抵抗とコイルとコンデンサを直列に接続したRLC直列回路について、電圧、電流、インピーダンスの関係について説明します。
RLC直列回路はコイルとコンデンサがある意味、反対の性質を持つので回路の解析が複雑になります。
RLC直列回路とは、次の図のように抵抗 R と 自己インダクタンス L のコイル と 静電容量 C のコンデンサを直列に接続した回路のことです。
RLC直列回路の説明
図のようなRLC直列回路に交流電源 \(E\) を接続したとき、RLC直列回路に流れる電流を \(I\) とします。
■ RLC直列回路の電圧
抵抗、コイル、コンデンサの各端子電圧の和は、電源電圧と等しくなります。
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(V_L\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(V_C\) とした場合
\(V_R=RI\quad\rm[V]\)
\(V_L=X_LI=ωLI\quad\rm[V]\)
\(V_C=X_CI\)\(=\cfrac{I}{ωC}\quad\rm[V]\) (\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)) となります。
電源電圧を \(E\) とすると
\(E=V_R+V_L+V_C\quad\rm[V]\)
\(E\)\(=V_R+V_L+V_C\)\(=RI+X_LI+X_CI\)\(=(R+X_L+X_C)I\quad\rm[V]\) なので
\(E\)\(=(R+ωL+\cfrac{1}{ωC})I\quad\rm[V]\) になります。
■ RLC直列回路のベクトル関係
抵抗 \(R\) 、コイル \(L\) 、コンデンサ \(C\) の直列接続では、回路に流れる電流 \(I\) が 同じ大きさ になります。
したがって、電流 \(I\) を 基準 にして、それぞれの端子電圧をベクトル図にすると、次のようになります。
■ RLC直列回路の場合
誘導性リアクタンス \(X_L\) と容量性リアクタンス \(X_C\) の大きさにより、次の三つの組み合わせができます。
- \(X_L>X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＞容量性リアクタンス
- \(X_L<X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＜容量性リアクタンス
- \(X_L=X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＝容量性リアクタンス
③ の場合を、「共振状態」 といいます。
\(X_L>X_C\) の場合のRLC直列回路
\(X_L>X_C\) の場合の、RLC直列回路について説明します。
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) は電流 \(I\) と同相になります。
コイルの端子電圧 \(V_L\) は電流 \(I\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。
コンデンサの端子電圧 \(V_C\) は 電流 \(I\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。
抵抗は直流回路でも交流回路でも、電圧と電流の位相は同相になり位相がずれることはありません。 しかし、コイルとコンデンサの場合は交流回路では、電圧と電流の間に位相差がでてきます。 電圧と電流に位相差があるとき、電圧を基準にするか電[…]
ベクトル図は、次のようになります。
図において、\(X_L>X_C\) ですから
\(V_L\) の大きさから \(V_C\) の大きさを引くと
\(V_X\) のベクトルが求められます。
合成した ベクトル 表示の \(\dot{V_X}\) は
\(V_X\) の 大きさ は
■ RLC直列回路ベクトルの合成
\(\dot{E}\) のベクトル合成は、次のようになります。
\(\dot{E}\)\(=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\)
大きさは
■ \(X_L>X_C\)の場合の合成インピーダンス
■ 電圧 \(E\) の大きさ
\(X_L>X_C\) のベクトル図からわかるように、直角三角形になります。
したがって、三平方の定理から電圧 \(E\) の大きさは
\(E=\sqrt{{V_R}^2+({V_L}-{V_C})^2}\)\(=\sqrt{(RI)^2+(X_LI-X_CI)^2}\)
\(I\) を平方根の外に出すと
電流 \(I\) の大きさは、電圧の式から
インピーダンス \(Z\) の大きさは
リアクタンスは
\(X_L>X_C\) の場合は、合成リアクタンスは \(X_L\) が残るので 誘導性リアクタンス になります。
インピーダンス角 \(θ\) の大きさは
記号法による表示法
■ \(X_L>X_C\) の場合
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(V_L\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(V_C\) を記号法で表示すると
\(V_R=RI\quad\rm[V]\)
\(V_L=jX_LI\)\(=jωLI\quad\rm[V]\)
\(V_C=-jX_CI\)\(=-j\cfrac{1}{ωC}I\quad\rm[V]\)
回路の電源電圧 \(E\) は、各端子電圧の和になります。
\(E=V_R+V_L+V_C\quad\rm[V]\)
\(E\)\(=RI+jX_LI-jX_CI\)\(={R+j(X_L-X_C)}I\quad\rm[V]\)
\(E\)\(={R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})}I\)\(=ZI\quad\rm[V]\)
合成インピーダンス \(Z\) は
\(Z=\cfrac{E}{I}\) から
■ インピーダンスベクトル図
記号法で表示したインピーダンスベクトル図は、次のようになります。
\(X_L<X_C\)の場合のRLC直列回路
次に、\(X_L<X_C\) の場合の、RLC直列回路について説明します。
