RLC直列回路の説明

RLC直列回路の説明

RLC直列回路とは、抵抗 \(R\) [Ω] 、自己インダクタンス \(L\) [H] のコイル、と静電容量 \(C\) [F] のコンデンサを直列に接続した回路のことです。

RとLとCの端子電圧と電源電圧の関係

図のようなRLC直列回路に交流電源 \(\dot{E}\) を接続したとき、RLC直列回路に流れる電流を \(\dot{I}\) とします。

電圧の関係
抵抗、コイル、コンデンサの各端子電圧の和は、電源電圧と等しくなります。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(\dot{V_L}\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(\dot{V_C}\) とした場合
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

\(\dot{V_L}=X_L\dot{I}=ωL\dot{I}\) [V]

\(\dot{V_C}=X_C\dot{I}=\cfrac{\dot{I}}{ωC}\) [V]　　(\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)) となります。

電源電圧を \(\dot{E}\) とすると
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\) [V]

\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\)＝\(R\dot{I}+X_L\dot{I}+X_C\dot{I}\)＝\((R+X_L+X_C)\dot{I}\) [V] 　なので

\(\dot{E}=(R+ωL+\cfrac{1}{ωC})\dot{I}\) [V] になります。

RLC直列回路のベクトル関係

抵抗 \(R\) 、コイル \(L\) 、コンデンサ \(C\) の直列接続では、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) が同じ大きさなので、電流 \(\dot{I}\) を「基準」にして、それぞれの端子電圧をベクトル図にすると、次のようになります。

RLC直列回路の場合、誘導性リアクタンス \(X_L\) と容量性リアクタンス \(X_C\) の大きさにより、次の三つの組み合わせができます。

1. \(X_L>X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＞容量性リアクタンス
2. \(X_L>X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＜容量性リアクタンス
3. \(X_L>X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス＝容量性リアクタンス

③の場合を、「共振状態」といいます。

\(X_L>X_C\)の場合のRLC直列回路

●\(X_L>X_C\)の場合の、RLC直列回路について説明します。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は電流 \(\dot{I}\) と同相になります。

コイルの端子電圧 \(\dot{V_L}\) は電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

コンデンサの端子電圧 \(\dot{V_C}\) は電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。

ベクトル図は、次のようになります。

図において、\(X_L>X_C\) ですから、\(V_L\) の大きさから \(V_C\) の大きさを引くと、\(\dot{V_X}\) のベクトルが求められます。

合成したベクトル表示の \(\dot{V_X}\) は、\(\dot{V_X}=\dot{V_L}+\dot{V_C}\) になります。

\(V_X\) の大きさは、\(V_X=V_L-V_C\) で求められます。

ベクトルの合成

\(\dot{E}\) のベクトル合成は、次のようになります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\)

大きさは
\(E=\sqrt{{V_R}^2+(V_L-V_C)^2}\) になります。

\(X_L>X_C\)の場合の合成インピーダンス

●電圧 \(E\) の大きさ
\(X_L>X_C\) のベクトル図からわかるように、直角三角形になります。

したがって、三平方の定理から電圧 \(E\) の大きさは
\(E=\sqrt{{V_R}^2+({V_L}-{V_C})^2}\)＝\(\sqrt{(RI)^2+(X_LI-X_CI)^2}\)

\(I\) を平方根の外に出すと
\(E=ZI=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}I\) [V]

●電流 \(I\) の大きさ
電流 \(I\) の大きさは、電圧の式から
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}}\) [A]

●インピーダンス \(Z\) の大きさ
\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\) [Ω]

●リアクタンス
\(X_L>X_C\) の場合は、合成リアクタンスは \(X_L\) が残るので「誘導性リアクタンス」になります。

●インピーダンス角 \(θ\) の大きさ
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{X_L-X_C}{R}\) [rad]

●誘導性リアクタンスが大きいときは、電流 \(I\) は電圧 \(E\) に対して遅れ電流になります。

記号法による表示法

●\(X_L>X_C\) の場合
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(\dot{V_L}\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(\dot{V_C}\) を記号法で表示すると
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

\(\dot{V_L}=jX_L\dot{I}=jωL\dot{I}\) [V]

\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}=-j\cfrac{1}{ωC}\) [V] 

回路の電源電圧 \(\dot{E}\) は、各端子電圧の和になります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\) [V]

\(\dot{E}=R\dot{I}+jX_L\dot{I}-jX_C\dot{I}\)＝\({R+j(X_L-X_C)}\dot{I}\) [V]

\(\dot{E}={R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})}\dot{I}\)＝\(\dot{Z}\dot{I}\) [V]

合成インピーダンス \(\dot{Z}\) は
\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{I}}\)　から

