抵抗による電圧の分圧

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抵抗による電圧の分圧

 

抵抗の直列接続による電圧の分圧

図のような、電源と抵抗が2個の直流回路に電流が流れると、抵抗で電圧降下が起こります。
このときの電圧降下は、抵抗の大きさに比例します。
キルヒホッフの第2法則により、「電源電圧は電圧降下の総和と等しい」となります。
電源電圧が抵抗の大きさに比例して、分かれることを「電圧の分圧」と呼びます。
回路にある抵抗 $R_1、R_2$ に流れる電流の大きさは同一です。

 

 

直列接続では抵抗の大きさに比例して、分圧される

 

電圧の分圧とは、一つの電圧を直列接続した各抵抗により、それぞれ分けることをいいます。
図のように、電源 $E$ に二つの抵抗 $R_1とR_2$ を直列に接続した回路では、それぞれの抵抗により電圧が  $V_1とV_2$ に分圧されます。

 

分圧される電圧の大きさは、抵抗の大きさに比例する

 

分圧された \(V_1とV_2\) を求める
抵抗 $R_1とR_2$ は、直列接続なので合成抵抗 $R[Ω$  は
$R=R_1+R_2[Ω]$

 

電源電圧は $E$ [V] なので、回路に流れる電流 $I$ [A] は
オームの法則から
$I=\cfrac{E}{R}$
$I=\cfrac{E}{R_1+R_2}[A]$

 

抵抗 \(R_1\) にかかる電圧 \(V_1\) を求める
$V_1=R_1I[V]$ なので
$V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E[V]$

 

 

抵抗 \(R_2\) にかかる電圧 \(V_2\) を求める
$V_2=R_2I[V]$ なので
$V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E[V]$ となり

 

分圧される電圧の大きさは、抵抗の大きさに比例することが分かります。

 

分圧の法則

 

抵抗 $R_1とR_2$ により分圧された電圧を求めるための式は
次の式で表されます。

  $V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E[V]$
$\tag{2-1-4}$
  $V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E[V]$

 

これを一般的にすると、次のようになります。

 

電圧の分圧を応用した、倍率器

 

分圧を応用することで、電圧計の測定範囲を広くすることができます。
電圧計の測定範囲を広くする目的で、電圧計に直列に接続する抵抗のことを、「倍率器」といいます。

 

定格100[V] の電圧計

図のように、直流電圧100[V] まで測定でき、その内部抵抗が10000[Ω] の電圧計がある。
この電圧計の最大目盛り100[V] のときに、流れる電流 $I$ は

 

$I=\cfrac{100[V]}{10000[Ω]}=0.01[A]$ です。

 

 

 

倍率器として、10000[Ω]の抵抗を直列に接続する

この電圧計に倍率器として、10000[Ω] の抵抗を直列に接続します。
合成抵抗は倍率器と内部抵抗を合わせて、20000[Ω] になります。
回路に流れる電流は

 

$I=\cfrac{100[V]}{20000[Ω]}=0.005[A]$ です。

 

従って、内部抵抗10000Ωの電圧計に加わる分圧された電圧は、
10000[Ω]×0.005[A]=50[V] になって、電圧計の針は50[V] を示します。

 

倍率器に10000[Ω] の抵抗を接続することで、この電圧計は電源電圧が200[V] まで測定できることになります。

 

このように、倍率器を使うと測定できる電圧の範囲を、大きくすることができます。

 

 

電圧計に用いる倍率器の抵抗の求め方

 

電圧計の測定範囲を拡大する場合の、倍率器の抵抗値を求める方法を説明します。

  • 電圧計の最大測定値を $V_v[V]$
  • 測定したい電圧を $V[V]$
  • 電圧 $V$ と電圧計の最大測定値 $V_v$ の比を「電圧の倍率」といいます。
  • "m"を電圧の倍率  $(m=V/V_v)$ で表わします。

 

倍率器の抵抗値を $R_p$ とすると

 

$R_p=(m-1)r_v[Ω]$ になります。

 

 

倍率器の式の求め方

電圧の倍率 m は
$m=\cfrac{V}{V_v} \tag{1}$

 

電圧計に倍率器を接続した回路に流れる電流 $I$ は
$I=\cfrac{V}{r_v+R_p} [A] \tag{2}$

 

電圧計の指示 $V_v$ は
$V_v=r_vI [V]\tag{3}$

 

式(3)に式(2)を代入すると
$V_v=r_v×\cfrac{V}{r_v+R_p} [V]\tag{4}$

 

式(4)を変形して
$\cfrac{V}{V_v}=m=\cfrac{r_v+R_p}{r_v}$

 

$mr_v=r_v+R_p$

 

$R_p=mr_v-r_v=(m-1)r_v[Ω]$ 

 

倍率器の抵抗の式は
$R_p=(m-1)r_v[Ω]$ となります。

 

 

倍率器の抵抗の練習問題

 

倍率器の抵抗を求めよ。
電圧計の内部抵抗10[kΩ]、電圧計最大値が100[V] の電圧計を、600[V] まで測定できるようにする倍率器の抵抗 $R_p$ はいくらになるか求めよ

 

 

<解答>
電圧の倍率=600/100=6

 

$R_p=(6-1)×10000=50[kΩ]$

 

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