合成抵抗の例題

合成抵抗の例題を集めました。

合成抵抗を求めるには、問題を解いてみることが理解する早道です。

実際に問題を解いて見ましょう。

例題合成抵抗の例題

例題1

次のように抵抗が直列と並列に、複雑に接続されている場合の解き方を説明します。

＜解答例＞

解き方のコツは、並列に接続されている抵抗を１つに合成することです。

この問題は次のような順番で解いていきます。

１．回路を　\(R_1、R_2、R_3\)　に分けて考えます。\(R_1\)　の回路には抵抗が３つありますので、２つだけの合成抵抗を求めます。

２．\(R_1\)　の　\(R_S\)　から順に合成して単純にしていきます。

\(R_S\)　を計算すると

\(R_S=\cfrac{40×40}{40+40}=20\quad\rm[Ω]\)

\(R_1\)　を計算すると

\(R_1=\cfrac{20×30}{20+30}=12\)　[Ω]

\(R_2=4\)　[Ω]

\(R_3\)　は並列接続ですから

\(R_3=\cfrac{8×8}{8+8}=4\)　[Ω]

最後に　\(R_1、R_2、R_3\)　の直列接続になったので、足し算をすれば良いことになります。

合成抵抗\(=R1+R2+R3=12+4+4=20\)　[Ω]　となります。

合成抵抗の計算のコツ
並列抵抗を合成して単純化していくことが、計算をするときのコツになります。

例題2

オームの法則で合成抵抗を求めよ。

＜解答例＞

回路の合成抵抗を　\(R\)、電圧を　\(E\)、流れる電流　\(I\)　とすると、各抵抗の端子電圧は

\(V_1=2×I\)　[V]

\(V_2=4×I\)　[V]

\(E=V_1+V_2\)　ですから

\(12=2×I+4×I=6I=RI\)　なので、オームの法則から　\(E=RI\)

したがって、\(R=6\)　[Ω]　であることがわかります。

例題3

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

＜解答例＞

１．\(5\)　[Ω]　の抵抗の上端を右に移動すると、\(5\)　[Ω]　と\(20\)　[Ω]　の並列回路になります。

点線部分を「和分の積」で計算すると

合成抵抗は

\(\cfrac{5×20}{5+20}=4\)　[Ω]

２．次に赤い点線部分は、\(8\)　[Ω]　と\(4\)　[Ω]　の直列回路になります。

合成抵抗は

\(8+4=12\)　[Ω]　

３．次に緑の点線部分は、\(4\)　[Ω]　と\(12\)　[Ω]　の並列回路になります。

合成抵抗は

\(\cfrac{4×12}{4+12}=3\)　[Ω]　

４．最後は、\(6\)　[Ω]　と\(3\)　[Ω]　の直列回路になります。

ab間の合成抵抗は

\(6+3=9\)　[Ω]　になります。

例題4

図の回路の抵抗　\(R\)　の両端の電圧が　\(6\)　[V]、電流　\(I\)　が\(１\)　[A]　でした。

抵抗　\(R\)　を求めよ。

＜解答例＞

図のように抵抗に流れる電流を　\(I_1、I_2\)　として考えます。

１．\(I_2\)　は電圧と抵抗がわかっているので、オームの法則から

\(I_2=\cfrac{6}{15}=0.4\)　[A]

２．回路を流れる電流　\(I=I_1+I_2\)　なので

\(I_1=I-I_2=1-0.4=0.6\)　[A]　になります。

３．オームの法則から抵抗　\(R\)　[Ω]　は

\(R=\cfrac{E}{I}=\cfrac{6}{0.6}=10\)　[Ω]　になります。

例題5

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

＜解答例＞

暗算でできそうな問題です。\(7.5\)　[Ω]　でOKと思ったら、\(2.5\)　[Ω]

なんでー？

よく見たら、右側の　\(5\)　[Ω]　は短絡されていた。確かに答えは　\(2.5\)　[Ω]　でした。

こんな問題もあるから注意が必要です。

答えは和分の積で求められます。

\(R=\cfrac{5×5}{5+5}=2.5\)　[Ω]

例題6

端子ab間の合成抵抗を求めよ。

＜解答例＞

1. 電流が a から b の方向に、流れると仮定します。
2. ad と ae を見ると、対称になっているので d と e の電位は等しくなります。
3. de 間の電位は等しいので、de 間を短絡できます。

