RLC直列回路の説明

抵抗とコイルとコンデンサを直列に接続したRLC直列回路について、電圧、電流、インピーダンスの関係について説明します。

RLC直列回路はコイルとコンデンサがある意味、反対の性質を持つので回路の解析が複雑になります。

RLC直列回路とは、次の図のように抵抗 R と 自己インダクタンス L のコイル と 静電容量 C のコンデンサを直列に接続した回路のことです。

RLC直列回路の説明

図のようなRLC直列回路に交流電源  \(E\) を接続したとき、RLC直列回路に流れる電流を \(I\) とします。

■ RLC直列回路の電圧

抵抗、コイル、コンデンサの各端子電圧の和は、電源電圧と等しくなります。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(V_L\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(V_C\) とした場合

\(V_R=RI\quad\rm[V]\)

\(V_L=X_LI=ωLI\quad\rm[V]\)

\(V_C=X_CI\)\(=\cfrac{I}{ωC}\quad\rm[V]\)   (\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)) となります。

電源電圧を \(E\) とすると

\(E=V_R+V_L+V_C\quad\rm[V]\)

\(E\)\(=V_R+V_L+V_C\)\(=RI+X_LI+X_CI\)\(=(R+X_L+X_C)I\quad\rm[V]\) なので

\(E\)\(=(R+ωL+\cfrac{1}{ωC})I\quad\rm[V]\) になります。

■ RLC直列回路のベクトル関係

抵抗 \(R\) 、コイル \(L\) 、コンデンサ \(C\) の直列接続では、回路に流れる電流 \(I\) が 同じ大きさ になります。

したがって、電流 \(I\) を 基準 にして、それぞれの端子電圧をベクトル図にすると、次のようになります。

■ RLC直列回路の場合
誘導性リアクタンス \(X_L\) と容量性リアクタンス \(X_C\) の大きさにより、次の三つの組み合わせができます。

  1. \(X_L>X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス>容量性リアクタンス
  2. \(X_L<X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス<容量性リアクタンス
  3. \(X_L=X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス=容量性リアクタンス

③ の場合を、「共振状態」 といいます。

\(X_L>X_C\) の場合のRLC直列回路

\(X_L>X_C\) の場合の、RLC直列回路について説明します。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) は電流 \(I\) と同相になります。

コイルの端子電圧 \(V_L\) は電流 \(I\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

コンデンサの端子電圧 \(V_C\) は 電流 \(I\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。

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抵抗は直流回路でも交流回路でも、電圧と電流の位相は同相になり位相がずれることはありません。 しかし、コイルとコンデンサの場合は交流回路では、電圧と電流の間に位相差がでてきます。 電圧と電流に位相差があるとき、電圧を基準にするか電[…]

ベクトル図は、次のようになります。

図において、\(X_L>X_C\) ですから

\(V_L\) の大きさから \(V_C\) の大きさを引くと

\(V_X\) のベクトルが求められます。

合成した ベクトル 表示の \(\dot{V_X}\) は

\(\dot{V_X}=\dot{V_L}+\dot{V_C}\) になります。

\(V_X\) の 大きさ は

\(V_X=V_L-V_C\) で求められます。

■ RLC直列回路ベクトルの合成

\(\dot{E}\) のベクトル合成は、次のようになります。

\(\dot{E}\)\(=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\)

大きさは

\(E=\sqrt{{V_R}^2+(V_L-V_C)^2}\) になります。

■ \(X_L>X_C\)の場合の合成インピーダンス

■ 電圧 \(E\) の大きさ

\(X_L>X_C\) のベクトル図からわかるように、直角三角形になります。

したがって、三平方の定理から電圧 \(E\) の大きさは

\(E=\sqrt{{V_R}^2+({V_L}-{V_C})^2}\)\(=\sqrt{(RI)^2+(X_LI-X_CI)^2}\)

\(I\) を平方根の外に出すと

\(E=ZI=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}I\quad\rm[V]\)

電流 \(I\) の大きさは、電圧の式から

\(I=\cfrac{E}{Z}\)\(=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}}\quad\rm[A]\)

インピーダンス \(Z\) の大きさは

\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\quad\rm[Ω]\)

リアクタンスは

\(X_L>X_C\) の場合は、合成リアクタンスは \(X_L\) が残るので 誘導性リアクタンス になります。

インピーダンス角 \(θ\) の大きさは

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{X_L-X_C}{R}\quad\rm[rad]\)
電流 \(I\) は電圧 \(E\) に対して遅れ電流になります。

記号法による表示法

■ \(X_L>X_C\) の場合

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(V_L\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(V_C\) を記号法で表示すると

\(V_R=RI\quad\rm[V]\)

\(V_L=jX_LI\)\(=jωLI\quad\rm[V]\)

\(V_C=-jX_CI\)\(=-j\cfrac{1}{ωC}I\quad\rm[V]\)

回路の電源電圧 \(E\) は、各端子電圧の和になります。

\(E=V_R+V_L+V_C\quad\rm[V]\)

\(E\)\(=RI+jX_LI-jX_CI\)\(={R+j(X_L-X_C)}I\quad\rm[V]\)

