インピーダンスとは何か

インピーダンスとは何か ということを、一言でいえば 交流回路の電圧と電流の比 ということになります。

ちなみに、直流回路の 電圧と電流の比 は、抵抗 ということになります。

ここでは、交流回路における インピーダンス について説明します。

インピーダンスとは電圧と電流の比

交流の電源にモーターやテレビなどの電気製品をつなぐと、当然ですが回路に電流が流れます。

このときの回路の 電圧と電流の比 を インピーダンス といいます。

インピーダンスは交流回路において、電流の流れを妨げる働きするもの といえます。

つまり、電流の流れにくさ を表しています。

インピーダンスは、抵抗とリアクタンスで構成されます。

インピーダンスとは 電圧と電流の比 のことであり、抵抗器やコイルあるいはコンデンサのように具体的な形(カタチ)があるものではありません。

一般的に交流回路の負荷は \(\dot{Z}\) を使って負荷インピーダンスを表します。

\(\dot Z\)

記号の上に・(ドット)があるときは\(\quad\dot Z\quad\)は ベクトル であることを表しています。

ドットが無い \(Z\) のときは数値などの スカラー量(スカラー量は、大きさのみで方向を持ちません)を表します。

また、ベクトルを \(Z\) で表し、大きさを \(|Z|\) 絶対値で表す場合もあります。

インピーダンスの記号には \(Z\) を使い、単位には抵抗と同じようにオーム \([Ω]\) を使います。

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コイルとコンデンサの位相の覚え方

■ コイルとコンデンサの位相の覚え方

電圧と電流どっちが先だっけ?

  • コイル\(\cdots ELI\)(エリー)と覚えましょう。

    \(E\)(電圧)、\(L\)(コイル)、\(I\)(電流)の順なので、電圧が電流より進む。

  • コンデンサ\(\cdots ICE\)(アイス)と覚えましょう。

    \(I\)(電流)、\(C\)(コンデンサ)、\(E\)(電圧)の順なので、電流が電圧より進む。

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交流回路においても、オームの法則が成立します

オームの法則は交流回路でも使うことができます。

\(R=\cfrac{V}{I}\quad\rm[Ω]\) 

次の式を見れば分かる通り、抵抗 \(R\) の部分がインピーダンス \(Z\) に変わっただけです。

\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{V}}{\dot{I}}\quad\rm[Ω]\cdots\)インピーダンス

\(\dot{V}=\dot{Z}\dot{I}\quad[\rm V]\cdots\)電圧

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{\dot{Z}}\quad[\rm A]\cdots\)電流

次の図のように、抵抗、コイル、コンデンサが直列になっている 負荷(RLC直列回路)を、交流電源 \(\dot{E}\quad[\rm V]\) に接続した回路の負荷端子電圧を \(\dot{V}\quad[\rm V]\) 電流を \(\dot{I}\quad[\rm A]\) とします。

このときの、電圧 \(\dot{V}\) と電流 \(\dot{I}\) の比を、インピーダンスといいます。

  • \(X_L>X_C\) のときは 誘導性リアクタンス
  • \(X_L < X_C\) のときは 容量性リアクタンス

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誘導性リアクタンスが大きいときのインピーダンス

誘導性リアクタンスの インピーダンス を図にすると、次のようになります。

電圧のベクトルから電流を取り除くとインピーダンスベクトルになります。

この回路においては、誘導性リアクタンス  が大きいので力率は 遅れ力率 になります。

一般的に力率の遅れや進みは 電圧を基準 にして考えます。

遅れ力率 を改善するためのものとして、進相コンデンサ を使用することがあります。

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容量性リアクタンスが大きいときのインピーダンス

容量性リアクタンスの インピーダンス を図にすると、次のようになります。

電圧のベクトルから電流を取り除くとインピーダンスベクトルになります。

この回路においては、容量性リアクタンス が大きいので力率は 進み力率 になります。

一般的に力率の遅れや進みは 電圧を基準 にして考えます。

進み力率を改善するためのものとして、分路リアクトル を使用することがあります。

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直列回路のインピーダンスの求め方

図のように、抵抗、コイル、コンデンサが 直列 に接続されている回路があります。

この回路のインピーダンスベクトルは、次のようになります。

インピーダンス \(Z\) を記号法で表すと、次のようになります。

\(Z=R+j(X_L-X_C)\quad\rm[Ω]\) になります。

\(X=X_L-X_C\) の値がプラスなら、誘導性リアクタンス になり

\(X=X_L-X_C\) の値がマイナスなら、容量性リアクタンス になります。

インピーダンスベクトル図からわかるように、合成インピーダンスは三平方の定理で

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\)\(=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\quad\rm[Ω]\) で求められます。

