この記事は次の項目について書いています。（この記事は2019/7/28に更新されました。）
- RLC直列共振とは何のこと？
- RLC直列共振回路の共振周波数
- RLC直列共振回路の電圧と電流とインピーダンス
- RLC直列共振回路の特徴
RLC直列共振とは何のこと？
次の回路図は「RLC直列回路」と「RLC直列共振回路」です。
見たところ違いはありませんね。
実は、回路の周波数が違います。
RLC直列回路の「ある特別な状態の時」を RLC直列共振回路 といいます。
コイルのリアクタンスは \(X_L=ωL=2πfL\)
コンデンサのリアクタンスは \(X_C=\cfrac{1}{ωC}=\cfrac{1}{2πfC}\) ですね。
両方とも、周波数 \(f\) が関係しています。
RLC直列回路のインピーダンスの式は
\(\dot Z=R+j(X_L-X_C)\)\(=R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})\quad[Ω]\cdots①\) になります。
RLC直列回路の「ある特別な状態の時」は何かというと
式①の虚数部 \((ωL-\cfrac{1}{ωC})\) で、\((ωL-\cfrac{1}{ωC})=0\) になるときのことです。
\((ωL-\cfrac{1}{ωC})=0\) になるということは、どういうことかというと
見かけ上、コイルとコンデンサがなくなったということになります。
RLC直列回路において、\((ωL=\cfrac{1}{ωC})\) になることを「RLC直列共振」といいます。
共振はある特定の周波数のときに \((ωL=\cfrac{1}{ωC})\) という状態になります。
このときの周波数を共振周波数 \(f_0\) といいます。
共振周波数 \(f_0\) のときの、インピーダンスの式は \((ωL-\cfrac{1}{ωC})=0\) なので
\(\dot Z=R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})\)
\(\dot Z=R\quad[Ω]\cdots②\) になります。
共振状態のときのインピーダンスは、\(\dot Z=R\) となり、抵抗 \(R\) だけになります。
RLC直列共振回路の共振周波数
RLC直列回路のリアクタンスと周波数の関係を、グラフで見ると次のようになります。
コイルのリアクタンス \(ωL\) は周波数に比例して大きくなります。
逆に、コンデンサのリアクタンス \(\cfrac{1}{ωC}\) は反比例して小さくなります。
コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスは、正反対の性質があるので周波数を増加させていくと途中に必ず、\((ωL=\cfrac{1}{ωC})\) になり共振する周波数があります。
このように共振したときの周波数 \(f_0\) を共振周波数といいます。
共振周波数 \(f_0\) のときの共振角速度を \(ω_0\) とすると
\(ω_0L=\cfrac{1}{ω_0C}\) から
\({ω_0}^2=\cfrac{1}{LC}\)
\(ω_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
ここで、\(ω_0=2πf_0\) ですから
\(2πf_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\) になります。
したがって、共振周波数は
\(f_0=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\quad[Hz]\) になります。
RLC直列共振回路の電圧と電流とインピーダンス
RLC直列共振時の電圧
RLC直列共振時に抵抗、コイル、コンデンサの端子電圧は、図のようになります。
共振しているときは、コイルの端子電圧 \(V_L\) と コンデンサの端子電圧 \(V_C\) が互いに打ち消し合うのでリアクタンス分はなくなり、抵抗分だけになります。
また、共振時に流れる電流を共振電流 \(I_0\) といいます。
共振電流 \(\dot{I_0}\) は、共振時に最大になります。
\(\dot{I_0}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{Z}}=\cfrac{\dot{E}}{R}\quad[A]\)
インピーダンスベクトル図
次に共振時とそれ以外のときのインピーダンスを、ベクトルで表すと次のようになります。
RLC直列共振回路の特徴
共振状態になると
•電源から見たインピーダンスは見かけ上は抵抗だけになるので、電圧と電流は同相になります。
•共振状態のときは L や C の端子電圧が電源電圧より大きくなります。電圧拡大作用という現象が起こります。
•共振状態のときの電流の値は最大になります。
\(L\) と \(C\) の電圧拡大作用
RLC直列回路が共振状態になると、電源電圧 \(E\) より \(L\) や \(C\) の端子電圧が大きくなるという現象が起こります。
その大きさは、共振電流を \(I_0\) とすると
\(I_0=\cfrac{E}{R}\quad[A]\)
共振角速度 \(ω_0\) は
\(ω_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
\(L\) や \(C\) の端子電圧 \(V_L、V_C\) は次のようになります。
\(V_L=ω_0LI_0=ω_0L\cfrac{E}{R}\quad[V]\)
\(V_C=\cfrac{1}{ω_0C}I_0=\cfrac{1}{ω_0C}\cfrac{E}{R}\quad[V]\)
電源電圧と\(V_L\) や \(V_C\) の比を「選択度」あるいは \(Q\) といいます。
\(Q=\cfrac{V_L}{E}=\cfrac{ω_0L\cfrac{E}{R}}{E}=\cfrac{ω_0L}{R}=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\)
\(Q=\cfrac{V_C}{E}=\cfrac{\cfrac{E}{ω_0CR}}{E}=\cfrac{1}{ω_0CR}=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\)
したがって、\(L\) や \(C\) は電源電圧に対して
\(L\) の端子電圧は \(\cfrac{ωL}{R}\) 倍
\(C \)の端子電圧は \(\cfrac{1}{ωCR}\) 倍になります。
選択度 \(Q\) は
\(Q=\cfrac{V_L}{E}=\cfrac{V_C}{E}=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\) になります。
計算例
直列共振
次のようなRLC直列回路に、 \(R=10\) [Ω]、\(L=10π\) [mH]、\(C=π/4\) [μF] が接続されているとき、\(E=10\) [V] の交流電圧を加えると、共振時に \(L、C\) 両端の電圧は 何 [V] になるか求めよ。
（\(π^2 \fallingdotseq 10\)とする。）
＜解 答＞
\(f_o=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\)＝\(\cfrac{1}{2π\sqrt{10π×10^{-3}×(π/4)×10^{-6}}}\)＝\(\cfrac{1}{π^2×10^{-4}}\)＝\(\cfrac{10000}{10}=1000\) [Hz]
\(I_o=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{R}=\cfrac{10}{10}=1\) [A]
\(X_L=ωL\)＝\(2πfL=2π×10^3×10π×10^{-3}=200\) [Ω]
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)＝\(\cfrac{1}{2πfC}=\cfrac{1}{2π×10^3×(π/4)×10^{-6}}=200\) [Ω]
\(V_L=ωLI=200×1=200\) [V]
\(V_C=\cfrac{1}{ωC}I=200×1=200\) [V]
\(Q=\cfrac{ωL}{R}=\cfrac{200}{10}=20\) 倍
\(Q=\cfrac{1}{ωCR}=200×\cfrac{1}{10}=20\) 倍
このことから分かるように、\(L\) や \(C\) の端子電圧は電源電圧の 20 倍にもなることが分かります。
以上で「RLC直列共振回路」の説明を終わります。
