抵抗・コイル・コンデンサを直列に接続した「RLC直列回路」の電圧、電流、インピーダンスの関係を説明します。
RLC直列回路は、コイルとコンデンサが、反対の性質を持つので回路の解析が複雑になります。
RLC直列回路の説明
RLC直列回路とは
次の図のように抵抗 R と コイル L と 静電容量 C のコンデンサを直列に接続した回路のことです。
RLC直列回路の電流
RLC直列回路では、抵抗 \(R\) と コイル \(L\) と コンデンサ \(C\) は直列に接続されているので、RLC直列回路に流れる電流 \(I\) は 同じ大きさの電流 になります。
各素子にかかる電圧の大きさ
\(V_R=RI\) [V] （抵抗にかかる電圧）
\(V_L=X_LI=ωLI\) [V] （コイルにかかる電圧）
\(V_C=X_CI=\cfrac{I}{ωC}\) [V] （コンデンサにかかる電圧）
RLC直列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したとき
RLC直列回路に流れる電流を \(\dot{I}\) 抵抗、コイル、コンデンサの端子電圧を \(\dot{V_R}\) \(\dot{V_L}\) \(\dot{V_C}\) とします。
電源電圧 \(\dot{E}\) は、直列接続なので、各端子電圧の ベクトルの和 になります。
抵抗にかかる電圧
電流を基準に描きます。
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) は電流 \(\dot{I}\) と 同相 になります。
コイルにかかる電圧
\(\dot{V_L}=X_L\dot{I}\) は電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{\pi}{2}\) 位相が 進み になります。
コンデンサにかかる電圧
\(\dot{V_C}=X_C\dot{I}\) は電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{\pi}{2}\) 位相が 遅れ になります。
回路にかかる全電圧
回路にかかる全電圧は \(\dot{E}\) は直列接続なので、各素子にかかる電圧の ベクトルの和 になります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\) [V]
■ RLC直列回路のリアクタンスの組み合わせ
誘導性リアクタンス \(X_L\) と容量性リアクタンス \(X_C\) の大きさにより、次の三つの組み合わせができます。
- \(X_L>X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＞容量性リアクタンス
- \(X_L<X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＜容量性リアクタンス
- \(X_L=X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＝容量性リアクタンス
③ の場合を、「共振状態」 といいます。
XL＞XC のときのRLC直列回路
\(X_L＞X_C\) のときの、RLC直列回路について説明します。
\(X_L＞X_C\) のときのRLC直列回路のベクトル
抵抗 \(R\) にかかる電圧 \(\dot{V_R}\) は、電流 \(\dot{I}\) と同相になります。
コイル \(L\) にかかる電圧 \(\dot{V_L}\) は、電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{\pi}{2}\) 進みます。
コンデンサ \(C\) にかかる電圧 \(\dot{V_C}\) は、電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{\pi}{2}\) 遅れます。
\(X_L＞X_C\) なので \(\dot{V_L}＞\dot{V_L}\) になり、コイルにかかる電圧のほうがコンデンサにかかる電圧より高くなります。
合成リアクタンス \(X\) は \(X_L＞X_C\) ですから \(X=X_L-X_C\) になり誘導性リアクタンスになります。
\(X_L＞X_C\) のときの電圧の合成ベクトル
RLC直列回路のベクトル関係は次のようになります。
リアクタンスの電圧を合成した \(\dot{V_X}\) は
\(\dot{V_X}=\dot{V_L}+\dot{V_C}=X_L\dot{I}+X_C\dot{I}\)
\(\dot{V_X}=\dot{I}(ωL+\cfrac{1}{ωC})\) [V]
また、\(V_X\) の大きさは
\(V_X=V_L-V_C=I(X_L-X_C)\) [V] になります。
全電圧\(\dot{E}\)は \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_X}\) の合成になります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\) [V]
全電圧 \(E\) の大きさは、三平方の定理から
\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_X}^2}=\sqrt{{V_R}^2+({V_L}-{V_C})^2}\)
\(E=I\sqrt{R^2+\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)^2}\) [V]
\(X_L＞X_C\) のときの合成インピーダンス
合成インピーダンス \(Z\) は
\(E=I\sqrt{R^2+\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)^2}\) [V] の式より
\(Z=\cfrac{E}{I}\)
\(Z=\sqrt{R^2+\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)^2}\) [Ω] になります。
\(X_L＞X_C\) のときのインピーダンス角 θ
インピーダンス角 θ の大きさは
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{X_L-X_C}{R}\) [rad]
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{ωL-\cfrac{1}{ωC}}{R}\) [rad]
極座標表示
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\angle 0\) [V] (電流 \(\dot{I}\) と同相)
\(\dot{V_L}=X_L\dot{I}\angle \cfrac{π}{2}\) [V] (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 進み)
