合成抵抗の例題

合成抵抗の例題を集めました。合成抵抗を求めるには問題を解いてみることが、理解する早道です。

実際に問題を解いて見ましょう・

例題

例題1

次のように抵抗が直列と並列に、複雑に接続されている場合の解き方を説明します。

<解 答>

解き方のコツは、並列に接続されている抵抗を1つに合成することです。
この問題は次のような順番で解いていきます。

1.回路を \(R_1、R_2、R_3\) に分けて考えます。\(R_1\) の回路には抵抗が3つありますので、2つだけの合成抵抗を求めます。

2.\(R_1\) の \(R_S\) から順に合成して単純にしていきます。

\(R_S\) を計算すると
\(R_S=\cfrac{40×40}{40+40}=20\quad\rm[Ω]\)

\(R_1\) を計算すると
\(R_1=\cfrac{20×30}{20+30}=12\quad\rm[Ω]\)

\(R_2=4\quad\rm[Ω]\) 

\(R_3\) は並列接続ですから
\(R_3=\cfrac{8×8}{8+8}=4\quad\rm[Ω]\) 

最後に \(R_1、R_2、R_3\) の直列接続になったので、足し算をすれば良いことになります。

合成抵抗\(=R1+R2+R3=12+4+4=20\quad\rm[Ω]\) となります。

合成抵抗の計算のコツ
並列抵抗を合成して単純化していくことが、計算をするときのコツになります。

例題2

オームの法則で合成抵抗を求めよ。

<解 答>

回路の合成抵抗を \(R\)、電圧を \(E\)、流れる電流 \(I\) とすると、各抵抗の端子電圧は

\(V_1=2×I\quad\rm[V]\)

\(V_2=4×I\quad\rm[V]\)

\(E=V_1+V_2\) ですから

\(12=2×I+4×I=6I=RI\) なので、オームの法則から \(E=RI\)

したがって、\(R=6\quad\rm[Ω]\) であることがわかります。

例題3

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

<解 答>

1.\(5[Ω]\) の抵抗の上端を右に移動すると、\(5[Ω]\) と\(20[Ω]\) の並列回路になります。

点線部分を「和分の積」で計算すると

合成抵抗は
\(\cfrac{5×20}{5+20}=4\quad\rm[Ω]\)

2.次に赤い点線部分は、\(8[Ω]\) と\(4[Ω]\) の直列回路になります。

合成抵抗は
\(8+4=12\quad\rm[Ω]\) 

3.次に緑の点線部分は、\(4[Ω]\) と\(12[Ω]\) の並列回路になります。

合成抵抗は
\(\cfrac{4×12}{4+12}=3\quad\rm[Ω]\) 

4.最後は、\(6[Ω]\) と\(3[Ω]\) の直列回路になります。

ab間の合成抵抗は
\(6+3=9\quad\rm[Ω]\) になります。

例題4

図の回路の抵抗 \(R\) の両端の電圧が \(6[V]\)、電流 \(I\) が\(1[A]\) でした。抵抗 \(R\) を求めよ。

<解 答>

図のように抵抗に流れる電流を \(I_1、I_2\) として考えます。

1.\(I_2\) は電圧と抵抗がわかっているので、オームの法則から

\(I_2=\cfrac{6}{15}=0.4\quad\rm[A]\)

2.回路を流れる電流 \(I=I_1+I_2\) なので

\(I_1=I-I_2=1-0.4=0.6\quad\rm[A]\) になります。

3.オームの法則から抵抗 \(R\quad\rm[Ω]\) は

\(R=\cfrac{E}{I}=\cfrac{6}{0.6}=10\quad\rm[Ω]\) になります。

例題5

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

<解 答>

暗算でできそうな問題です。\(7.5Ω\) でOKと思ったら、\(2.5Ω\)!

なんでー?

よく見たら、右側の \(5Ω\) は短絡されていた。確かに答えは \(2.5Ω\) でした。

こんな問題もあるから注意が必要です。

答えは和分の積で求められます。

\(R=\cfrac{5×5}{5+5}=2.5\quad\rm[Ω]\)

例題6

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

<解 答>

1.仮に電流が端子 a から端子 b の方向に流れると仮定します。
2.端子 ac と端子 ad を見ると対称になっているので、c と d の電位は等しいと考えられます。
3.端子 cd 間には電位差が無いので端子 cd 間を導線で結ぶ。

問題の図は次のようになります。

4.端子 aM 間の合成抵抗を \(R_1\) とし、端子 Mb 間の合成抵抗を \(R_2\) とする。
5.端子 ab 間の合成抵抗を \(R_0\) とすると、\(R_0=R_1+R_2\) になります。

・端子 aM 間の合成抵抗を \(R_1\) は、最終的に並列接続になるので逆数で求めます。

\(\cfrac{1}{R_1}=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{R+\cfrac{R}{2}}+\cfrac{1}{R}=\cfrac{8}{3R}\)

\(R_1=\cfrac{3R}{8}\)

\(R_2=R\)

\(R_0=R_1+R_2=\cfrac{3R}{8}+R=\cfrac{11R}{8}\quad\rm[Ω]\)

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以上で「合成抵抗の例題」の説明を終わります。