RLC直列共振回路

RLC直列回路の共振についての説明です。

どのような条件になると共振状態になるのか?

共振周波数の求め方や共振状態のときの電圧、電流、インピーダンスについて考えます。

RLC直列共振とは何のこと?

回路図はRLC直列回路 と RLC直列共振回路です。

見たところ違いはありませんね。

実は、回路の周波数が違います。

RLC直列回路の ある特別な状態の時 を RLC直列共振回路 といいます。

共振という現象にはリアクタンスが関係しています。

コイルのリアクタンスは

\(X_L=ωL=2πfL\)

コンデンサのリアクタンスは

\(X_C=\cfrac{1}{ωC}=\cfrac{1}{2πfC}\) です。

両方とも、周波数 \(f\) が関係しています。

RLC直列回路のインピーダンスの式は、次のようになります。

\(Z=R+j(X_L-X_C)\)\(=R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})\cdots(1)\)

RLC直列回路の ある特別な状態の時 は何かというと

式(1)の虚数部 \((ωL-\cfrac{1}{ωC})\) が

\((ωL-\cfrac{1}{ωC})=0\) になるときのことです。

\((ωL-\cfrac{1}{ωC})=0\) になるということは、どういうことかというと

見かけ上、コイルとコンデンサがなくなったということになります。

■ 直列共振のとき
コイルとコンデンサがなくなった と言うと回路が切れたように感じるかもしれませんが、コイルとコンデンサのリアクタンスが打ち消し合ってゼロになり導通(短絡)したと考えると良いでしょう。

■ 並列共振のとき
並列共振のときも、コイルとコンデンサのリアクタンスが打ち消し合ってゼロになるのは、直列共振と同じですが合成リアクタンス自体は無限大になりますので、回路が切断された状態になります。ここが直列共振と異なるところです。

RLC直列回路において、\((ωL=\cfrac{1}{ωC})\) になることを RLC直列共振 といいます。

共振はある特定の周波数のときに \((ωL=\cfrac{1}{ωC})\) という状態になります。

このときの周波数を 共振周波数 \(f_0\) といいます。

共振周波数 \(f_0\) のときの、インピーダンスの式は \((ωL-\cfrac{1}{ωC})=0\) なので

\(Z=R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})\)

\(Z=R\quad[Ω]\cdots(2)\) になります。

共振とは”RLC直列回路において、\(ωL=\cfrac{1}{ωC}\) になるときの状態を共振状態といいます。

共振状態のときのインピーダンスは、\(Z=R\) となり、抵抗 \(R\) だけになります。

RLC直列共振回路の共振周波数

RLC直列回路のリアクタンスと周波数の関係を、グラフで見ると次のようになります。

コイルのリアクタンス \(ωL\) は周波数に比例して大きくなります。

逆に、コンデンサのリアクタンス \(\cfrac{1}{ωC}\) は反比例して小さくなります。

コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスは、正反対の性質があるので周波数を増加させていくと途中に必ず、\((ωL=\cfrac{1}{ωC})\) になり共振する周波数があります。

このように共振したときの周波数 \(f_0\) を 共振周波数 といいます。

共振周波数 \(f_0\) のときの共振角速度を \(ω_0\) とすると

\(ω_0L=\cfrac{1}{ω_0C}\) から

\({ω_0}^2=\cfrac{1}{LC}\)

\(ω_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\)

ここで、\(ω_0=2πf_0\) ですから

\(2πf_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\) になります。

したがって、共振周波数は

\(f_0=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\quad[Hz]\) になります。

■ RLC直列共振時の電圧

RLC直列共振時に抵抗、コイル、コンデンサの端子電圧は、図のようになります。

共振しているときは、コイルの端子電圧 \(V_L\) と コンデンサの端子電圧 \(V_C\) が互いに打ち消し合うのでリアクタンス分はなくなり、抵抗分 だけになります。

また、共振時に流れる電流を共振電流 \(I_0\) といいます。

共振電流 \(I_0\) は、共振時に最大になります。

\(I_0=\cfrac{E}{Z}\)\(=\cfrac{E}{R}\quad[A]\)

 

■ 共振時の電流が最大になる
\(I=\cfrac{E}{Z}\) [A] 

\(Z=R+X\) [Ω] 

