インピーダンスの計算




インピーダンスは、分かったようで分からないような、少しややこしい用語です。

インピーダンスとは、交流回路においてる抵抗のような働きをするもので、単位も抵抗と同じくオーム [Ω] を使います。

しかし、インピーダンスの計算をしようとすると、どのように計算したらよいか戸惑います。

特に、複素数が入ってきて、記号法で計算するとなると分かりづらくなります。

ここでは、インピーダンスの計算について練習問題をやってみたいと思います。

練習問題

例題1

抵抗とコイルの合成インピーダンスを求めよ。

<解 答>

この問題は、数値が入っていますので、インピーダンスの大きさを求めれば良いので

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\) から

\(Z=\sqrt{12^2+5^2}=13\quad\rm[Ω]\) になります。

例題2

次の回路の抵抗とコイルにかかる電圧を求めよ。また、電圧のベクトル図を描きなさい。

<解 答>

この問題は、回路に流れる電流を求めれば解けます。

合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\) から

\(Z=\sqrt{4^2+3^2}=5\quad\rm[Ω]\) 

回路に流れる電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{100}{5}=20\quad\rm[A]\) になります。

したがって、

\(V_R=4×20=80\quad\rm[V]\)  

\(V_L=3×20=60\quad\rm[V]\)  

ベクトル図は次のようになります。

\(E=\sqrt{80^2+60^2}=100\quad\rm[V]\) となり、電源電圧と等しくなります。

例題3

図のような回路の合成インピーダンス \(Z\quad\rm[Ω]\) を求めよ。

また、回路に流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) を求めよ。

<解 答>

回路のインピーダンスを求める公式は

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\)\(=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

\(Z=\sqrt{40^2+(80-50)^2}=50\quad\rm[Ω]\) になります。

また、電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{50}=2\quad\rm[A]\) となります。

例題4

図の回路に流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) を求めよ。

<解 答>

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\) なので

\(I=\sqrt{12^2+5^2}=13\quad\rm[A]\) になります。

また、この問題が図のように、電源電圧と抵抗とリアクタンスの値が与えられているときに電流を求めよ。

<解 答>

並列回路のインピーダンスの逆数は、各インピーダンスの逆数の和になります。

\(\cfrac{1}{Z}=\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{j24}\)

並列回路の電流は

\(I=\cfrac{E}{Z}\) なので

\(I=120×(\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{j24})\)\(=12-j5\quad\rm[A]\)

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\) なので

\(I=\sqrt{12^2+5^2}=13\quad\rm[A]\) になります。

例題5

抵抗とコンデンサの並列回路です。回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。

<解 答>

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_C}^2}\) なので

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\quad\rm[A]\) になります。

例題6

図のような回路を流れる電流 \(I\quad\rm[A]\) を求めよ。

<解 答>

抵抗を流れる電流を \(I_R\)、コイルを流れる電流を \(I_L\)、コンデンサを流れる電流を \(I_C\) とした回路図が次のようになります。

\(I_R=\cfrac{E}{R}=\cfrac{120}{20}=6\quad\rm[A]\) 

\(I_L=\cfrac{E}{X_L}=\cfrac{120}{10}=12\quad\rm[A]\) 

\(I_C=\cfrac{E}{X_C}=\cfrac{120}{30}=4\quad\rm[A]\) 

ベクトル図にすると、次のようになります。

回路の電流 \(I\quad\rm[A]\) は

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\quad\rm[A]\) になります。

■ アドミタンスを使って求める

アドミタンスを \(Y\quad\rm[S]\) とすると

\(Y=Y_R+Y_L+Y_C\)\(=\cfrac{1}{20}+\cfrac{1}{j10}-\cfrac{1}{j30}\)\(=\cfrac{1}{20}-j\cfrac{2}{30}\quad\rm[S]\)

回路の電流 \(I\quad\rm[A]\) は

\(I=YE\)\(=(\cfrac{1}{20}-j\cfrac{2}{30})×120\)\(=6-j8\quad\rm[A]\) なので

回路の電流 \(I\) の大きさは

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\quad\rm[A]\) となります。

抵抗とコイルのインピーダンス計算

図のような抵抗とコイルの直列接続の、インピーダンス \(Z\) は次のようになります。

\(Z=R+jX_L\) (+jになることに注意)

\(|Z|=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\)

ここで、\(R=4\quad\rm[Ω]\)、\(X_L=3\quad\rm[Ω]\) とすると

\(Z=4+j3\)

\(|Z|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\quad\rm[Ω]\) になります。

抵抗とコンデンサのインピーダンス

次に、図のような抵抗とコンデンサの直列接続の、インピーダンス \(Z\) は次のようになります。

\(Z=R-jX_C\) (-jになることに注意)

\(|Z|=\sqrt{R^2+{X_C}^2}\)

ここで、\(R=3\quad\rm[Ω]\)、\(X_C=4\quad\rm[Ω]\) とすると

\(Z=3-j4\)

\(|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\quad\rm[Ω]\) になります。

上の例にある、「抵抗とコイル」、「抵抗とコンデンサ」のインピーダンスの絶対値は、同じですがインピーダンスの位相は全く異なります。

インピーダンスの並列接続の計算

図のような、インピーダンスの並列接続の計算は、次のようになります。

\(\cfrac{1}{Z}=\cfrac{1}{Z_1}+\cfrac{1}{Z_2}\)

\(\cfrac{1}{Z}=\cfrac{1}{R_1+jX_L}+\cfrac{1}{R_2-jX_C}\)

次のような、値が入っている時は、次のようになります。

\(\cfrac{1}{Z}=\cfrac{1}{4+j3}+\cfrac{1}{3-j4}\)

逆数から、\(Z\) を求めて計算することができますが、並列回路の場合は、アドミタンスとして逆数のままで計算するほうが良いこともあります。

以上で「インピーダンスの計算」の説明を終わります。