インピーダンスの計算

この記事で書いていること

インピーダンスは、分かったようで分からないような、少しややこしい用語です。

インピーダンスとは 交流回路における抵抗のような働きをするもの で単位も抵抗と同じ オーム [Ω] を使います。

実際に インピーダンスの計算をしようとすると どのように計算したらよいか考えてしまうのではないでしょうか?

特に、複素数が入ってきて 記号法 で計算するとなると分かりづらくなります。

ここでは、インピーダンスの計算について、問題を解きます。

目次

RLC回路とインピーダンス

■ RLC直列回路のまとめ

■ RLC並列回路のまとめ

練習問題

問題1

抵抗とコイルの合成インピーダンスを求めよ。

<解答例>

この問題は インピーダンスの大きさを求めれば良いので、数値を代入すれば OKです。

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\) から

\(Z=\sqrt{12^2+5^2}=13\) [Ω] になります。

問題2

回路の抵抗とコイルにかかる電圧を求めよ。

また、電圧のベクトル図を描きなさい。

<解答例>

この問題は、回路に流れる電流を求めれば解けます。

合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\) から

\(Z=\sqrt{4^2+3^2}=5\) [Ω]  

回路に流れる電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{100}{5}=20\) [A] になります。

したがって

\(V_R=4×20=80\) [V]   

\(V_L=3×20=60\) [V]   

コイルの電圧は 電流に対して \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

ベクトル図は次のようになります。

\(E=\sqrt{80^2+60^2}=100\) [V] となり、電源電圧と等しくなります。

問題3

図のような回路の合成インピーダンス \(Z\) [Ω] を求めよ。

また、回路に流れる電流 \(I\) [A] を求めよ。

<解答例>

回路のインピーダンスを求める公式は

\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\)\(=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

\(Z=\sqrt{40^2+(80-50)^2}=50\) [Ω] になります。

また、電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{50}=2\) [A] となります。

問題4

回路に流れる電流 \(I\) [A] を求めよ。

<解答例>

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\) なので

\(I=\sqrt{12^2+5^2}=13\) [A] になります。

また、この問題が図のように、電源電圧と抵抗とリアクタンスの値が与えられているときの電流を求めよ。

<解答例>

並列回路のインピーダンスの逆数は、各インピーダンスの逆数の和になります。

\(\cfrac{1}{Z}=\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{j24}\)

並列回路の電流は

\(I=\cfrac{E}{Z}\) なので

\(I=120×(\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{j24})\)\(=12-j5\) [A] 

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}\) なので

\(I=\sqrt{12^2+5^2}=13\) [A] になります。

問題5

抵抗とコンデンサの並列回路です。

回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。

<解答例>

並列回路の電流の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_C}^2}\) なので

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\) [A] になります。

問題6

図のような回路を流れる電流 \(I\) [A] を求めよ。

<解答例>

抵抗を流れる電流を \(I_R\) コイルを流れる電流を \(I_L\) 

コンデンサを流れる電流を \(I_C\) とした回路図は 次のようになります。

\(I_R=\cfrac{E}{R}\)\(=\cfrac{120}{20}=6\) [A]  

\(I_L=\cfrac{E}{X_L}\)\(=\cfrac{120}{10}=12\) [A] 

\(I_C=\cfrac{E}{X_C}\)\(=\cfrac{120}{30}=4\) [A] 

ベクトル図は 次のようになります。

回路の電流 \(I\) [A] は

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\) [A] になります。

■ アドミタンスを使って求める

アドミタンス を \(Y\) [S] とすると

\(Y=Y_R+Y_L+Y_C\)

\(Y=\cfrac{1}{20}+\cfrac{1}{j10}-\cfrac{1}{j30}\)

\(Y=\cfrac{1}{20}-j\cfrac{2}{30}\) [S] 

回路の電流 \(I\) [A] は

\(I=YE\)

\(I=(\cfrac{1}{20}-j\cfrac{2}{30})×120\)

\(I=6-j8\) [A] なので

回路の電流 \(I\) の大きさは

\(I=\sqrt{6^2+8^2}=10\) [A] となります。

問題7

電源電圧 \(100\) [V] で位相ゼロ、回路に \(10∠-\cfrac{\pi}{6}\) [rad] の電流が流れています。

この回路のインピーダンス \(Z、R、X_L\) を求めよ。

<解答例>

電圧と電流のベクトルを描くと、次のようになります。

電流は電圧より \(\cfrac{\pi}{6}\) 遅れています。

RL直列回路では、電流を基準にして \(V_R、V_L\) を描くとわかりやすくなります。

電圧のベクトル図から、インピーダンスの三角形が得られます。

それぞれの辺の比は角度が \(\cfrac{\pi}{6}\) なので \(1:2:\sqrt3\) になります。

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{100}{10}=10\) [Ω]

\(R=Z\cos\cfrac{\pi}{6}=10×\cfrac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\)

\(X_L=Z\sin\cfrac{\pi}{6}=10×\cfrac{1}{2}=5\)

したがって

\(Z=10\) [Ω]

\(R=5\sqrt3\) [Ω]

\(X_L=5\) [Ω] になります。

抵抗とコイルのインピーダンス計算

図のような抵抗とコイルの直列接続の、インピーダンス \(Z\) は次のようになります。

\(Z=R+jX_L\) (+jになることに注意)

\(|Z|=\sqrt{R^2+{X_L}^2}\)

ここで \(R=4\) [Ω] \(X_L=3\) [Ω] とすると

\(Z=4+j3\)

\(|Z|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\) [Ω] になります。

★ ベクトル図


抵抗とコンデンサのインピーダンス

図のような抵抗とコンデンサの直列接続の インピーダンス \(Z\) を求めてみます。

\(Z=R-jX_C\) (-jになることに注意)

\(|Z|=\sqrt{R^2+{X_C}^2}\)

ここで、\(R=3\quad\rm[Ω]\)、\(X_C=4\) [Ω] とすると

\(Z=3-j4\)

\(|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\) [Ω] になります。

★ ベクトル図


上記の問題にある、「抵抗とコイル」、「抵抗とコンデンサ」のインピーダンスの絶対値は、同じですがインピーダンスの位相は全く異なります。

インピーダンスの並列接続の計算

インピーダンスの並列接続の計算は 次のようにします。

\(\cfrac{1}{Z}\)\(=\cfrac{1}{Z_1}+\cfrac{1}{Z_2}\)

\(\cfrac{1}{Z}\)\(=\cfrac{1}{R_1+jX_L}+\cfrac{1}{R_2-jX_C}\)

次のような、値が入っている時の計算です。

\(\cfrac{1}{Z}\)\(=\cfrac{1}{4+j3}+\cfrac{1}{3-j4}\)

逆数から、\(Z\) を求めて計算することができますが

並列回路の場合は アドミタンス として逆数のままで計算するほうが良いこともあります。

以上で「インピーダンスの計算」の説明を終わります。

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