\(X=0\) のとき \(Z=R\) [Ω] でインピーダンスが最小になるので、電流は最大になります。

\(X\neq0\) のとき \(Z=R+X\) [Ω] で \(Z=R\) [Ω] より大きくなるので、電流は最大値より必ず小さくなります。

■ インピーダンスベクトル図

次に共振時とそれ以外のときのインピーダンスを、ベクトルで表すと次のようになります。

RLC直列共振回路の特徴

■ 共振状態の場合

  • 電源から見たインピーダンスは見かけ上は抵抗だけになるので、電圧と電流は同相になります。
  • 共振状態のときは L や C の端子電圧が電源電圧より大きくなります。
    電圧拡大作用という現象が起こります。
  • 共振状態のときの電流の値は最大になります。

\(L\) と \(C\) の電圧拡大作用

RLC直列回路が共振状態になると、電源電圧 \(E\) より \(L\) や \(C\) の端子電圧が大きくなるという現象が起こります。

その大きさは、共振電流を \(I_0\) とすると

\(I_0=\cfrac{E}{R}\quad[A]\) 

共振角速度 \(ω_0\) は

\(ω_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\)

\(L\) や \(C\) の端子電圧 \(V_L、V_C\) は次のようになります。

\(V_L=ω_0LI_0\)\(=ω_0L\cfrac{E}{R}\quad[V]\) 

\(V_C=\cfrac{1}{ω_0C}I_0\)\(=\cfrac{1}{ω_0C}\cfrac{E}{R}\quad[V]\) 

電源電圧と \(V_L\) や \(V_C\) の比を 選択度 といい、\(Q\) を使います。

\(Q=\cfrac{V_L}{E}\)\(=\cfrac{ω_0L\cfrac{E}{R}}{E}\)\(=\cfrac{ω_0L}{R}\)\(=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\)

\(Q=\cfrac{V_C}{E}\)\(=\cfrac{\cfrac{E}{ω_0CR}}{E}\)\(=\cfrac{1}{ω_0CR}\)\(=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\)

したがって、\(L\) や \(C\) は電源電圧に対して

\(L\) の端子電圧は \(\cfrac{ωL}{R}\) 倍

\(C \) の端子電圧は \(\cfrac{1}{ωCR}\) 倍 になります。

選択度 \(Q\) は

\(Q=\cfrac{V_L}{E}\)\(=\cfrac{V_C}{E}\)\(=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\) になります。

練習問題

問題1

■ 直列共振

次のようなRLC直列回路に、\(R=10\) [Ω]、 \(L=10π\) [mH]、 \(C=\cfrac{π}{4}\) [μF] が接続されているとき、\(E=10\) [V] の交流電圧を加えると、共振時に \(L、C\) 両端の電圧は 何 [V] になるか求めよ。 (\(π^2 \fallingdotseq 10\)とする。)

<解 答>

• 共振周波数の公式から、共振周波数を求めます。
\(f_0=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\)\(=\cfrac{1}{2π\sqrt{10π×10^{-3}×(π/4)×10^{-6}}}\)\(=\cfrac{1}{π^2×10^{-4}}\)
\(f_0=\cfrac{10000}{10}=1000\) [Hz]

• 共振時にはインピーダンスが抵抗だけになるので共振電流が求められます。
\(I_0=\cfrac{E}{Z}\)\(=\cfrac{E}{R}\)\(=\cfrac{10}{10}=1\) [A]  

• 共振時の誘導性リアクタンスは
\(X_L=ωL\)\(=2πfL=2π×10^3×10π×10^{-3}\)\(=200\) [Ω]  

• 共振時の容量性リアクタンスは 
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)\(=\cfrac{1}{2πfC}\)\(=\cfrac{1}{2π×10^3×(π/4)×10^{-6}}\)\(=200\) [Ω]  

• コイルの端子電圧は
\(V_L=ωLI=200×1=200\) [V]  

• コンデンサの端子電圧は
\(V_C=\cfrac{1}{ωC}I=200×1=200\) [V]  

\(Q=\cfrac{ωL}{R}\)\(=\cfrac{200}{10}=20\) 倍

\(Q=\cfrac{1}{ωCR}\)\(=200×\cfrac{1}{10}=20\) 倍

このことから分かるように、\(L\) や \(C\) の端子電圧は電源電圧の \(20\) 倍になることが分かります。

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