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インピーダンスの計算

インピーダンスは、分かったようで分からないような、少しややこしい用語です。

インピーダンスとは 交流回路における抵抗のような働きをするもの で単位も抵抗と同じ オーム [Ω] を使います。

実際に インピーダンスの計算をしようとすると、どのように計算したらよいか考えてしまうのではないでしょうか?

特に、複素数が入ってきて 記号法 で計算するとなると分かりづらくなります。

ここでは、インピーダンスの計算について、問題を解きます。

目次

RLC回路とインピーダンス

RLC直列回路のまとめ

RLC直列回路の「インピーダンス、流れる電流、端子電圧」を求める公式のまとめです。

RLC直列回路公式
インピーダンス記号法\(Z=R+j(X_L-X_C)\) [Ω]
大きさ\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\) [Ω]
\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\) [Ω]
流れる電流大きさ\(I=\cfrac{E}{Z}\) [A]
\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(ωL-\cfrac{1}{ωC})^2}}\) [A]
\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_X}^2}\) [A]
\(I=\sqrt{{I_R}^2+(I_L-I_C)^2}\) [A]
端子電圧大きさ\(V_R=RI\) [V]
\(V_L=X_LI\) [V]
\(V_C=X_CI\) [V]

RLC並列回路のまとめ

RLC並列回路の「インピーダンス、流れる電流、端子電圧」を求める公式のまとめです。

RLC並列回路公式
インピーダンス記号法\(\cfrac{1}{Z}=\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}+\cfrac{1}{-jX_C}\) [Ω]
最終的には \(Z=\) として求める。
流れる電流記号法\(I=E\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}+\cfrac{1}{-jX_C}\right)\) [A]
大きさ\(I=\sqrt{{I_R}^2+(I_L-I_C)^2}\) [A]
素子を流れる電流記号法\(I_R=\cfrac{E}{R}\) [A]
\(I_L=\cfrac{E}{jX_L}\) [A]
\(I_C=\cfrac{E}{-jX_C}\) [A]
大きさ\(I_R=\cfrac{E}{R}\) [A]
\(I_L=\cfrac{E}{X_L}\) [A]
\(I_C=\cfrac{E}{X_C}\) [A]

練習問題

問題1

12Ωの抵抗と5Ωの誘導性リアクタンスが、直列に接続されています。

抵抗とコイルの合成インピーダンスを求めよ。

<解答例>

この問題は インピーダンスの大きさを求めれば良いので、数値を代入すれば OKです。

RLC直列回路の公式に数値を代入します。

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\)

\(Z=\sqrt{12^2+5^2}=13\) [Ω] になります。

問題2

交流電源100Vに、4Ωの抵抗と3Ωの誘導性リアクタンスが、直列に接続されています。

回路の抵抗とコイルにかかる電圧を求めよ。

また、電圧のベクトル図を描きなさい。

<解答例>

この問題は、回路に流れる電流を求めれば解けます。

RLC直列回路の公式から、合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\) なので、数値を代入すると

\(Z=\sqrt{4^2+3^2}=5\) [Ω]  

回路に流れる電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{100}{5}=20\) [A] になります。

したがって

\(V_R=4×20=80\) [V]   

\(V_L=3×20=60\) [V]   

コイルの電圧は 電流に対して \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

ベクトル図は次のようになります。

\(E=\sqrt{80^2+60^2}=100\) [V] となり、電源電圧と等しくなります。

問題3

交流電源100Vに、40Ωの抵抗と80Ωの誘導性リアクタンス、50Ωの容量性リアクタンスが

直列に接続されています。

回路の合成インピーダンス \(Z\) [Ω] と

回路に流れる電流 \(I\) [A] を求めよ。

<解答例>

回路のインピーダンスを求める公式は

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\)\(=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

\(Z=\sqrt{40^2+(80-50)^2}=50\) [Ω] になります。

また、電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{50}=2\) [A] となります。

問題4

抵抗と誘導性リアクタンスが、並列に接続されています。

抵抗を流れる電流は、12A

誘導性リアクタンスを流れる電流は、5Aです。

回路に流れる電流 \(I\) [A] を求めよ。

<解答例>

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\) なので

\(I=\sqrt{12^2+5^2}=13\) [A] になります。

また、この問題が図のように、

電源電圧120V、抵抗10Ω、リアクタンス24Ωの場合の電流を求めよ。

<解答例>

RLC並列回路の公式から

インピーダンスの逆数は、各インピーダンスの逆数の和になります。

\(\cfrac{1}{Z}=\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{j24}\)

並列回路の電流は

\(I=\cfrac{E}{Z}\) なので

\(I=120×(\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{j24})\)\(=12-j5\) [A] 