\(\dot{V_C}=X_C\dot{I}\angle -\cfrac{π}{2}\) [V] (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 遅れ)
\(\dot{E}\angle+θ（シータ）\) [V]
XL＜XC のときのRLC直列回路
\(X_L＜X_C\) のときの、RLC直列回路について説明します。
\(X_L＜X_C\) のときのRLC直列回路のベクトル
抵抗 \(R\) にかかる電圧 \(\dot{V_R}\) は、電流 \(\dot{I}\) と同相になります。
コイル \(L\) にかかる電圧 \(\dot{V_L}\) は、電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{\pi}{2}\) 進みます。
コンデンサ \(C\) にかかる電圧 \(\dot{V_C}\) は、電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{\pi}{2}\) 遅れます。
\(X_L＜X_C\) なので \(\dot{V_L}＜\dot{V_L}\) になり、コンデンサにかかる電圧のほうがコイルにかかる電圧より高くなります。
合成リアクタンス \(X\) は \(X_L＜X_C\) ですから \(X=X_C-X_L\) になり容量性リアクタンスになります。
\(X_L＜X_C\) のときの電圧の合成ベクトル
RLC直列回路のベクトル関係は次のようになります。
リアクタンスの電圧を合成した \(\dot{V_X}\) は
\(\dot{V_X}=\dot{V_C}+\dot{V_L}=X_C\dot{I}+X_L\dot{I}\)
\(\dot{V_X}=\dot{I}\left(\cfrac{1}{ωC}+ωL\right) \) [V]
また、\(V_X\) の大きさは
\(V_X=V_C-V_L=I(X_C-X_L)\) [V] になります。
全電圧\(\dot{E}\)は \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_X}\) の合成になります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\) [V]
全電圧 \(E\) の大きさは、三平方の定理から
\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_X}^2}=\sqrt{{V_R}^2+({V_C}-{V_L})^2}\)
\(E=I\sqrt{R^2+\left(\cfrac{1}{ωC}-ωL\right)^2}\) [V]
\(X_L＜X_C\) のときの合成インピーダンス
合成インピーダンス \(Z\) は
\(E=I\sqrt{R^2+\left(\cfrac{1}{ωC}-ωL\right)^2}\) [V] の式より
\(Z=\cfrac{E}{I}\)
\(Z=\sqrt{R^2+\left(\cfrac{1}{ωC}-ωL\right)^2}\) [Ω] になります。
\(X_L＜X_C\) のときのインピーダンス角 θ
インピーダンス角 θ の大きさは
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-(X_C-X_L)}{R}\) [rad]
極座標表示
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\angle 0\) [V] (電流 \(\dot{I}\) と同相)
\(\dot{V_L}=X_L\dot{I}\angle \cfrac{π}{2}\) [V] (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 進み)
\(\dot{V_C}=X_C\dot{I}\angle -\cfrac{π}{2}\) [V] (電流 \(\dot{I}\) より \(\cfrac{π}{2}\) 遅れ)
\(\dot{E}\angle-θ（シータ）\) [V]
RLC直列回路の記号法による表示
RLC直列回路を記号法で描くと次のようになります。
\(X_L＞X_C\) のときのベクトル図
\(X_L＜X_C\) のときのベクトル図
■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所
- 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
- \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか
■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)（オメガ）の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。
これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。
- \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
- \(-j\) は時計方向に90°移動します。
たとえば、容量性リアクタンス \(\cfrac{1}{ωC}=X_C\) の \(ω\) の前に \(j\) を付けます。
\(\cfrac{1}{jωC}=\cfrac{1}{j}×X_C=\cfrac{j}{j}×\cfrac{1}{j}×X_C=-jX_C\) であることがわかります。
記号法によるRLC直列回路の各値の表示
RLC直列回路の各値を記号法により、表示すると次のようになります。
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]
\(\dot{V_L}=jX_L\dot{I}=jωL\dot{I}\) [V]
\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}=-j\cfrac{\dot{I}}{ωC}\)\(=\cfrac{\dot{I}}{jωC}\) [V]
回路全体の電圧 \(\dot{E}\) は
RLC直列回路では各端子電圧 \(\dot{V_R}\) と \(\dot{V_L}\) と \(\dot{V_C}\) の和になりますから
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\) [V]
\(\dot{E}=\{R+j(X_L-X_C)\}\dot{I}\) [V]
\(\dot{E}=\{R+j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)\}\dot{I}\) [V]
したがって、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R+j(X_L-X_C)}\) [A]
