RC並列回路の概要




RC並列回路の概要

RC並列回路とは、抵抗 \(R\) [Ω]と静電容量 \(C\) [F] のコンデンサを、並列に接続した回路のことをいいます。

RC並列回路の電圧と電流

上の図のようなRC並列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したときの特徴は次のようなものです。

  • 並列回路では、抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) に掛かる電圧 \(\dot{E}\) は同じになります。
  • 抵抗に流れる電流 \(\dot{I_R}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と同相になります。
  • コンデンサに流れる電流 \(\dot{I_C}\) は、電圧 \(\dot{E}\) に対して \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進みます。
RL並列回路では抵抗とコンデンサに対して、電圧が共通になります。

電流について
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]

\(\dot{I_C}=\cfrac{\dot{E}}{X_C}\) [A]

RC並列回路の全体の電流 \(\dot{I}\) は、各電流の「ベクトルの和」になります。

\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}\) [A]

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R}+\cfrac{\dot{E}}{X_C}\)

\(\dot{I}=\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{X_C}\right)×\dot{E}\) [A] になります。

この式から、インピーダンス \(\dot{Z}\) は
\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{I}}\)

\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{X_C}}\) [Ω] になります。

RC並列回路のベクトル図

抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) の並列接続では、回路の抵抗とコンデンサに掛かる電圧 \(\dot{E}\) が同じなので、電圧 \(\dot{E}\) を「基準」にして、各端子に流れる電流をベクトル図にすると、次のようになります。

RC並列回路では、各素子に掛かる電圧が同じになるので、電圧 \(\dot{E}\) を基準にすると、抵抗 \(R\) に流れる電流 \(\dot{I_R}\) は電圧 \(\dot{E}\) と同相になります。

また、コンデンサに流れる電流 \(\dot{I_C}\) は、電圧 \(\dot{E}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進みます。

位相 \(θ\) は、インピーダンスの種類と大きさによって変化します。

RC並列回路の各電流の大きさ


RC並列回路のベクトル図で、\(I_R・I_C・I\) は直角三角形ですから三平方の定理を用いると

\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_C}^2}\)

\(I=\sqrt{\left(\cfrac{E}{R}\right)^2+\left(\cfrac{E}{X_C}\right)^2}\)=\(\sqrt{E^2\left(\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}\right)}\)

\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}\) [A]

したがって、電圧 \(E\) の大きさは

\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}}\) [V]

また、\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) ですから

\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+(ωC)^2}}\) [V] になります。

RC並列回路のインピーダンスの大きさ

RC並列回路のオームの法則

RC並列回路の電圧 \(E\)、電流 \(I\)、インピーダンス \(Z\) の間には、オームの法則が成り立ちます。

RC並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、電圧 \(E\) と電流 \(I\) の比になりますから

\(E=ZI=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}}\) [V]

\(I=\cfrac{E}{Z}=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}\) [A]

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}}\) [Ω]

\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)=\(\cfrac{R・1/ωC}{\sqrt{R^2+{(1/ωC)}^2}}\) [Ω]  ただし、\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)

RC並列回路のインピーダンス角

上のインピーダンスの関係図からインピーダンス角は、次のように表されます。

\(\tan θ=\cfrac{I_C}{I_R}=\cfrac{R}{X_C}\)

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{R}{X_C}=\tan^{-1}ωCR\) [rad] になります。

記号法によるRC並列回路

交流を複素数で表す方法を「記号法」といいます。

RC並列回路では、抵抗 \(R\) と静電容量 \(C\) [F] のコンデンサに掛かる電圧が同じになりますので、電圧 \(\dot{E}\)を基準にします。

直交座標表示

●抵抗 \(R\) を流れる電流 \(\dot{I_R}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と同相なので

\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]

●コンデンサ \(C\) を流れる電流 \(\dot{I_C}\) は電圧 \(\dot{E}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が進みます。

\(\dot{I_C}=j\cfrac{\dot{E}}{X_C}=\cfrac{\dot{E}}{-jX_C}\) [A]

\(J=\cfrac{-j×j}{-j}=\cfrac{1}{-j}\) になります。

虚数単位
\(j\) は虚数単位で、\(j=\sqrt{-1}\)
\(j\) を掛けることは、現在の位置から反時計方向に \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 回転させることを意味します。

●回路全体の電流 \(\dot{I}\) は、RL並列接続では各電流 \(\dot{I_R}\) と \(\dot{I_C}\) の和になりますから

\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}\)=\(\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{-jX_C}}}\right)\dot{E}\) [A]

\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので

\(\dot{I}=\left({\cfrac{1}{R}+jωC}\right)\dot{E}\) [A]

電圧 \(\dot{E}\) は

\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+{\cfrac{1}{-jX_C}}}\) [V]

\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\left({\cfrac{1}{R}+jωC}\right)}\) [V] になります。

極座標表示

\(\dot{I_R}=\cfrac{E}{R}\angle 0\) [A]  (電圧 \(\dot{E}\) と同相)

\(\dot{I_L}=\cfrac{E}{X_C}\angle \cfrac{π}{2}\) [A]  (電圧 \(\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 進み)

例題

問題1
●抵抗 \(R=6\) {Ω}、容量リアクタンス \(X_C=8\) [Ω] の並列回路の合成インピーダンスを求めよ。

解答
並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)

\(Z=\cfrac{6×8}{\sqrt{6^2+8^2}}\)

\(Z=\cfrac{48}{100}=4.8\) [Ω]

問題2
●抵抗 \(R=15\) {Ω}、容量リアクタンス \(X_C=20\) [Ω] の並列回路に、電圧 100 [V] を加えたときに回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。

解答
合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)

\(Z=\cfrac{15×20}{\sqrt{15^2+20^2}}\)

\(Z=\cfrac{300}{\sqrt{625}}\)

\(Z=\cfrac{300}{25}=12\) [Ω]

電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{12}\)\(≒8.3\) [A]

以上で「RC並列回路の概要」の説明を終わります。




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