抵抗とコンデンサを並列に接続したRC並列回路について、電圧、電流、インピーダンスの関係について説明します。
RC並列回路とRL並列回路の考え方は、コンデンサとコイルの違いだけで基本的には同じです。
RC並列回路とは、抵抗 \(R\) と 静電容量 \(C\) のコンデンサを、並列に接続した回路のことをいいます。
■ RC並列回路の電圧
RC並列回路では、抵抗 \(R\) と コンデンサ \(C\) は並列に接続されているので、RとCにかかる電圧 \(E\) は 同じ電圧 になります。
■ RC並列回路
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) [Ω]
\(-jX_C=-j\cfrac{1}{ωC}=\cfrac{1}{jωC}\) [Ω]
\(\cfrac{1}{-jX_C}=\cfrac{ωC}{-j}=jωC\)
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
\(\dot{I_C}=\cfrac{\dot{E}}{-jX_C}=jωC\dot{E}\) [A]
\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+jωC\right)\) [A]
\(I=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+(ωC)^2}\) [A]
\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{-jX_C}}\) [Ω]
\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+jωC}\) [Ω]
\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+X_C^2}}\) [Ω] または
\(Z=\cfrac{R\cdot\cfrac{1}{ωC}}{\sqrt{R^2+{(\cfrac{1}{{ωC}})^2}}}\) [Ω]
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{-jX_C}}\)\(=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+jωC}\) [V]
\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+(ωC)^2}}\) [V]
RC並列回路の概要
図のようなRC並列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したとき、RC並列回路に流れる電流を \(\dot{I}\) 抵抗とコンデンサに流れる電流を \(\dot{I_R}、\dot{I_C}\) とします。
■ RC並列回路の電流
各素子に流れる電流と回路に流れる電流の関係は、次のようになります。
抵抗 \(R\) に流れる電流 \(\dot{I_R}\) は
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
コンデンサ \(C\) に流れる電流 \(\dot{I_C}\) は
\(\dot{I_C}=\cfrac{\dot{E}}{-jX_C}\) [A]
\(\cfrac{1}{-jX_C}=jωC\) なので
\(\dot{I_C}=jωC\dot{E}\) [A]
回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}\)
\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{-jX_C}\right)\) [A]
\(\dot{I}=\dot{E}\left(\cfrac{1}{R}+jωC\right)\) [A] になります。
回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は、各端子に流れる電流の ベクトルの和 になります。
■ RC並列回路のベクトル関係
抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) の並列回路では、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は電源電圧に対して進み電流になります。
• 電圧を基準としてベクトルを描く
- 電源電圧を基準として描きます。
- 抵抗に流れる電流 \(I_R\) を電源電圧と同相に描きます。
- コンデンサに流れる電流 \(I_C\) を電源電圧より \(\cfrac{\pi}{2}\) 進めて描きます。
- \(I_R\) と \(I_C\) のベクトル和が回路に流れる電流 \(I\) になります。
■ RC並列回路の各電流の大きさ
RC並列回路のベクトル図で、\(I_R・I_C・I\) は直角三角形ですから三平方の定理を用いると
\(I^2={I_R}^2+{I_C}^2\)
\(I=\sqrt{{I_R}^2+{I_C}^2}\)
\(I=\sqrt{\left(\cfrac{E}{R}\right)^2+\left(\cfrac{E}{X_C}\right)^2}\)\(=\sqrt{E^2\left(\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}\right)}\)
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
電源電圧 \(E\) の大きさは
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
RC並列回路のインピーダンスの大きさ
■ RC並列回路のオームの法則
RC並列回路の電圧 \(E\) 電流 \(I\) インピーダンス \(Z\) の間には、オームの法則が成り立ちます。
RC並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は、電圧 \(E\) と 電流 \(I\) の比になりますから
\(E=ZI=\cfrac{I}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}}\)
\(I=\cfrac{E}{Z}\)\(=E\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}\)