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\) なので

\(I=\sqrt{12^2+5^2}=13\) [A] になります。

問題5

抵抗とコンデンサの並列回路です。

抵抗を流れる電流は、6A

容量性リアクタンスを流れる電流は、8Aです。

回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。

<解答例>

RLC並列回路の公式から

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_C}^2}\) なので

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\) [A] になります。

問題6

交流電源120Vに、20Ωの抵抗と10Ωの誘導性リアクタンス、30Ωの容量性リアクタンスが

並列に接続されています。

回路を流れる電流 \(I\) [A] を求めよ。

<解答例>

抵抗を流れる電流を \(I_R\) コイルを流れる電流を \(I_L\) 

コンデンサを流れる電流を \(I_C\) とした回路図は 次のようになります。

RLC並列回路の公式から

\(I_R=\cfrac{E}{R}\)\(=\cfrac{120}{20}=6\) [A]  

\(I_L=\cfrac{E}{X_L}\)\(=\cfrac{120}{10}=12\) [A] 

\(I_C=\cfrac{E}{X_C}\)\(=\cfrac{120}{30}=4\) [A] 

ベクトル図は 次のようになります。

回路の電流 \(I\) [A] は

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\) [A] になります。

<解答例>

■ アドミタンスを使って求める

アドミタンス を \(Y\) [S] とすると

\(Y=Y_R+Y_L+Y_C\)

\(Y=\cfrac{1}{20}+\cfrac{1}{j10}-\cfrac{1}{j30}\)

\(Y=\cfrac{1}{20}-j\cfrac{2}{30}\) [S] 

回路の電流 \(I\) [A] は

\(I=YE\)

\(I=(\cfrac{1}{20}-j\cfrac{2}{30})×120\)

\(I=6-j8\) [A] なので

回路の電流 \(I\) の大きさは

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\) [A] となります。

問題7

抵抗と誘導性リアクタンスが、直列に接続されています。

電源電圧 \(100\) [V] で位相ゼロ、回路に \(10∠-\cfrac{\pi}{6}\) [rad] の電流が流れています。

この回路のインピーダンス \(Z、R、X_L\) を求めよ。

<解答例>

電圧と電流のベクトルを描くと、次のようになります。

電流は電圧より \(\cfrac{\pi}{6}\) 遅れています。

RL直列回路では、電流を基準にして \(V_R、V_L\) を描くとわかりやすくなります。

電圧のベクトル図から、インピーダンスの三角形が得られます。

それぞれの辺の比は角度が \(\cfrac{\pi}{6}\) なので \(1:2:\sqrt3\) になります。

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{100}{10}=10\) [Ω]

\(R=Z\cos\cfrac{\pi}{6}=10×\cfrac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\)

\(X_L=Z\sin\cfrac{\pi}{6}=10×\cfrac{1}{2}=5\)

したがって

\(Z=10\) [Ω]

\(R=5\sqrt3\) [Ω]

\(X_L=5\) [Ω] になります。

抵抗とコイルのインピーダンス計算

図のような抵抗とコイルの直列接続の、インピーダンス \(Z\) は次のようになります。

\(Z=R+jX_L\) (+jになることに注意)

\(|Z|=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\)

ここで \(R=4\) [Ω] \(X_L=3\) [Ω] とすると

\(Z=4+j3\)

\(|Z|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\) [Ω] になります。

★ ベクトル図

抵抗とコンデンサのインピーダンス

図のような抵抗とコンデンサの直列接続の インピーダンス \(Z\) を求めてみます。

\(Z=R-jX_C\) (-jになることに注意)

\(|Z|=\sqrt{R^2+{X_C}^2}\)

ここで、\(R=3\quad\rm[Ω]\)、\(X_C=4\) [Ω] とすると

\(Z=3-j4\)

\(|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\) [Ω] になります。

■ ベクトル図


上記の問題にある、「抵抗とコイル」、「抵抗とコンデンサ」のインピーダンスの絶対値は、同じですがインピーダンスの位相は全く異なります。

インピーダンスの並列接続の計算

インピーダンスの並列接続の計算は 次のようにします。

\(\cfrac{1}{Z}\)\(=\cfrac{1}{Z_1}+\cfrac{1}{Z_2}\)

\(\cfrac{1}{Z}\)\(=\cfrac{1}{R_1+jX_L}+\cfrac{1}{R_2-jX_C}\)

次のような、値が入っている時の計算です。

\(\cfrac{1}{Z}\)\(=\cfrac{1}{4+j3}+\cfrac{1}{3-j4}\)

逆数から、\(Z\) を求めて計算することができますが

並列回路の場合は アドミタンス として、逆数のままで計算する方が簡単になることがあります。

以上で「インピーダンスの計算」の説明を終わります。

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