\(\dot{Z}=R+j(X_L-X_C)\)＝\(R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})\) [Ω]

インピーダンスベクトル図
記号法で表示したインピーダンスベクトル図は、次のようになります。

\(X_L<X_C\)の場合のRLC直列回路

●次に、\(X_L<X_C\) の場合の、RLC直列回路について説明します。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) は電流 \(\dot{I}\) と同相になります。

コイルの端子電圧 \(\dot{V_L}\) は電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

コンデンサの端子電圧 \(\dot{V_C}\) は電流 \(\dot{I}\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。

ベクトル図は、次のようになります。

合成したベクトル表示の \(\dot{V_X}\) は、\(\dot{V_X}=\dot{V_L}+\dot{V_C}\) になります。

\(V_X\) の大きさは、\(V_X=V_C-V_L\) で求められます。

ベクトルの合成

\(\dot{E}\) のベクトル合成は、次のようになります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\)

大きさは
\(E=\sqrt{{V_R}^2+(V_C-V_L)^2}\) になります。

\(X_L<X_C\)の場合の合成インピーダンス

●電圧 \(E\) の大きさ
\(X_L<X_C\) のベクトル図からわかるように、直角三角形になります。

したがって、三平方の定理から電圧 \(E\) の大きさは
\(E=\sqrt{{V_R}^2+({V_C}-{V_L})^2}\)＝\(\sqrt{(RI)^2+(X_CI-X_LI)^2}\)

\(I\) を平方根の外に出すと
\(E=ZI=\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}I\) [V]

●電流 \(I\) の大きさ
電流 \(I\) の大きさは、電圧の式から
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}}\) [A]

●インピーダンス \(Z\) の大きさ
\(Z=\sqrt{R^2+(X_C-X_L)^2}\) [Ω]

●リアクタンス
\(X_L<X_C\) の場合は、合成リアクタンスは \(X_C\) が残るので「容量性リアクタンス」になります。

●インピーダンス角 \(θ\) の大きさ
\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-(X_C-X_L)}{R}\) [rad]

●容量性リアクタンスが大きいときは、電流 \(I\) は電圧 \(E\) に対して進み電流になります。

記号法による表示法

●\(X_L<X_C\) の場合
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(\dot{V_R}\) 、コイル \(L\) の端子電圧 \(\dot{V_L}\) 、コンデンサ \(C\) の端子電圧 \(\dot{V_C}\) を記号法で表示すると
\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

\(\dot{V_L}=jX_L\dot{I}=jωL\dot{I}\) [V]

\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}=-j\cfrac{1}{ωC}\) [V] 

回路の電源電圧 \(\dot{E}\) は、各端子電圧の和になります。
\(\dot{E}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\) [V]

\(\dot{E}=R\dot{I}+jX_L\dot{I}-jX_C\dot{I}\)＝\({R+j(X_L-X_C)}\dot{I}\) [V]

\(\dot{E}={R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})}\dot{I}\)＝\(\dot{Z}\dot{I}\) [V]

合成インピーダンス \(\dot{Z}\) は
\(\dot{Z}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{I}}\)　から

\(\dot{Z}=R+j(X_L-X_C)\)＝\(R+j(ωL-\cfrac{1}{ωC})\) [Ω]

インピーダンスベクトル図
記号法で表示したインピーダンスベクトル図は、次のようになります。

例　題

問 題１

抵抗 \(R=16\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=20\) [Ω]、容量リアクタンス \(X_C=8\) [Ω] の直列回路に、\(100\) [V] の交流電圧を加えたとき、回路に流れる電流の大きさを求めよ。

解答例
この問題は、電流の大きさを問題にしています。

●合成インピーダンス \(Z\) は次の式から求められます。

\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

\(\quad=\sqrt{16^2+(20-8)^2}\)

\(\quad=\sqrt{400}=20\) [Ω]

●電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{100}{20}\)

\(I=5\) [A] になります。

問 題２

抵抗 \(R=8\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=6\) [Ω] の直列回路の合成インピーダンス \(\dot{Z}=8+j6\) [Ω] に \(\dot{E}=100\) [V] の交流電圧を加えたとき、回路に流れる電流 \(\dot{I}\) および絶対値 \(I\) の大きさを求めよ。

解答例
●電流 \(\dot{I}\) は、オームの法則から

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{Z}}=\cfrac{100}{8+j6}\)

\(\quad=\cfrac{100(8-j6)}{(8+j6)(8-j6)}\)

\(\quad=\cfrac{100(8-j6)}{8^2+6^2}\)

\(\dot{I}=8-j6\) [A]

●電流 \(I\) の絶対値は
\(I=\sqrt{8^2+6^2}=10\) [A] になります。

以上で「RLC直列回路の説明」を終わります。