カッコ内の \((X_L-X_C)\) は、\(X_C\) が大きいと値がマイナスになリますが、2乗をするのでプラスになるので気にする必要はありません。

回路の電流は 

\(I=\cfrac{E}{Z}\quad\rm[A]\)

各素子の端子電圧は、次のようになります。

\(V_R=RI\quad\rm[V]\)

\(V_L=X_LI\quad\rm[V]\)

\(V_C=X_CI\quad\rm[V]\)

例題1
図のような交流回路があります。電源電圧の実効値 \(100\quad\rm[V]\) 、抵抗 \(40\quad[Ω]\) 、コイルのリアクタンス \(80\quad[Ω]\) 、コンデンサのリアクタンス \(50\quad[Ω]\) のとき全体のインピーダンス \(Z\quad[Ω]\) と回路に流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) を求めよ。

<解 答>
抵抗の値、コイルとコンデンサのリアクタンスがわかっているので、インピーダンスは次の式で求められます。
\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\) 

\(Z=\sqrt{40^2+(80-50)^2}=50\quad[Ω]\) 

電流はオームの法則から
\(I=\cfrac{100}{50}=2\quad\rm[A]\) になります。

並列回路のインピーダンスの求め方

図のように、抵抗、コイル、コンデンサが 並列 に接続されている回路があります。

この回路のインピーダンスを 逆数 で表すと、次のようになります。

\(\cfrac{1}{Z}=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}+\cfrac{1}{-jX_C}\quad\rm[Ω]\)

回路に流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}\)\(=E\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}+\cfrac{1}{-jX_C}\right)\quad\rm[A]\)\(\cdots(1)\)

各素子に流れる電流は、次のようになります。

\(I_R=\cfrac{E}{R}\quad\rm[A]\)

\(I_L=\cfrac{E}{jX_L}\)\(=-j\cfrac{E}{X_L}\quad\rm[A]\) 

\(I_C=\cfrac{E}{-jX_C}\)\(=j\cfrac{E}{X_C}\quad\rm[A]\) 

各電流をベクトル図にすると、次のようになります。

電流のベクトル図からわかるように、回路に流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) は三平方の定理で

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_X}^2}\)\(=\sqrt{{I_R}^2+(I_L-I_C)^2}\quad\rm[A]\cdots(2)\) で求められます。

カッコ内の \((I_L-I_C)\) は、\(I_C\) が大きいと値がマイナスになリますが、2乗をするのでプラスになるので気にする必要はありません。

式(2)を変形すると

\(I=\sqrt{{I_R}^2+(I_L-I_C)^2}\)\(=\sqrt{\left({\cfrac{E}{R}}\right)^2+\left(\cfrac{E}{ωL}-ωCE\right)^2}\)

\(I=E\sqrt{\left({\cfrac{1}{R}}\right)^2+\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)^2}\cdots(3)\)

式(3)の両辺を \(E\) で割ります。

\(\cfrac{I}{E}=\cfrac{1}{Z}=\cfrac{E}{E}\sqrt{\left({\cfrac{1}{R}}\right)^2+\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)^2}\)

インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\cfrac{1}{\sqrt{\left({\cfrac{1}{R}}\right)^2+\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)^2}}\) で求められます。

RLC並列回路でインピーダンスを求める場合は、RLC並列回路に流れる電流を求めて

\(Z=\cfrac{E}{I}\) から求めるほうが簡単な場合が多いです。

例題1
図のようなRLC並列回路に流れる電流 \(I\) との全体のインピーダンス \(Z\) を求めよ。

<解 答>

抵抗を流れる電流を \(I_R\)、コイルを流れる電流を \(I_L\)、コンデンサを流れる電流を \(I_C\) とした回路図が次のようになります。

\(I_R=\cfrac{E}{R}\)\(=\cfrac{120}{20}=6\quad\rm[A]\) 

\(I_L=\cfrac{E}{X_L}\)\(=\cfrac{120}{10}=12\quad\rm[A]\) 

\(I_C=\cfrac{E}{X_C}\)\(=\cfrac{120}{30}=4\quad\rm[A]\) 

