抵抗とコンデンサを直列に接続したRC直列回路について、電圧、電流、インピーダンスの関係について説明します。
RC直列回路とRL直列回路の考え方は、コンデンサとコイルの違いだけで基本的には同じです。
RC直列回路とは、次の図のように抵抗 \(R\) と静電容量 \(C\) のコンデンサを、直列に接続した回路のことをいいます。
■ RC直列回路の電流
RC直列回路では、抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) は直列に接続されているので、RC直列回路に流れる電流 \(I\) は 同じ電流 になります。
■ RC直列回路
\(-jX_C=\cfrac{1}{jωC}\) [Ω]
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) [Ω]
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]
\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}=\cfrac{\dot{I}}{jωC}\) [V]
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}\) [V]
\(\dot{E}=(R-jX_C)\dot{I}\) [V]
\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_C}^2}\) [V]
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R-jX_C}\)\(=\cfrac{\dot{E}}{R-j\cfrac{1}{ωC}}\) [A]
\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)\(=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{(\cfrac{1}{ωC})^2}}}\) [A]
\(\dot{Z}=R+\cfrac{1}{jωC}\) [Ω]
\(Z=\sqrt{R^2+{X_C}^2}=\sqrt{R^2+(\cfrac{1}{ωC})^2}\) [Ω]
RC直列回路の概要
図のようなRC直列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したとき、RC直列回路に流れる電流を \(\dot{I}\) 抵抗とコンデンサの端子電圧を \(\dot{V_R}、\dot{V_C}\) とします。
■ RC直列回路の電圧
各素子の端子電圧と電源電圧の関係は、次のようになります。
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]
コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(\dot{V_C}\) は
\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}\) [V]
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) [V]
\(\dot{V_C}=-j\cfrac{\dot{I}}{X_C}=\cfrac{\dot{I}}{jωC}\) [V]
電源電圧を \(\dot{E}\) は
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}\) [V]
\(\dot{E}=(R-jX_C)\dot{I}\) になります。
電源電圧 \(\dot{E}\) は直列接続なので、各端子電圧の ベクトルの和 になります。
■ RC直列回路のベクトル関係
抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) の直列接続では、電源電圧に対して進み電流が流れます。
そのため電圧を基準にベクトルを描くべきかもしれませんが、次の図のようにベクトルが描きにくいので電流を基準に描くことにします。
• 電流を基準としてベクトルを描く
- 電流を基準として描きます。
- 抵抗の端子電圧 \(V_R\) を電流と同相に描きます。
- コンデンサの端子電圧 \(V_C\) を電流より \(\cfrac{\pi}{2}\) 遅れて描きます。
- \(V_R\) と \(V_C\) のベクトル和が電源電圧 \(E\) になります。
■ RC直列回路の各電圧の大きさ
RC直列回路のベクトル図で \(V_R・V_C・E\) は直角三角形ですから三平方の定理を用いると
\(E^2={V_R}^2+{V_C}^2\)
\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_C}^2}\)\(=\sqrt{(RI)^2+(X_CI)^2}\)\(=\sqrt{I^2R^2+{X_C}^2I^2}\)
回路に流れる電流 \(I\) の大きさは
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
RC直列回路のインピーダンスの大きさ
■ RC直列回路のオームの法則
RC直列回路の電圧 \(E\)、電流 \(I\) インピーダンス \(Z\) の間には、オームの法則が成り立ちます。
RC直列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、電圧 \(E\) と電流 \(I\) の比になりますから
\(E=ZI=I\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [V]
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\) [A]
\(Z=\cfrac{E}{I}=\sqrt{R^2+{X_C}^2}\) [Ω]
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
\(Z=\sqrt{R^2+(\cfrac{1}{ωC})^2}\) [Ω]
■ RC直列回路のインピーダンス角
抵抗 \(R\) 、コンデンサのリアクタンス \(X_C\)、インピーダンス \(Z\) の関係を示すと、次の図のようになります。
上のインピーダンスの関係の図からインピーダンス角は、次のように表されます。
\(\tan θ=\cfrac{-V_C}{V_R}\)\(=\cfrac{-X_C}{R}\)\(=\cfrac{-1}{ωCR}\)
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-X_C}{R}\)\(=\tan^{-1}\cfrac{-1}{ωCR}\) [rad] になります。
記号法によるRC直列回路
交流を複素数で表す方法を 「記号法」 といいます。
次の回路は記号法によるRC直列回路です。
■ 直交座標表示
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は、電流 \(\dot{I}\) と同相なので
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]
コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(\dot{V_C}\) は電流 \(\dot{I}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が遅れます。
\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}\)
■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所
- 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
- \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか
■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)（オメガ）の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。
これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。
- \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
- \(-j\) は時計方向に90°移動します。
たとえば、容量性リアクタンス \(\cfrac{1}{ωC}=X_C\) の \(ω\) の前に \(j\) を付けます。
\(\cfrac{1}{jωC}=\cfrac{1}{j}×X_C=\cfrac{j}{j}×\cfrac{1}{j}×X_C=-jX_C\) であることがわかります。
回路全体の電圧 \(\dot{E}\) は、RC直列接続では各端子電圧 \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_C}\) の和になりますから
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_C}\)\(=R\dot{I}-jX_C\dot{I}\)\(=(R-jX_C)\dot{I}\)
したがって、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R-jX_C}\) [A]
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
\(\dot{I}=\cfrac{E}{R-j\cfrac{1}{ωC}}\) [A] になります。
■ 極座標表示
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\angle 0\) [V] (電流 \(\dot{I}\) と同相)
\(V_C=X_C\dot{I}\angle -\cfrac{π}{2}\) [V] (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 遅れ)
\(\dot{E}=\angle -θ\) [V]
■ インピーダンスベクトル図
インピーダンスの関係を、図で表すと次のようになります。
この図のように表したものを、インピーダンスベクトル図、またはインピーダンス三角形 といいます。
RC直列回路で電圧 \(\dot{E}\) と 電流 \(\dot{I}\) の関係は
\(\dot{E}=Z\dot{I}\)\(=(R-jX_C)\dot{I}\) [V] です。
合成インピーダンスを \(\dot{Z}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と 電流 \(\dot{I}\) の比で求められます。
\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{I}}\)\(=R-jX_C=R-j\cfrac{1}{ωC}\) [Ω] になります。
合成インピーダンス \(\dot{Z}\) の複素数は、実数部が \(R\) で、虚数部が \(-jX_C\) ですから、上のようなベクトル図になります。
■ インピーダンス角
インピーダンスベクトル図から、インピーダンス角 \(θ\) [rad] は
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-X_C}{R}\) または
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-1}{ωCR}\) [rad] になります。
直列回路の力率について
直列回路の力率はインピーダンスで求めるときに
\(\cosθ=\cfrac{V_R}{E}=\cfrac{R}{Z}\) になります。
並列接続のときは
\(\cosθ=\cfrac{Z}{R}\) になります。
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練習問題
問題１
抵抗 4 [Ω] と容量性リアクタンス 3 [Ω] のコンデンサの直列回路がある。
この回路に、20 [V] の電圧を加えたとき回路に流れる電流 \(I\) の大きさを求めよ。
＜解 答＞
RC直列回路の合成インピーダンスは
\(Z=\sqrt{R^2+(X_C)^2}\) になります。
数値を当てはめると
\(Z=\sqrt{4^2+3^2}=5\) [Ω]
電流 \(I\) は次のように、求められます。
\(I=\cfrac{20}{5}=4\) [A]
以上で「RC直列回路の概要」の説明を終わります。