RC直列回路の概要

抵抗とコンデンサを直列に接続したRC直列回路について、電圧、電流、インピーダンスの関係について説明します。

RC直列回路とRL直列回路の考え方は、コンデンサとコイルの違いだけで基本的には同じです。

RC直列回路とは、抵抗 \(R\) と静電容量 \(C\) のコンデンサを、直列に接続した回路のことをいいます。

■ RC直列回路の電流

RC直列回路では、抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) は直列に接続されているので、RC直列回路に流れる電流 \(I\) は 同じ電流 になります。

■ RC直列回路の電圧

• 抵抗の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は 

\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

大きさは \(V_R=RI\) [V] 

• コンデンサの端子電圧 \(\dot{V_C}\) は 

\(\dot{V_C}=X_C\dot{I}\) [V]

(\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)) なので

大きさは \(V_C=X_CI=\cfrac{I}{ωC}\) [V] 

• RC直列回路の全電圧 \(\dot{E}\) は抵抗とコイルの各端子電圧の和になります。

\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}\) [V]

\(\dot{E}=(R+X_C)\dot{I}\) [V]
\(\dot{E}=(R+\cfrac{1}{ωC})\dot{I}\) [V]

大きさは  \(E=I\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [V]

RC直列回路のベクトル図

■ RC直列回路のベクトルの描き方

RC直列回路では 流れる電流 \(\dot{I}\) が同じなので、電流を基準としてベクトルを描きます。

• 電流を基準ベクトルとして描きます。

• 抵抗の端子電圧 \(\dot{V_R}\) を電流と同相に描きます。
\(\dot{V_R}\) の長さは、矢印の始点からの長さです。

• コンデンサの端子電圧 \(\dot{V_C}\) を電流より \(\cfrac{\pi}{2}\) 遅れて描きます。

• \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_C}\) のベクトル和が電源電圧 \(\dot{E}\) になります。

RC直列回路では、電源電圧に対して進み電流が流れます。

RC直列回路の電圧・電流の大きさ

■ RC直列回路の電圧・電流の大きさ

ベクトル図において \(\dot{V_R}\) \(\dot{V_C}\) \(\dot{E}\) は直角三角形ですから

三平方の定理を用いると回路の全電圧 \(E\) の大きさは

\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_C}^2}=\sqrt{(RI)^2+(X_CI)^2}\)

\(E=I\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [V]
\(E=I\sqrt{R^2+(\cfrac{1}{ωC})^2}\) [V]

したがって、回路に流れる電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\) [A]
\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(\cfrac{1}{ωC})^2}}\) [A] になります。

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

合成インピーダンスは 電圧と電流の比ですから 

電圧の式

\(E=I\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [V] から

\(Z=\cfrac{E}{I}=\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [Ω] 

\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので

\(Z=\sqrt{R^2+(\cfrac{1}{ωC})^2}\) [Ω] になります。

■ RC直列回路の合成インピーダンス角

RC直列回路のベクトル図で、基準とする電流 \(\dot{I}\) に対する電圧 \(\dot{E}\) の位相差 \(θ\) を RC直列回路の インピーダンス角 といいます。

\(\tanθ=\cfrac{-V_C}{V_R}=\cfrac{-X_CI}{RI}=\cfrac{X_C}{R}\)

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-X_C}{R}\) [rad]

RC直列回路の記号法

交流を複素数で表す方法を 記号法 といいます。

次の回路は記号法によるRC直列回路です。

■ 直交座標表示

\(-jX_C=-j\cfrac{1}{ωC}=\cfrac{1}{jωC}\) 容量性リアクタンス

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は、電流 \(\dot{I}\) と同相なので

\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V] 

コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(\dot{V_C}\) は電流 \(\dot{I}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が遅れます。

\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}=-j\cfrac{\dot{I}}{ωC}\) [V] 

■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所

  • 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
  • \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか

■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)(オメガ)の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。

これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。

  • \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
  • \(-j\) は時計方向に90°移動します。

回路全体の電圧 \(\dot{E}\) は、RC直列回路では各端子電圧 \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_C}\) の和になりますから

\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}\) [V] 

\(\dot{E}=(R-jX_C)\dot{I}\) [V] 

\(\dot{E}=(R-j\cfrac{1}{ωC})\dot{I}\) [V] 

したがって、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R-jX_C}\) [A]  

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R-j\cfrac{1}{ωC}}\) [A] になります。

■ 極座標表示

\(\dot{V_R}=R\dot{I}\angle 0\) [V]  (電流 \(\dot{I}\) と同相)

\(\dot{V_C}=X_CI\angle -\cfrac{π}{2}\) [V]  (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 遅れ)

\(\dot{E}\angle-θ(シータ)\) [V]

■ インピーダンスベクトル図

インピーダンスの関係を、図のように表したものを、インピーダンスベクトル図、または インピーダンス三角形 といいます。

インピーダンス \(\dot{Z}\) は 電圧と電流の比ですから

\(\dot{E}=(R-jX_C)\dot{I}\) [V] 

\(\dot{Z}=R-jX_C\) [Ω] 

\(\dot{Z}=R-j\cfrac{1}{ωC}\) [Ω] になります。

■ インピーダンス角 \(θ\)

インピーダンスベクトル図から、インピーダンス角 \(θ\) [rad] は

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-X_C}{R}\) または

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-1}{ωCR}\) [rad] になります。

直列回路の力率について

直列回路の力率はインピーダンスで求めるときに

\(\cosθ=\cfrac{V_R}{E}=\cfrac{R}{Z}\) になります。

並列接続のときは

\(\cosθ=\cfrac{Z}{R}\) になります。

RC直列回路の公式

■ RC直列回路の公式

ベクトル
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) [Ω]  

\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]  

\(\dot{V_C}=X_C\dot{I}=\cfrac{\dot{I}}{ωC}\) [V]  

\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}\) [V] 

記号法
\(-jX_C=\cfrac{1}{jωC}\) [Ω] 

\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}=\cfrac{\dot{I}}{jωC}\) [V]  

\(\dot{E}=(R-jX_C)\dot{I}\) [V]

\(\dot{E}=(R-j\cfrac{1}{ωC})\dot{I}\) [V]

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R-jX_C}\) [A] 

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R-j\cfrac{1}{ωC}}\) [A] 

\(\dot{Z}=R-j\cfrac{1}{ωC}\) [Ω] 

大きさ
\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_C}^2}\) [V] 

\(E=I\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [V] 

\(E=I\sqrt{R^2+{(\cfrac{1}{ωC}})^2}\) [V]

\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\) [A] 

\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{(\cfrac{1}{ωC})^2}}}\) [A]    

\(Z=\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [Ω] 

\(Z=\sqrt{R^2+(\cfrac{1}{ωC})^2}\) [Ω] 

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-1}{ωCR}\) [rad]

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練習問題

問題1

抵抗 4 [Ω] と容量性リアクタンス 3 [Ω] のコンデンサの直列回路がある。

この回路に、20 [V] の電圧を加えたとき回路に流れる電流 \(I\) の大きさを求めよ。

<解 答>

RC直列回路の合成インピーダンスは

\(Z=\sqrt{R^2+(X_C)^2}\) になります。

数値を当てはめると

\(Z=\sqrt{4^2+3^2}=5\) [Ω] 

電流 \(I\) は次のように、求められます。

\(I=\cfrac{20}{5}=4\) [A] 

以上で「RC直列回路の概要」の説明を終わります。