電位が等しい時の「短絡または開放」については、ブリッジ回路とは　の記事が参考になります。

問題の図は、次のように変形することができます。

■　最も内部にある抵抗 \(R_3\) から求めます。

\(R_3\) は「和分の積」から

\(R_3=\cfrac{RR}{R+R}=\cfrac{R}{2}\)　になります。

2つの並列接続された抵抗値が同じ場合は、\(\cfrac{1}{2}\)　になることを知っていれば計算をしなくてもできます。

和分の積の使い方と並列接続された抵抗値が同じ場合の求め方

■　acM 間の抵抗は、直列接続です

acM 間の抵抗　\(R+\cfrac{R}{2}=\cfrac{3R}{2}\)

■　\(R_1\) は、\(R\) と \(\cfrac{3R}{2}\) と \(R\) の並列接続です

\(\cfrac{1}{R_1}=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{\cfrac{3R}{2}}+\cfrac{1}{R}=\cfrac{8}{3R}\)

\(R_1=\cfrac{3R}{8}\)

■　Mb 間の抵抗 \(R_2\) を求める

\(R_2=\cfrac{2R2R}{2R+2R}=R\)

ab 間の合成抵抗 \(R_0\) を求める

\(R_0=R_1+R_2\)　なので

\(R_0=\cfrac{3R}{8}+R\)

\(R_0=\cfrac{11R}{8}\)　になります。

例題7

次の回路の合成抵抗を求め、回路に流れる電流　\(I\)　[A]　を求めよ。

＜解答例＞

\(50と50\)　[Ω]　の並列接続なので　\(25\)　[Ω]　になります。

\(25と5\)　[Ω]　の直列接続で　\(30\)　[Ω]　

最後に　\(30と20\)　[Ω]　の並列接続ですから和分の積を使って

合成抵抗\(=\cfrac{30×20}{30+20}=\cfrac{600}{50}\)

合成抵抗\(=12\)　[Ω]　になります。

回路に流れる電流　\(I\)　は

\(I=\cfrac{E}{R}=\cfrac{6}{12}=0.5\)　[Ω]　になります。

例題8

図のような、直流回路に流れる電流　\(I\)　[A]　を求めよ。

＜解答例＞

合成抵抗を求める場合の　コツ　は、一番うしろ（末端）の抵抗から計算することです。

問題の回路図を変形すると、次の図のようになります。

それぞれの抵抗に説明しやすいように、記号を付けます。

この回路で一番うしろの抵抗は　R₁とR₂　ですから、この並列抵抗の合成を求めます。

２つの並列抵抗は「和分の積」で求められますが、並列接続の場合、２つの抵抗の大きさが同じときは　半分の大きさ　になるということを知っておくと便利です。

R₁とR₂　の合成抵抗は　\(2\)　[Ω]　

この合成抵抗　\(2\)　[Ω]　とR₃　\(2\)　[Ω]　は直列ですから　足せば良いので　\(4\)　[Ω]　　

上の合成抵抗　\(4\)　[Ω]　とR₄　\(4\)　[Ω]　は並列で　大きさが同じなので半分の　\(2\)　[Ω]　

上の合成抵抗　\(2\)　[Ω]　とR₅　\(2\)　[Ω]　は直列ですから　足せば良いので　\(4\)　[Ω]　になります。

したがって、回路に流れる電流　\(I\)　[A]　　はオームの法則から

\(I=\cfrac{16}{4}=4\)　[A]　になります。　

この問題は合成抵抗の基本を理解していれば、簡単に解くことができる問題だと思います。

この問題は次のような問題にすることができます。

例題9

\(4\)　[Ω]　の抵抗に　\(1\)　[A]　の電流が流れています。

回路に流れる電流　\(I\)　[A]　と電源電圧　\(E\)　[V]　を求めよ。

＜解答例＞

\(4\)　[Ω]　の抵抗の電圧降下は　\(4\)　[V]　になりますので、\(a\)点の電圧は　\(4\)　[V]　になります。

隣の　\(4\)　[Ω]　に流れる電流　\(I_1\)　は、オームの法則から　\(1\)　[A]　であることがわかります。

\(2\)　[Ω]　に流れる電流を　\(I_2\)　とすると、キルヒホッフの法則から

\(I_2=1+1=2\)　[A]　になります。

\(b\)点の電圧は　\(8\)　[V]　なので　\(I_2\)　は　\(2\)　[A]　になります。

回路に流れる電流　\(I\)　は　キルヒホッフの法則から　\(4\)　[A]　になります。

\(cbd\)　間の電圧が　\(E\)　になりますので

\(E=8+8=16\)　[V]　になります。

合成抵抗の求め方（直列と並列の公式）