交流回路のリアクタンスとは 

交流回路の リアクタンス とは、コイル(インダクタンス)や コンデンサ(キャパシタンス)における 電圧と電流の比 をいいます。

抵抗が直流回路における 電圧と電流の比 で表したのと似ています。

リアクタンスの単位は、抵抗と同じように \(\rm[Ω]\) オーム で表します。

リアクタンスは2種類あります。

コイルのインダクタンスによるリアクタンスを 誘導性リアクタンス といい

コンデンサのキャパシタンスによるリアクタンスを 容量性リアクタンス といいます。

誘導性リアクタンス \(X_L=2πfL\quad\rm[Ω]\)

容量性リアクタンス \(X_C=\cfrac{1}{2πfC}\quad\rm[Ω]\)

誘導性リアクタンス

誘導性リアクタンス とは、コイルのインダクタンスが交流回路において 電流の流れを妨げる働き をするものです。

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図は、コイルの回路に交流電圧を加えた場合の回路図です。

■ メモ
\(L\) はコイルのインダクタンスで、単位は \(\rm[H]\) ヘンリーを使います。

 

誘導性リアクタンス は、\(X_L\) で表し、単位は抵抗と同じく \(\rm[Ω]\) オーム を使います。

式にすると次のようになります。

\(X_L=\cfrac{E}{I}\quad\rm[Ω]\)

また、電流の式にすると次のようになります。

\(I=\cfrac{E}{X_L}\quad\rm[A]\)

誘導性リアクタンス \(X_L\) は、電源の周波数を \(f\quad\rm[Hz]\) コイルのインダクタンスを \(L\quad\rm[H]\) とすると、次のようになります。

\(X_L=2πfL\quad\rm[Ω]\)

 
誘導性リアクタンスの大きさは周波数に 比例 します。

つまり、周波数が高くなると、誘導性リアクタンスは大きくなり、そのため回路の電流は小さくなります。

\(I=\cfrac{E}{X_L}=\cfrac{E}{2πfL}\quad\rm[A]\)

また、\(2πf=ω\) として

\(X_L=ωL\quad\rm[Ω]\) 

虚数単位 \(j\) を使うと

\(jX_L=jωL\quad\rm[Ω]\) とすることもあります。

容量性リアクタンスとは

容量性リアクタンス とは、コンデンサの静電容量(キャパシタンス)が交流回路において 電流の流れを妨げる働き をするものです。

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図は、コンデンサの回路に交流電圧を加えた場合の回路図です。

■ メモ
\(C\) はコンデンサのキャパシタンスで、単位は \(\rm[F]\) ファラド を使います。

容量性リアクタンス は、\(X_C\) で表し、単位は抵抗と同じく \(\rm[Ω]\) オーム を使います。

式にすると次のようになります。

\(X_C=\cfrac{E}{I}\quad\rm[Ω]\)

また、電流の式にすると次のようになります。

\(I=\cfrac{E}{X_C}\quad\rm[A]\)

容量性リアクタンス \(X_C\) は、電源の周波数を \(f\quad\rm[Hz]\)、コンデンサのキャパシタンスを \(C\quad\rm[F]\) とすると、次のようになります。

\(X_C=\cfrac{1}{2πfC}\quad\rm[Ω]\)

 
容量性リアクタンスの大きさは周波数に 反比例 します。

つまり、周波数が高くなると、容量性リアクタンスは小さくなり、そのため回路の電流は大きくなります。

誘導性リアクタンスと 逆の働き といえます。

\(I=\cfrac{E}{X_C}\)\(=\cfrac{E}{\cfrac{1}{2πfC}}\)\(=2πfCE\quad\rm[A]\)

また、\(2πf=ω\) として

\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\quad\rm[Ω]\) 

虚数単位 \(j\) を使うと

\(-jX_C=-j\cfrac{1}{ωC}\)\(=\cfrac{1}{jωC}\quad\rm[Ω]\) とすることもあります。

■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所

  • 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
  • \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか

■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)(オメガ)の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。

これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。

  • \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
  • \(-j\) は時計方向に90°移動します。

合成リアクタンス

合成インピーダンス \(Z\) は、抵抗 \(R\) とリアクタンス \(X\) を合成したものです。

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合成リアクタンス \(X\) は、合成インピーダンス \(Z\) から抵抗 \(R\) を取り除いたものになります。

誘導性リアクタンスを \(X_L\) 容量性リアクタンスを \(X_C\) とすると

合成リアクタンス \(X\) は

\(X=X_L-X_C\quad\rm[Ω]\) になります。

心理的なリアクタンスのサイトを紹介します。
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練習問題

 

問題1

\(132.7\quad\rm[mH]\) のインダクタンスがあります。

周波数 60Hz、600Hz、6000Hz のときの正弦波の対する、リアクタンスを求めよ。

<解 答>

■ 周波数 60Hz のとき

インダクタンスのリアクタンス \(X_L\) は

\(X_L=ωL=2πfL\)\(=2π×60×132.7×10^{-3}\)\(=50\quad\rm[Ω]\)

■ 周波数 600Hz のとき

インダクタンスのリアクタンス \(X_L\) は

\(X_L=ωL=2πfL\)\(=2π×600×132.7×10^{-3}\)\(=500\quad\rm[Ω]\)

■ 周波数 6000Hz のとき

インダクタンスのリアクタンス \(X_L\) は

\(X_L=ωL=2πfL\)\(=2π×6000×132.7×10^{-3}\)\(=5000\quad\rm[Ω]\)

になります。

問題2

\(50\quad\rm[Hz]\) において、\(318.3\quad\rm[mH]\) の インダクタンスと同じ大きさのリアクタンスを持つ、静電容量を求めよ。

<解 答>

インダクタンスのリアクタンス \(X_L\) を求めると

\(X_L=ωL=2πfL\)\(=2π×50×318.3×10^{-3}\)\(=31.8π\quad\rm[Ω]\)

静電容量のリアクタンス \(X_C\) を求めると

\(X_C=\cfrac{1}{ωC}=X_L\) なので

\(\cfrac{1}{ωC}\)\(=\cfrac{1}{2π×50×C}=31.8π\)

\(C=\cfrac{1}{2π×50×31.8π}\)\(=31.8×10^{-6}\quad\rm[F]\) から 

\(C=31.8\quad\rm[μF]\) の静電容量となります。

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以上で「交流回路のリアクタンスとは」の説明を終わります。