アドミタンスとは何か

抵抗 は電気回路において、電流の流れを妨げる という性質を持ちます。

抵抗器は 直流回路でも交流回路でも、純粋な抵抗として働きますので 純抵抗(レジスタンス) といいますが、一般的に純抵抗のことを「抵抗」と呼びます。

コイルコンデンサは交流回路では、電流の流れを妨げるという抵抗の性質に加えて、回路に流れる電流の位相を変化させる という性質を持ちます。

このため、コイルやコンデンサの 抵抗 としての働きを 純抵抗 と区別して取り扱います。

■ メモ
コイルやコンデンサの抵抗としての働きを リアクタンス と呼びます。

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抵抗とリアクタンスが合成されたものを、インピーダンス といいます。

アドミタンスは、インピーダンスの逆数のことをいいます。

アドミタンスとは何か

アドミタンスとはインピーダンスの逆数のことをいいます。

交流回路の計算をする場合、問題によってはアドミタンスを使うことで計算がすごく楽になることがあります。

計算の時に分母や分子を簡単にする事で、計算が易しくなり、間違いが少なくなります。

インピーダンスは 電流の流れにくさ を表わし、

アドミタンスは 電流の流れやすさ を表わします。

アドミタンスの記号は \(Y\) 単位は \(\rm[S]\) ジーメンスです。

■ メモ
インピーダンスは、電圧と電流の比ですが、アドミタンスは電流と電圧の比になります。

■ アドミタンスの表わし方

インピーダンス \(Z\) の 逆数をアドミタンス といいます。

\(Y=\cfrac{1}{Z}\)

アドミタンス \(Y\) は実数部 \(G\) と虚数部 \(B\) があります。

\(Y=\cfrac{1}{Z}\)\(=G+jB\quad\rm[S]\)

アドミタンスの実数部を コンダクタンス といい、虚数部を サセプタンス といいます。

コンダクタンス \(G\) は  \(0\) または正の値 ですが、サセプタンス \(B\) は  正と負の両方の値 を持ちます。

アドミタンスを式で表すと次のようになります。

\(Y=\cfrac{1}{Z}=G+jB\)\(=\cfrac{1}{R+jX}\quad\rm[S]\)

分母を有理化すると、次のようになります。

\(Y=G+jB\)\(=\left(\cfrac{R}{R^2+X^2}-j\cfrac{X}{R^2+X^2} \right)\)

■ コンダクタンスとは何か

アドミタンスの実数部を コンダクタンス といいます。

\(G\quad\rm[S]\) で表わします。

コンダクタンスの単位は \(\rm[S]\) を用い、ジーメンスと呼びます。

\(G=\cfrac{R}{R^2+X^2}\quad\rm[S]\)
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■ サセプタンスとは何か

アドミタンスの虚数部のことを サセプタンス といいます。

\(B\quad\rm[S]\) で表わします。 

サセプタンスの単位は \(\rm[S]\) を用い、ジーメンスと呼びます。

\(B=-j\cfrac{X}{R^2+X^2}\quad\rm[S]\)

■ インピーダンスとアドミタンスの関係

なぜ、アドミタンスを使うのか

回路の計算にアドミタンスを使うと計算が簡単になる場合があります。

そのため、アドミタンスを使います。

■ 図1の回路のインピーダンスを求める場合

■ 計算を出来るだけ簡素化する工夫

インピーダンスの計算をする場合、計算に分数が入ってくるのでどうしても複雑になりやすい。

そこで、できるだけ計算式の分母や分子に、分数を含ませないようにすることが重要になります。

計算例1 インピーダンスをそのままで求めた場合

和分の積の公式を使う。

\(Z=\cfrac{(R+jωL)(-j\cfrac{1}{ωC})}{(R+jωL)+(-j\cfrac{1}{ωC})}\)\(=\cfrac{\cfrac{L}{C}-j\cfrac{R}{ωC}}{R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})}\)

\(Z=\cfrac{ωL-jR}{ωCR+jω^2LC-j}\)\(=\cfrac{R+jωL}{1-ω^2LC+jωCR}\)

この計算は途中を少し省いてありますが分母、分子に共に分数を含むため、通分が多くなりとても面倒な計算になります。

計算は複雑になると単純なミスをすることが多くなるので、できるだけ簡単な方が良いです。

計算例2 計算に少しだけ工夫をした場合

計算例1と同様に和分の積の公式を使う。

\(-j({\Large\frac{1}{ωC})}\) を \({\Large\frac{1}{jωC}}\) にして計算する。

\(Z=\cfrac{(R+jωL)\cfrac{1}{jωC}}{R+jωL+\cfrac{1}{jωC}}\)\(=\cfrac{\cfrac{R+jωL}{jωC}}{\cfrac{1-ω^2LC+jωCR}{jωC}}\)\(=\cfrac{R+jωL}{1-ω^2LC+jωCR}\)

計算例1よりかなり簡素化できました。

計算例3 アドミタンスで計算した場合

\(Y=\cfrac{1}{R+jωL}+jωC\)\(=\cfrac{1-ω^2LC+jωCR}{R+jωL}\)

この式の逆数を取れば

\(Z=\cfrac{R+jωL}{1-ω^2LC+jωCR}\)

アドミタンスを使うと計算が簡単になる場合

アドミタンスを使って計算した時のほうが、明らかに簡単にできます。

複素数による計算はリアクタンスの置き換え方により、計算が簡単になったり逆に複雑になったりしますので注意が必要です。

アドミタンスの計算例

図2の回路に流れる合成電流 \(I_0\) を求めよ。

■ 合成インピーダンスから求める場合の例

\(Z=\cfrac{1}{{\cfrac{1}{4+j3}+\cfrac{1}{3-j4}}}\)\(={\cfrac{1}{\cfrac{(3-j4)+(4+j3)}{(4+j3)(3-j4)}}}\)

\(Z=\cfrac{(4+j3)(3-j4)}{3-j4+4+j3}\)\(=\cfrac{24-j7}{7-j}\)

\(I_0=\cfrac{E}{Z}\)=\(\cfrac{100}{{\cfrac{24-j7}{7-j}}}\)\(=\cfrac{100(7-j)(24+j7)}{(24-j7)(24+j7)}\)\(=\cfrac{100(168+j25+7)}{625}\)\(=4(7+j)\)

\(|I_0|=4\sqrt{7^2+1^2}\)\(=4\sqrt{50}\)\(=20\sqrt2\quad\rm[A]\)

■ 合成アドミタンスから求める場合の例

\(Y_1=\cfrac{1}{Z_1}=\cfrac{1}{4+j3}\)

\(Y_2=\cfrac{1}{Z_2}=\cfrac{1}{3-j4}\)

\(Y=Y_1+Y_2\)\(=\cfrac{1}{4+j3}+\cfrac{1}{3-j4}\)\(=\cfrac{4-j3+3+j4}{25}\)\(=\cfrac{7+j}{25}\)

\(I_0=EY\)\(=100\left(\cfrac{7+j}{25}\right)=4(7+j)\)

\(|I_0|=4\sqrt{7^2+1^2}\)\(=4\sqrt{50}\)\(=20\sqrt2\quad\rm[A]\)

■ メモ
同じ問題を解く場合でも、この問題の時はアドミタンスを計算して問題を解くほうが、数段易しく計算することができることがわかります。

以上で「アドミタンスとは何か」の説明を終わります。