回路の電流 \(I\quad\rm[A]\) は

\(I=\sqrt{6^2+(12-4)^2}=10\quad\rm[A]\) になります。

回路のインピーダンスは

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{120}{10}=12\quad[Ω]\) になります。

 

ややこしい虚数単位 j の付け方

交流回路のインピーダンスを複素数で表示するとき、虚数単位の \(j\) がでてきます。

この \(j\) の付け方について説明します。

虚数単位の \(j\) は、2乗すると \(-1\) になります。

■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所

  • 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
  • \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか

■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)(オメガ)の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。

これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。

  • \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
  • \(-j\) は時計方向に90°移動します。

リアクタンスの表示方法

ただ、\(j\) を \(ω\) の前に付けると覚えておけば、あとは式を変形するだけで符号の変化もわかります。

■ 誘導性リアクタンスの表示方法

誘導性リアクタンスは、\(ωL、X_L\) と表します。

虚数単位を \(ω\) の前につけると、\(jωL\) となります。

\(X_L=ωL\)

\(X_L=jωL\)

\(jX_L=jωL\)

表示の仕方は、個々の書籍などの説明により違う場合があります。

例えば

\(X_L=jωL\)

\(jX_L=jωL\) のように \(j\) を \(X_L\) に付けたり、付けなかったりします。

■ 容量性リアクタンスの表示方法

容量性リアクタンスは、\(\cfrac{1}{ωC}、X_C\) と表します。

虚数単位を \(「ω」\) の前につけると、\(\cfrac{1}{jωC}\) となります。

\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)

\(X_C=\cfrac{1}{jωC}\)

\(-jX_C=\cfrac{1}{jωC}\)

表示の仕方は、個々の書籍などの説明により違う場合があります。

例えば

\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)

\(-jX_C=\cfrac{1}{jωC}\) のように \(j\) を \(X_C\) に付けたり、付けなかったりします。

容量性リアクタンスは、分数になるので \(j\) があるとややこしくなります。

\(\cfrac{1}{jωC}\) 

の分子と分母に \(j\) を掛けると、次のように表すことができます。

\(\cfrac{1}{jωC}\)\(=\cfrac{j}{j}×\cfrac{1}{jωC}\)\(=-j\cfrac{1}{ωC}=-jX_C\)

インピーダンス回路のまとめ

■ RLC直列回路のまとめ

■ RLC並列回路のまとめ

練習問題


問題1

図のように、 \(RLC\) 直列回路があるとき回路に流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) を求めよ。

<解 答> 

合成インピーダンスの式から

\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

\(Z=\sqrt{16^2+(20-8)^2}\)\(=\sqrt{400}=20\quad\rm[Ω]\)

電流 \(I\quad\rm[A]\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{20}=5\quad\rm[A]\) になります。

問題2

図の回路に流れる電流 \(\dot{I}\quad\rm[A]\) と大きさ \(I\quad\rm[A]\) を求めよ。

<解 答>

合成インピーダンス \(\dot Z\) は

\(\dot Z=R+jX=8+j6\quad\rm[Ω]\)

電流 \(\dot{I}\quad\rm[A]\) は

\(\dot I=\cfrac{\dot E}{\dot Z}\)

\(\dot I=\cfrac{100}{8+j6}\)\(=\cfrac{100(8-j6)}{(8+j6)(8-j6)}\)

\(\dot I=8-j6\)

電流の大きさ \(I\quad\rm[A]\) は

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_X}^2}\)\(=\sqrt{8^2+6^2}=10\quad\rm[A]\)

問題3

抵抗 \(30\quad\rm[Ω]\) 自己インダクタンス \(0.1273H\) の直列回路に交流電圧 \(100V\) を加えたところ、回路に \(2A\) の電流が流れた。

この回路のインピーダンス、誘導リアクタンス、及び周波数を求めよ。

<解 答>

問題を回路図にすると、次のようになります。

回路のインピーダンス \(Z\) は 

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{100}{2}=50\quad\rm[Ω]\)

誘導リアクタンス \(X_L\) は

\(X_L=\sqrt{Z^2-R^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\quad\rm[Ω]\)

周波数 \(f\) は

\(X_L=2πfL=40\quad\rm[Ω]\)

\(f=\cfrac{40}{2πL}=\cfrac{40}{2π×0.1273}\fallingdotseq 50\quad\rm[Hz]\) になります。

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以上で「インピーダンスとは何か」の説明を終わります。