\(X_L<X_C\) の場合、\(V_L\) より \(V_C\) の方が大きいということです。
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) は 電流 \(I\) と同相になります。
コイルの端子電圧 \(V_L\) は電流 \(I\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。
コンデンサの端子電圧 \(V_C\) は電流 \(I\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。
ベクトル図は、次のようになります。
合成した ベクトル 表示の \(\dot{V_X}\) は
\(\dot{V_X}=\dot{V_L}+\dot{V_C}\) になります。
\(V_X\) の 大きさ は
\(V_X=V_C-V_L\) で求められます。
■ ベクトルの合成
\(\dot{E}\) のベクトル合成は、次のようになります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\)
大きさは
\(E=\sqrt{{V_R}^2+(V_C-V_L)^2}\) になります。
■ \(X_L<X_C\)の場合の合成インピーダンス
電圧 \(E\) の大きさは
\(X_L<X_C\) のベクトル図からわかるように、直角三角形になります。
したがって、三平方の定理から電圧 \(E\) の大きさは
\(E=\sqrt{{V_R}^2+({V_C}-{V_L})^2}\)\(=\sqrt{(RI)^2+(X_CI-X_LI)^2}\)
\(I\) を平方根の外に出すと
\(E=ZI=\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}I\quad\rm[V]\)
電流 \(I\) の大きさは、電圧の式から
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}}\quad\rm[A]\)
インピーダンス \(Z\) の大きさは
\(Z=\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}\quad\rm[Ω]\)
リアクタンスは
\(X_L<X_C\) の場合は、合成リアクタンスは \(X_C\) が残るので 容量性リアクタンス になります。
インピーダンス角 \(θ\) の大きさは
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-(X_C-X_L)}{R}\quad\rm[rad]\)
電流 \(I\) は電圧 \(E\) に対して進み電流になります。
記号法による表示法
記号法で計算する場合は、誘導性、容量性のどちらのリアクタンスが大きくても、計算式は同じになります。（大きさと方向を含むため）
■ \(X_L<X_C\) の場合
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(V_R\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(V_L\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(V_C\) を記号法で表示すると
\(V_R=RI\quad\rm[V]\)
\(V_L=jX_LI\)\(=jωLI\quad\rm[V]\)
\(V_C=-jX_CI=-j\cfrac{1}{ωC}\quad\rm[V]\)
回路の電源電圧 \(E\) は、各端子電圧の和になります。
\(E=V_R+V_L+V_C\quad\rm[V]\)
\(E=RI+jX_LI-jX_CI\)\(={R+j(X_L-X_C)}I\quad\rm[V]\)
\(E\)\(={R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})}I\)\(=ZI\quad\rm[V]\)
合成インピーダンス \(Z\) は
\(Z=\cfrac{E}{I}\) から
■ インピーダンスベクトル図
記号法で表示したインピーダンスベクトル図は、次のようになります。
練習問題
問題１
抵抗 \(R=16\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=20\) [Ω]、容量リアクタンス \(X_C=8\) [Ω] の直列回路に、\(100\) [V] の交流電圧を加えたとき、回路に流れる電流の大きさを求めよ。
＜解 答＞
この問題は、電流の大きさを問題にしています。
●合成インピーダンス \(Z\) は次の式から求められます。
\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)
\(\quad=\sqrt{16^2+(20-8)^2}\)
\(\quad=\sqrt{400}=20\) [Ω]
●電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{20}\)
\(I=5\quad\rm[A]\) になります。
問題２
抵抗 \(R=8\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=6\) [Ω] の直列回路の合成インピーダンス \(\dot{Z}=8+j6\) [Ω] に \(\dot{E}=100\) [V] の交流電圧を加えたとき、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) および絶対値 \(I\) の大きさを求めよ。
＜解 答＞
●電流 \(\dot{I}\) は、オームの法則から
\(\dot{I}\)\(=\cfrac{\dot{E}}{\dot{Z}}\)\(=\cfrac{100}{8+j6}\)
\(\quad\)\(=\cfrac{100(8-j6)}{(8+j6)(8-j6)}\)
\(\quad\)\(=\cfrac{100(8-j6)}{8^2+6^2}\)
\(\dot{I}=8-j6\quad\rm[A]\)
●電流 \(I\) の絶対値は
\(I=\sqrt{8^2+6^2}=10\quad\rm[A]\) になります。
以上で「RLC直列回路の説明」を終わります。