RC並列回路とは、抵抗 \(R\) [Ω]と静電容量 \(C\) [F] のコンデンサを、並列に接続した回路のことをいいます。
RC並列回路の概要
●RC並列回路の電圧と電流
上の図のようなRC並列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したときの特徴は次のようなものです。
- 並列回路では、抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) に掛かる電圧 \(\dot{E}\) は同じになります。
- 抵抗に流れる電流 \(\dot{I_R}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と同相になります。
- コンデンサに流れる電流 \(\dot{I_C}\) は、電圧 \(\dot{E}\) に対して \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進みます。
電流について
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
\(\dot{I_C}=\cfrac{\dot{E}}{X_C}\) [A]
RC並列回路の全体の電流 \(\dot{I}\) は、各電流の「ベクトルの和」になります。
\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}\) [A]
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R}+\cfrac{\dot{E}}{X_C}\)
\(\dot{I}=\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{X_C}\right)×\dot{E}\) [A] になります。
この式から、インピーダンス \(\dot{Z}\) は
\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{I}}\)
\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{X_C}}\) [Ω] になります。
●RC並列回路のベクトル図
抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) の並列接続では、回路の抵抗とコンデンサに掛かる電圧 \(\dot{E}\) が同じなので、電圧 \(\dot{E}\) を「基準」にして、各端子に流れる電流をベクトル図にすると、次のようになります。
RC並列回路では、各素子に掛かる電圧が同じになるので、電圧 \(\dot{E}\) を基準にすると、抵抗 \(R\) に流れる電流 \(\dot{I_R}\) は電圧 \(\dot{E}\) と同相になります。
また、コンデンサに流れる電流 \(\dot{I_C}\) は、電圧 \(\dot{E}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進みます。
位相 \(θ\) は、インピーダンスの種類と大きさによって変化します。
●RC並列回路の各電流の大きさ
RC並列回路のベクトル図で、\(I_R・I_C・I\) は直角三角形ですから三平方の定理を用いると
\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_C}^2}\)
\(I=\sqrt{\left(\cfrac{E}{R}\right)^2+\left(\cfrac{E}{X_C}\right)^2}\)=\(\sqrt{E^2\left(\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}\right)}\)
\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}\) [A]
したがって、電圧 \(E\) の大きさは
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}}\) [V]
また、\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) ですから
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+(ωC)^2}}\) [V] になります。
RC並列回路のインピーダンスの大きさ
●RC並列回路のオームの法則
RC並列回路の電圧 \(E\)、電流 \(I\)、インピーダンス \(Z\) の間には、オームの法則が成り立ちます。
RC並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、電圧 \(E\) と電流 \(I\) の比になりますから
\(E=ZI=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}}\) [V]
\(I=\cfrac{E}{Z}=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}\) [A]
\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}}\) [Ω]
\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)=\(\cfrac{R・1/ωC}{\sqrt{R^2+{(1/ωC)}^2}}\) [Ω] ただし、\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)
●RC並列回路のインピーダンス角
上のインピーダンスの関係図からインピーダンス角は、次のように表されます。
\(\tan θ=\cfrac{I_C}{I_R}=\cfrac{R}{X_C}\)
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{R}{X_C}=\tan^{-1}ωCR\) [rad] になります。
記号法によるRC並列回路
交流を複素数で表す方法を「記号法」といいます。
RC並列回路では、抵抗 \(R\) と静電容量 \(C\) [F] のコンデンサに掛かる電圧が同じになりますので、電圧 \(\dot{E}\)を基準にします。
●直交座標表示
•抵抗 \(R\) を流れる電流 \(\dot{I_R}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と同相なので
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
•コンデンサ \(C\) を流れる電流 \(\dot{I_C}\) は電圧 \(\dot{E}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が進みます。
\(\dot{I_C}=j\cfrac{\dot{E}}{X_C}=\cfrac{\dot{E}}{-jX_C}\) [A]
\(J=\cfrac{-j×j}{-j}=\cfrac{1}{-j}\) になります。
\(j\) は虚数単位で、\(j=\sqrt{-1}\)
\(j\) を掛けることは、現在の位置から反時計方向に \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 回転させることを意味します。
•回路全体の電流 \(\dot{I}\) は、RL並列接続では各電流 \(\dot{I_R}\) と \(\dot{I_C}\) の和になりますから
\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}\)=\(\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{-jX_C}}}\right)\dot{E}\) [A]
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
\(\dot{I}=\left({\cfrac{1}{R}+jωC}\right)\dot{E}\) [A]
電圧 \(\dot{E}\) は
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+{\cfrac{1}{-jX_C}}}\) [V]
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\left({\cfrac{1}{R}+jωC}\right)}\) [V] になります。
極座標表示
\(\dot{I_R}=\cfrac{E}{R}\angle 0\) [A] (電圧 \(\dot{E}\) と同相)
\(\dot{I_L}=\cfrac{E}{X_C}\angle \cfrac{π}{2}\) [A] (電圧 \(\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 進み)
例題
●抵抗 \(R=6\) {Ω}、容量リアクタンス \(X_C=8\) [Ω] の並列回路の合成インピーダンスを求めよ。

解答
並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は
\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)
\(Z=\cfrac{6×8}{\sqrt{6^2+8^2}}\)
\(Z=\cfrac{48}{100}=4.8\) [Ω]
●抵抗 \(R=15\) {Ω}、容量リアクタンス \(X_C=20\) [Ω] の並列回路に、電圧 100 [V] を加えたときに回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。

解答
合成インピーダンス \(Z\) は
\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)
\(Z=\cfrac{15×20}{\sqrt{15^2+20^2}}\)
\(Z=\cfrac{300}{\sqrt{625}}\)
\(Z=\cfrac{300}{25}=12\) [Ω]
電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{12}\)\(≒8.3\) [A]
以上で「RC並列回路の概要」の説明を終わります。