RLC並列回路の説明

抵抗とコイルとコンデンサを並列に接続した回路の、電圧と電流の関係について説明しています。

RLC並列回路とは、抵抗 R、自己インダクタンス L のコイル、と 静電容量 C のコンデンサを並列に接続した回路のことです。

RLC並列回路の説明

RLC並列回路に交流電源 \(E\) を接続したとき、RLC並列回路に流れる電流を \(I\) とします。

抵抗を流れる電流

\(I_R=\cfrac{E}{R}\) は、電圧 \(E\) と 同相 になります。

コイルを流れる電流

\(I_L=\cfrac{E}{X_L}\) は、電圧 \(E\) より \(\cfrac{π}{2}\) 位相が 遅れ ます。

コンデンサを流れる電流

\(I_C=\cfrac{E}{X_C}\) は、電圧 \(E\) より \(\cfrac{π}{2}\) 位相が 進み ます。

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RLC並列回路の全電流 \(I\) は、各枝路を流れる 電流の和 になります。

\(I\)\(=I_R+I_L+I_C\)

\(I=\cfrac{E}{R}+\cfrac{E}{X_L}+\cfrac{E}{X_C}\)

\(I=\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{X_L}+\cfrac{1}{X_C}\right)E\)

\(I=\left(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{ωL}+ωC\right)E\) になります。

■ RLC並列回路の各枝路電流のベクトル図

抵抗 \(R\) 、コイル \(L\) 、コンデンサ \(C\) の並列接続では、回路に掛かる電圧 \(E\) が 同じ大きさ になります。

したがって、電圧 \(E\) を 基準 にして、それぞれの電流をベクトル図にすると、次のようになります。

■ RLC並列回路
RLC並列回路の場合、誘導性リアクタンス \(X_L\) と容量性リアクタンス \(X_C\) の大きさにより、次の三つの組み合わせができます。

  1. \(X_L>X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス>容量性リアクタンス
  2. \(X_L< X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス<容量性リアクタンス
  3. \(X_L=X_C\)\(\cdots\)誘導性リアクタンス=容量性リアクタンス

③ の場合を、「共振状態」といいます。

\(X_L>X_C\)の場合のRLC並列回路

\(X_L>X_C\)の場合の、RLC並列回路について説明します。

抵抗 \(R\) に流れる電流 \(I_R\) は、電圧 \(E\) と同相になります。

コイルに流れる電流 \(I_L\) は、電圧 \(E\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。

コンデンサに流れる電流 \(I_C\) は、電圧 \(E\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

\(X_L>X_C\) の場合、電流 \(I_L\) は、電流 \(I_C\) より、 絶対値は小さく なります。

電圧を基準として各電流をまとめると、次のようなベクトル図になります。

図において、\(X_L>X_C\) の場合、(\(I_C>I_L\)) ですから、\(I_C\) の大きさから \(I_L\) の大きさを引くと、\(I_X\) のベクトルが求められます。

合成した ベクトル の \(I_X\) は、\(I_X=I_C+I_L\) になります。

\(I_X\) の 大きさ は、\(I_X=I_C-I_L\) で求められます。

■ RLC並列回路に流れる電流のベクトル図

電流 \(I\) のベクトル合成は、次のようになります。

\(I=I_R+I_L+I_C\)

電流 \(I\) の大きさは、次のようになります。

\(I=\sqrt{{I_R}^2+(I_C-I_L)^2}\)

\(X_L\) と \(X_C\) の合成リアクタンス \(X\) は、\(X=X_L+X_C\) です。

この2つのリアクタンスは、向きが反対になります。

\(X_L>X_C\) ですから、合成リアクタンスの大きさは

\(X=X_L-X_C\) となり 誘導性リアクタンス となります。

■ RLC並列回路の \(X_L>X_C\) の場合の合成インピーダンス

電流 \(I\) の大きさは

\(X_L>X_C\) のベクトル図からわかるように、直角三角形になります。

したがって、三平方の定理から電流 \(I\) の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+({I_C}-{I_L})^2}\)

\(I=\sqrt{\left(\cfrac{E}{R}\right)^2+\left(\cfrac{E}{X_C}-\cfrac{E}{X_L}\right)^2}\)