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R+j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)}\) [A] になります。
合成インピーダンスの値
合成インピーダンス \(Z\) は
\(\dot{E}=\{R+j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)\}\dot{I}\) [V] より
\(Z=\cfrac{E}{I}=R+j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)\) [Ω]
\(X_L＞X_C\) のとき
\(j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)\) の値は正（プラス）になり、誘導性リアクタンスになります。
\(X_L＜X_C\) のとき
\(j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)\) の値は負（マイナス）になり、容量性リアクタンスになります。
記号法による計算
記号法で計算する場合は、誘導性、容量性のどちらのリアクタンスが大きくても、計算式は同じになります。
誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが等しいとき
\(X_L=X_C\) のときは \(V_L\) と \(V_C\) が打ち消し合って、リアクタンスの成分はゼロになります。
\(Z=\cfrac{E}{I}=R+j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)\) [Ω]
上の式の
\(j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)\) がゼロになるので
\(Z=R\) [Ω] になります。
したがって、抵抗分だけになり コイルとコンデンサは短絡した状態になります。
このような状態を共振と呼びます。
RLC直列回路の公式
RLC直列回路の公式
ベクトル
\(X_L=ωL\) [Ω]
\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\) [Ω]
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]
\(\dot{V_L}=X_L\dot{I}=ωL\dot{I}\) [V]
\(\dot{V_C}=X_C\dot{I}=\cfrac{\dot{I}}{ωC}\) [V]
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\) [V]
記号法
\(jX_L=jωL\) [Ω]
\(-jX_C=\cfrac{1}{jωC}\) [Ω]
\(\dot{V_L}=jX_L\dot{I}=jωL\dot{I}\) [V]
\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}=\cfrac{\dot{I}}{jωC}\) [V]
\(\dot{E}=(R+jX)\dot{I}\) [V]
\(\dot{E}=\{R+j(X_L-X_C)\}\dot{I}\) [V]
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R+jX}=\cfrac{\dot{E}}{R+j(X_L-X_C)}\) [A]
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R+j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)}\) [A]
\(\dot{Z}=R+jX=R+j\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)\) [Ω]
大きさ
\(E=\sqrt{{V_R}^2+{V_X}^2}\) [V]
\(E=\sqrt{{V_R}^2+(V_L-V_C)^2}\) [V]
\(I=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+{X}^2}}=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)^2}}\) [A]
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\) [Ω]
\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\) [Ω]
\(Z=\sqrt{R^2+\left(ωL-\cfrac{1}{ωC}\right)^2}\) [Ω]
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{ωL-\cfrac{1}{ωC}}{R}\) [rad]
練習問題
問題１
抵抗 \(R=16\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=20\) [Ω]
容量リアクタンス \(X_C=8\) [Ω] の直列回路に
\(100\) [V] の交流電圧を加えたとき、回路に流れる電流の大きさを求めよ。
＜解答例＞
RLC直列回路の説明
この問題は、電流の大きさを問題にしています。
合成インピーダンス \(Z\) は次の式から求められます。
\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)
\(\quad=\sqrt{16^2+(20-8)^2}\)
\(\quad=\sqrt{400}=20\) [Ω]
電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{20}\)
\(I=5\) [A] になります。
問題２
抵抗 \(R=8\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=6\) [Ω] の
直列回路の合成インピーダンス \(\dot{Z}=8+j6\) [Ω] に
\(\dot{E}=100\) [V] の交流電圧を加えたとき
回路に流れる電流 \(\dot{I}\) および絶対値 \(I\) の大きさを求めよ。
＜解答例＞
電流 \(\dot{I}\) は、オームの法則から
\(\dot{I}\)\(=\cfrac{\dot{E}}{\dot{Z}}\)\(=\cfrac{100}{8+j6}\)
\(\quad\)\(=\cfrac{100(8-j6)}{(8+j6)(8-j6)}\)
\(\quad\)\(=\cfrac{100(8-j6)}{8^2+6^2}\)
\(\dot{I}=8-j6\) [A]
電流 \(I\) の絶対値は
\(I=\sqrt{8^2+6^2}=10\) [A] になります。
以上で「RLC直列回路の説明」の説明を終わります。