抵抗を \(R_1\) とし、端子 Mb 間の合成抵抗を \(R_2\) とする。
5.端子 ab 間の合成抵抗を \(R_0\) とすると、\(R_0=R_1+R_2\) になります。

・端子 aM 間の合成抵抗を \(R_1\) は、最終的に並列接続になるので逆数で求めます。

\(\cfrac{1}{R_1}=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{R+\cfrac{R}{2}}+\cfrac{1}{R}=\cfrac{8}{3R}\)

\(R_1=\cfrac{3R}{8}\)

\(R_2=R\)

\(R_0=R_1+R_2=\cfrac{3R}{8}+R=\cfrac{11R}{8}\hspace{8px}\rm [Ω]\)

以上で「合成抵抗の計算」の説明を終わります。