\(E\) を平方根の外に出すと

\(I=E\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{X_C}-\cfrac{1}{X_L}\right)^2}\)

電圧 \(E\) の大きさは、電流の式から

\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{X_C}-\cfrac{1}{X_L}\right)^2}}\)

\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(ωC-\cfrac{1}{ωL}\right)^2}}\)

インピーダンス \(Z\) の大きさは

\(Z=\cfrac{1}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{X_C}-\cfrac{1}{X_L}\right)^2}}\)

\(Z=\cfrac{1}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(ωC-\cfrac{1}{ωL}\right)^2}}\)

インピーダンス角 \(θ\) の大きさは

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{1/X_C-1/X_L}{1/R}\)

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{ωC-1/ωL}{1/R}\)

\(X_L< X_C\)の場合のRLC並列回路

\(X_L< X_C\) の場合の、RLC並列回路について説明します。

抵抗 \(R\) に流れる電流 \(I_R\) は電圧 \(E\) と同相になります。

コイルに流れる電流 \(I_L\) は電圧 \(E\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。

コンデンサに流れる電流 \(I_C\) は電圧  \(E\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

\(X_L< X_C\) の場合、電流 \(I_L\) は電流 \(I_C\) より 絶対値は大きく なります。

電圧を基準として各電流をまとめると、次のようなベクトル図になります。

図において、\(X_L< X_C\) の場合、(\(I_L>I_C\)) ですから、\(I_L\) の大きさから \(I_C\) の大きさを引くと、\(I_X\) のベクトルが求められます。

合成した ベクトル 表示の

\(I_X\) は、\(I_X=I_C+I_L\) になります。

\(I_X\) の 大きさ は、\(I_X=I_L-I_C\) で求められます。

■ RLC並列回路に流れる電流のベクトル図

電流 \(I\) のベクトル合成は、次のようになります。

\(I=I_R+I_L+I_C\)

電流 \(I\) の大きさは、次のようになります。

\(I=\sqrt{{I_R}^2+(I_L-I_C)^2}\)

\(X_L\) と \(X_C\) の合成リアクタンス \(X\) は、\(X=X_L+X_C\quad\rm[Ω]\) です。

この2つのリアクタンスは、向きが反対になります。

\(X_L< X_C\) ですから、合成リアクタンスの大きさは、

\(X=X_C-X_L\quad\rm[Ω]\) となり

容量性リアクタンス となります。

■ RLC並列回路の \(X_L< X_C\) の場合の合成インピーダンス

電流 \(I\) の大きさは

\(X_L < X_C\) のベクトル図からわかるように、直角三角形になります。

したがって、三平方の定理から電流 \(I\) の大きさは

\(I=\sqrt{{I_R}^2+({I_L}-{I_C})^2}\)

\(I=\sqrt{\left(\cfrac{E}{R}\right)^2+\left(\cfrac{E}{X_L}-\cfrac{E}{X_C}\right)^2}\)

\(E\) を平方根の外に出すと

\(I=E\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{X_L}-\cfrac{1}{X_C}\right)^2}\)

電圧 \(E\) の大きさは、電流の式から

\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{X_L}-\cfrac{1}{X_C}\right)^2}}\)

\(E=\cfrac{I}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)^2}}\)

インピーダンス \(Z\) の大きさは

\(Z=\cfrac{E}{I}\)

\(Z=\cfrac{1}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{X_L}-\cfrac{1}{X_C}\right)^2}}\)

\(Z=\cfrac{1}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)^2}}\)

インピーダンス角 \(θ\) の大きさは

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-1(1/X_L-1/X_C)}{1/R}\)

\(θ=\tan^{-1}\cfrac{-1(1/ωL-ωC)}{1/R}\)

記号法による表示法

RLC並列回路の各値を記号法により、表示すると次のようになります。

\(I_R=\cfrac{E}{R}\)

\(I_L=-j\cfrac{E}{X_L}\)\(=\cfrac{E}{jX_L}\)

\(I_C=j\cfrac{E}{X_C}\)\(=\cfrac{E}{-jX_C}\)