\(Z=\cfrac{E}{I}\)\(=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{{X_C}^2}}}\)
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
■ RC並列回路のインピーダンス角
上のインピーダンスの関係図からインピーダンス角は、次のように表されます。
\(\tan θ=\cfrac{I_C}{I_R}=\cfrac{R}{X_C}\)
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{R}{X_C}=\tan^{-1}ωCR\) [rad] になります。
記号法によるRC並列回路
交流を複素数で表す方法を 記号法 といいます。
次の回路は記号法によるRC並列回路です。
■ 直交座標表示
抵抗 \(R\) を流れる電流 \(\dot{I_R}\) は、電圧 \(\dot{E}\) と同相なので
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A]
コンデンサ \(C\) を流れる電流 \(\dot{I_C}\) は電圧 \(\dot{E}\) より、\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 位相が進みます。
\(\dot{I_C}=\cfrac{\dot{E}}{-jX_C}=j\cfrac{\dot{E}}{X_C}\) [A]
■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所
- 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
- \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか
■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)（オメガ）の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。
これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。
- \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
- \(-j\) は時計方向に90°移動します。
たとえば、容量性リアクタンス \(\cfrac{1}{ωC}=X_C\) の \(ω\) の前に \(j\) を付けます。
\(\cfrac{1}{jωC}=\cfrac{1}{j}×X_C=\cfrac{j}{j}×\cfrac{1}{j}×X_C=-jX_C\) であることがわかります。
回路全体の電流 \(\dot{I}\) は、RC並列接続では各電流 \(\dot{I_R}\) と \(\dot{I_C}\) の和になりますから
\(\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}\)\(=\left({\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{{-jX_C}}}\right)\dot{E}\) [A]
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
\(\dot{I}=\left({\cfrac{1}{R}+jωC}\right)\dot{E}\) [A]
電圧 \(\dot{E}\) は
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\cfrac{1}{R}+{\cfrac{1}{-jX_C}}}\)
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) なので
\(\dot{E}=\cfrac{\dot{I}}{\left({\cfrac{1}{R}+ｊωC}\right)}\) [V] になります。
■ 極座標表示
\(\dot{I_R}=\cfrac{\dot{E}}{R}\angle 0\) [A] (電圧 \(\dot{E}\) と同相)
\(\dot{I_C}=\cfrac{\dot{E}}{X_C}\angle \cfrac{π}{2}\) [A] (電圧 \(\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 進み)
\(\dot{I}\angle +θ（シータ）\) [A]
並列回路の力率について
並列回路の力率はインピーダンスで求めるときに
\(\cosθ=\cfrac{I_R}{I}=\cfrac{Z}{R}\) になりますので注意が必要です。
直列回路のときは
\(\cosθ=\cfrac{R}{Z}\) になります。
練習問題
問題１
抵抗 \(R=6\) {Ω}、容量リアクタンス \(X_C=8\) [Ω] の並列回路の合成インピーダンスを求めよ。
＜解 答＞
並列回路の合成インピーダンス \(Z\) は
\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)
\(Z=\cfrac{6×8}{\sqrt{6^2+8^2}}\)
\(Z=\cfrac{48}{100}=4.8\quad\rm[Ω]\)
問題２
抵抗 \(R=15\) {Ω}、容量リアクタンス \(X_C=20\) [Ω] の並列回路に、電圧 100 [V] を加えたときに回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。
＜解 答＞
合成インピーダンス \(Z\) は
\(Z=\cfrac{RX_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}\)
\(Z=\cfrac{15×20}{\sqrt{15^2+20^2}}\)
\(Z=\cfrac{300}{\sqrt{625}}\)
\(Z=\cfrac{300}{25}=12\quad\rm[Ω]\)
電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{12}\)\(≒8.3\quad\rm[A]\)
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以上で「RC並列回路の概要」の説明を終わります。