\(E\)\(={R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})}I\)\(=ZI\quad\rm[V]\)

合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\cfrac{E}{I}\) から

\(Z=R+j(X_L-X_C)\)\(=R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})\quad\rm[Ω]\)

■ インピーダンスベクトル図

記号法で表示したインピーダンスベクトル図は、次のようになります。

\(X_L<X_C\)の場合のRLC直列回路

次に、\(X_L<X_C\) の場合の、RLC直列回路について説明します。

■ \(X_L<X_C\) の場合と \(X_L>X_C\) の場合の違い
\(X_L<X_C\) の場合、\(V_L\) より \(V_C\) の方が大きいということです。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) は 電流 \(I\) と同相になります。

コイルの端子電圧 \(V_L\) は電流 \(I\)  より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

コンデンサの端子電圧 \(V_C\) は電流 \(I\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。

ベクトル図は、次のようになります。

合成した ベクトル 表示の \(\dot{V_X}\) は

\(\dot{V_X}=\dot{V_L}+\dot{V_C}\) になります。

\(V_X\) の 大きさ は

\(V_X=V_C-V_L\) で求められます。

■ ベクトルの合成

\(\dot{E}\) のベクトル合成は、次のようになります。

\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\)

大きさは

\(E=\sqrt{{V_R}^2+(V_C-V_L)^2}\) になります。

■ \(X_L<X_C\)の場合の合成インピーダンス

電圧 \(E\) の大きさは

\(X_L<X_C\) のベクトル図からわかるように、直角三角形になります。

したがって、三平方の定理から電圧 \(E\) の大きさは

\(E=\sqrt{{V_R}^2+({V_C}-{V_L})^2}\)\(=\sqrt{(RI)^2+(X_CI-X_LI)^2}\)

\(I\) を平方根の外に出すと

\(E=ZI=\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}I\quad\rm[V]\)

電流 \(I\) の大きさは、電圧の式から

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}}\quad\rm[A]\)

インピーダンス \(Z\) の大きさは

\(Z=\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}\quad\rm[Ω]\)

リアクタンスは

\(X_L<X_C\) の場合は、合成リアクタンスは \(X_C\) が残るので 容量性リアクタンス になります。

インピーダンス角 \(θ\) の大きさは

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-(X_C-X_L)}{R}\quad\rm[rad]\)

■ 容量性リアクタンスが大きいとき
電流 \(I\) は電圧 \(E\) に対して進み電流になります。

記号法による表示法

■ 記号法による計算
記号法で計算する場合は、誘導性、容量性のどちらのリアクタンスが大きくても、計算式は同じになります。(大きさと方向を含むため)

■ \(X_L<X_C\) の場合

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(V_L\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(V_C\) を記号法で表示すると

\(V_R=RI\quad\rm[V]\)

\(V_L=jX_LI\)\(=jωLI\quad\rm[V]\)

\(V_C=-jX_CI=-j\cfrac{1}{ωC}\quad\rm[V]\)

回路の電源電圧 \(E\) は、各端子電圧の和になります。

\(E=V_R+V_L+V_C\quad\rm[V]\)

\(E=RI+jX_LI-jX_CI\)\(={R+j(X_L-X_C)}I\quad\rm[V]\)

\(E\)\(={R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})}I\)\(=ZI\quad\rm[V]\)

合成インピーダンス \(Z\) は

\(Z=\cfrac{E}{I}\) から

\(Z=R+j(X_L-X_C)\)\(=R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})\quad\rm[Ω]\)

■ インピーダンスベクトル図

記号法で表示したインピーダンスベクトル図は、次のようになります。

練習問題

 

問題1

抵抗 \(R=16\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=20\) [Ω]、容量リアクタンス \(X_C=8\) [Ω] の直列回路に、\(100\) [V] の交流電圧を加えたとき、回路に流れる電流の大きさを求めよ。

<解 答>

この問題は、電流の大きさを問題にしています。

●合成インピーダンス \(Z\) は次の式から求められます。

\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

\(\quad=\sqrt{16^2+(20-8)^2}\)

\(\quad=\sqrt{400}=20\) [Ω]

●電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{20}\)

\(I=5\quad\rm[A]\) になります。

問題2

抵抗 \(R=8\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=6\) [Ω] の直列回路の合成インピーダンス \(\dot{Z}=8+j6\) [Ω] に \(\dot{E}=100\) [V] の交流電圧を加えたとき、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) および絶対値 \(I\) の大きさを求めよ。

<解 答>

●電流 \(\dot{I}\) は、オームの法則から

\(\dot{I}\)\(=\cfrac{\dot{E}}{\dot{Z}}\)\(=\cfrac{100}{8+j6}\)

\(\quad\)\(=\cfrac{100(8-j6)}{(8+j6)(8-j6)}\)

\(\quad\)\(=\cfrac{100(8-j6)}{8^2+6^2}\)

\(\dot{I}=8-j6\quad\rm[A]\)

●電流 \(I\) の絶対値は
\(I=\sqrt{8^2+6^2}=10\quad\rm[A]\) になります。

以上で「RLC直列回路の説明」を終わります。