回路の全電流 \(I\) は、各枝路を流れる電流の和になります。

\(I=\cfrac{E}{R}+\cfrac{E}{jX_L}+\cfrac{E}{-jX_C}\)

\(I=\left\{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j}\left(\cfrac{1}{X_L}-\cfrac{1}{X_C}\right)\right\}E\)

\(I=\left\{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j}\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)\right\}E\quad\rm[A]\)

回路の全電流 \(I\) は

\(X_L>X_C\) の場合、(\(I_C>I_L\)) ですから進みます。

\(X_< X_C\) の場合、(\(I_L>I_C\)) ですから遅れます。

電圧 \(E\) は

\(E=\cfrac{I}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j}\left(\cfrac{1}{X_L}-\cfrac{1}{X_C}\right)}\)

\(E=\cfrac{I}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j}\left(\cfrac{1}{ωL}-ωC\right)}\) になります。

■ 合成インピーダンスの値

\(Z=\cfrac{E}{I}\) から

\(Z=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}+\cfrac{1}{-jX_C}}\)

\(Z=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j}\left(\cfrac{1}{X_L}-\cfrac{1}{X_C}\right)}\)

ここで、\(\cfrac{1}{X_L}-\cfrac{1}{X_C}=\cfrac{1}{X}\) とすると

\(Z=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX}}\)

\(Z=\cfrac{1}{\cfrac{R+jX}{jXR}}\)

\(Z=\cfrac{jXR}{R+jX}\)

分母を有理化すると、次のようになります。

\(Z=\cfrac{jXR}{R+jX}×\cfrac{R-jX}{R-jX}\)

\(Z=\cfrac{R^2jX+X^2R}{R^2+X^2}\)

\(Z=\cfrac{X^2R}{R^2+X^2}+j\cfrac{R^2X}{R^2+X^2}\)

インピーダンス \(Z\) の大きさは、次のようになります。

\(Z=\sqrt{\left(\cfrac{X^2R}{R^2+X^2}\right)^2+\left(\cfrac{R^2X}{R^2+X^2}\right)^2}\)

\(Z=\sqrt{\cfrac{R^2X^2(R^2+X^2)}{(R^2+X^2)^2}}\)

\(Z=\cfrac{RX}{\sqrt{R^2+X^2}}\)

■ 記号法による計算

記号法で計算する場合は、誘導性、容量性のどちらのリアクタンスが大きくても、計算式は同じになります。

練習問題

 

問題1

抵抗 \(R=10\) [Ω]、誘導リアクタンス \(X_L=2\) [Ω]、容量リアクタンス \(X_C=5\) [Ω] の並列回路の合成インピーダンス \(\dot{Z}\) を求めよ。

<解 答>

合成インピーダンス \(\dot{Z}\) は次の式から求められます。

\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jX_L}+\cfrac{1}{-jX_C}}\)

\(\dot{Z}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{j2}+\cfrac{1}{-j5}}\)

\(\quad=\cfrac{1}{0.1-j0.5+j0.2}\)

\(\quad=\cfrac{1}{0.1-j0.3}\)

\(\quad=\cfrac{0.1+j0.3}{0.1^2+0.3^2}\)

\(\quad=\cfrac{0.1+j0.3}{0.1}\)

\(\dot{Z}=1+j3\quad\rm[Ω]\)

\(Z\) の大きさは

\(Z=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\quad\rm[Ω]\) になります。

問題1

図のような、RLC並列回路に流れる電流 \(I\) を求めよ。

<解 答>

RLC並列回路の電流の大きさは、次の式から求められます。

\(I=E\sqrt{\left(\cfrac{1}{R}\right)^2+\left(\cfrac{1}{X_L}-\cfrac{1}{X_C}\right)^2}\)

\(\quad=100\sqrt{\left(\cfrac{1}{5}\right)^2+\left(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4}\right)^2}\)

\(\quad=\sqrt{0.2^2+(0.5-0.25)^2}\)

\(\quad=\sqrt{0.04+0.0625}\)

\(\quad=\sqrt{0.1025}\)

\(I≒32\quad\rm[A]\)

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以上で「RLC並列回路の説明」を終わります。