RC直列回路の概要




RC直列回路とRL直列回路の考え方は、コンデンサとコイルの違いだけで基本的には同じです。

RC直列回路とは、次の図のように抵抗 \(R\) [Ω] と静電容量 \(C\) [F] のコンデンサを、直列に接続した回路のことをいいます。

RC直列回路の概要

●RC直列回路の電圧と電流
上図のようなRC直列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したとき、RC直列回路に流れる電流を \(\dot{I}\) とします。

電流について
RC直列回路では、抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) は直列に接続されているので、RC直列回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は「同じ値」になります。

電圧の関係
各素子の端子電圧と電源電圧の関係は、次のようになります。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) とすると
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(\dot{V_C}\) とすると
\(\dot{V_C}=X_C\dot{I}=\cfrac{\dot{I}}{ωC}\) [V]  (\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\))

電源電圧を \(\dot{E}\) とすると
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}\) [V]

\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}=R\dot{I}+X_C\dot{I}=(R+X_C)\dot{I}\) [V] になります。

電源電圧 \(\dot{E}\) は、直列接続なので、各端子電圧の「ベクトルの和」になります。

●RC直列回路のベクトル関係
抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) の直列接続では、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) が同じなので、電流 \(\dot{I}\) を「基準」にしてそれぞれの端子電圧をベクトル図にすると、次のようになります。

RC直列回路では、回路を流れる電流 \(\dot{I}\) が同じなので電流 \(\dot{I}\) を基準にすると、抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は電流 \(\dot{I}\) と同相になります。

また、コンデンサの端子電圧 \(\dot{V_C}\) は、電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 遅れます。

電源電圧 \(\dot{E}\) の位相 \(θ\) は、インピーダンスの種類と大きさによって変化します。

●RC直列回路の各電圧の大きさ


RC直列回路のベクトル図で、\(V_R・V_C・E\) は直角三角形ですから三平方の定理を用いると

\(E^2={V_R}^2+{V_C}^2\)

\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_C}^2}\)=\(\sqrt{(RI)^2+(X_CI)^2}\)=\(\sqrt{I^2R^2+{X_C}^2I^2}\)

\(E=I\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [V]

したがって、回路に流れる電流Iの大きさは
\(I=\cfrac{V}{\sqrt{{R^2}+{X_C}^2}}\) [A]

また、\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) ですから
\(I=\cfrac{V}{\sqrt{{R^2}+(\cfrac{1}{ωC})^2}}\) [A] になります。

RC直列回路のインピーダンスの大きさ

●RC直列回路のオームの法則
RC直列回路の電圧 \(E\)、電流 \(I\)、インピーダンス \(Z\) の間には、オームの法則が成り立ちます。

RC直列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、電圧 \(E\) と電流 \(I\) の比になりますから

\(E=ZI=\sqrt{R^2+{X_C}^2} I\) [V]

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{V}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\) [A]

\(Z=\cfrac{E}{I}=\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [Ω]

\(Z=\sqrt{R^2+(\cfrac{1}{ωC})^2}\)  ただし、\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)

●RC直列回路のインピーダンス角
抵抗 \(R\) 、コンデンサのリアクタンス \(X_C\)、インピーダンス \(Z\) の関係を示すと、次の図のようになります。

上のインピーダンスの関係の図からインピーダンス角は、次のように表されます。

\(\tan θ=\cfrac{-V_C}{V_R}=\cfrac{-X_C}{R}=\cfrac{-1}{ωCR}\)

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-X_C}{R}=\tan^{-1}\cfrac{-1}{ωCR}\) [rad] になります。

記号法によるRC直列回路

交流を複素数で表す方法を「記号法」といいます。

RC直列回路では、抵抗 \(R\) と静電容量 \(C\) [F] のコンデンサに流れる電流が同じになりますので、電流 \(\dot{I}\)を基準にします。

各端子電圧を記号法を使って表すと、次のようになります。

●直交座標表示
•抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は、電流 \(\dot{I}\) と同相なので
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

•コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(\dot{V_C}\) は電流 \(\dot{I}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が遅れます。
\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}\)

虚数単位
\(j\) は虚数単位で、\(j=\sqrt{-1}\)
\(j\) を掛けることは、元の位置から反時計方向に \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 回転させることを意味します。

•回路全体の電圧 \(\dot{E}\) は、RC直列接続では各端子電圧 \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_C}\) の和になりますから
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}\)=\(R\dot{I}-jX_C\dot{I}\)=\((R-jX_C)\dot{I}\) [V]

したがって、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{R-jX_C}\) [A]  ただし、\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{R-j\cfrac{1}{ωC}}\) [A] になります。

●極座標表示
\(\dot{V_R}=RI\angle 0\) [V]  (電流 \(\dot{I}\) と同相)

\(\dot{V_C}=X_CI\angle -\cfrac{π}{2}\) [V]  (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 遅れ)

●インピーダンスベクトル図
インピーダンスの関係を、図で表すと次のようになります。

この図のように表したものを、インピーダンスベクトル図、またはインピーダンス三角形といいます。

RC直列回路で電圧 \(\dot{E}\) と電流 \(\dot{I}\) の関係は
\(\dot{E}=\dot{Z}\dot{I}=(R-jX_C)\dot{I}\) [V] です。

合成インピーダンスを \(\dot{Z}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と電流 \(\dot{I}\) の比で求められます。

\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{I}}=R-jX_C=R-j\cfrac{1}{ωC}\) [Ω] になります。

合成インピーダンス \(\dot{Z}\) の複素数は、実数部が \(R\) で、虚数部が \(-jX_C\) ですから、上のようなベクトル図になります。

●インピーダンス角 \(θ\)
インピーダンスベクトル図から、インピーダンス角 \(θ\) [rad] は
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-X_C}{R}\) [rad] または

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-1}{ωCR}\) [rad] になります。

誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスの虚数 j の付け方
虚数 j を付けるときの覚え方は、どちらもω(オメガ)の前に付けると覚えれば良い。
\(X_L=jωL\) 
\(X_C=\cfrac{1}{jωC}\) 
分子と分母に Jを掛ければ、次のようになります。
\(X_C=\cfrac{j}{j×jωC}=-j\cfrac{1}{ωC}\)

例題

問題1
抵抗 4[Ω]と容量性リアクタンス 3[Ω] のコンデンサの直列回路がある。

この回路に、20[V] の電圧を加えたとき回路に流れる電流 \(I\) の大きさを求めよ。

解答
RC直列回路の合成インピーダンスは

\(Z=\sqrt{R^2+(X_C)^2}\) になります。

数値を当てはめると
\(Z=\sqrt{4^2+3^2}=5\) [Ω]

電流 \(I\) は次のように、求められます。
\(I=\cfrac{20}{5}=4\) [A]

以上で「RC直列回路の概要」の説明を終わります。




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