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【分圧の法則】抵抗による電圧の分圧

抵抗を直列に接続した回路では、抵抗に比例して 電圧が分圧 されます。

起電力の和は電圧降下の和に等しい という キルヒホッフの第2法則 により

\(E=V_1+V_2\) になります。

抵抗に比例して、電圧が分圧される法則を「分圧の法則」と言います。

分圧の法則を式にすると、次のようになります。

ここでは、抵抗による【分圧の法則】について説明します。

電流の分流については、次の記事が参考になります。
【分流の法則】抵抗による電流の分流
【分流の法則】コンダクタンスによる電流の分流

目次

分圧の法則

分圧の法則を式にすると、次のようになります。

2個の抵抗が直列接続された分圧の法則

\(V_1=\cfrac{R_1}{R}E\) [V] または \(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\) 

\(V_2=\cfrac{R_2}{R}E\) [V] または \(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\)  

合成抵抗

抵抗 \(R_1\)、\(R_2\) は、直列接続なので 合成抵抗 \(R\) は

\(R=R_1+R_2\) [Ω] 

回路に流れる電流

電源電圧は \(E\) [V] なので、回路に流れる電流 \(I\) は

オームの法則から

\(I=\cfrac{E}{R}\)

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2}\) [A]

合成抵抗を \(R\) とした場合の「分圧の法則」

抵抗 \(R_1\) に分圧される電圧 \(V_1\) 

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2}\) [A]

\(V_1=R_1I=\cfrac{R_1}{R}E\) から

\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\) [V]

抵抗 \(R_2\) に分圧される電圧 \(V_2\) 

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2}\) [A]

\(V_2=R_2I=\cfrac{R_2}{R}E\) から

\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\) [V] になります。

合成抵抗を \(R_1+R_2\) とした場合の「分圧の法則」

分圧の法則を式にすると、次のようになります。

2個の抵抗が直列接続された分圧の法則の例題

図のような回路において、抵抗に分圧される電圧 \(V_1\)、\(V_2\) を求めよ。

合成抵抗

\(R=R_1+R_2\)

\(R=4+6=10\) [Ω]

電圧

\(E=10\) [V]

分圧の法則の公式

\(V_1=\cfrac{R_1}{R}E=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\) [V]

\(V_2=\cfrac{R_2}{R}E=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\) [V]

分圧の法則で計算すると

\(V_1=\cfrac{4}{10}×10=4\) [V]

\(V_2=\cfrac{6}{10}×10=6\) [V] になります。

3個の抵抗が直列接続された分圧の法則

\(V_1=\cfrac{R_1}{R}E\) [V] または \(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2+R_3}E\)

\(V_2=\cfrac{R_2}{R}E\) [V] または \(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2+R_3}E\)

\(V_3=\cfrac{R_3}{R}E\) [V] または \(V_3=\cfrac{R_3}{R_1+R_2+R_3}E\)

合成抵抗

抵抗 \(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\) は、直列接続なので 合成抵抗 \(R\) は

\(R=R_1+R_2+R_3\) [Ω] 

回路に流れる電流

電源電圧は \(E\) [V] なので、回路に流れる電流 \(I\) は

オームの法則から

\(I=\cfrac{E}{R}\)

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2+R_3}\) [A]

抵抗に分圧される電圧

抵抗 \(R_1\) に分圧される電圧 \(V_1\) 

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2+R_3}\) [A]

\(V_1=R_1I=\cfrac{R_1}{R}E\) から

\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2+R_3}E\) [V]

抵抗 \(R_2\) に分圧される電圧 \(V_2\) 

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2+R_3}\) [A]

\(V_2=R_2I=\cfrac{R_2}{R}E\) から

\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2+R_3}E\) [V] 

抵抗 \(R_3\) に分圧される電圧 \(V_3\) 

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2+R_3}\) [A]

\(V_3=R_3I=\cfrac{R_3}{R}E\) から

\(V_3=\cfrac{R_3}{R_1+R_2+R_3}E\) [V] になります。

分圧の法則を式にすると、次のようになります。

3個の抵抗が直列接続された分圧の法則の例題

図のような回路において、抵抗に分圧される電圧 \(V_1\)、\(V_2\)、\(V_3\) を求めよ。

合成抵抗

\(R=R_1+R_2+R_3\)

\(R=2+3+5=10\) [Ω]

電圧

\(E=10\) [V]

分圧の法則の公式

\(V_1=\cfrac{R_1}{R}E=\cfrac{R_1}{R_1+R_2+R_3}E\) [V]

\(V_2=\cfrac{R_2}{R}E=\cfrac{R_2}{R_1+R_2+R_3}E\) [V]

\(V_3=\cfrac{R_3}{R}E=\cfrac{R_2}{R_1+R_2+R_3}E\) [V]

分圧の法則で計算すると

\(V_1=\cfrac{2}{10}×10=2\) [V]

\(V_2=\cfrac{3}{10}×10=3\) [V] 

\(V_3=\cfrac{5}{10}×10=5\) [V] になります。

\(n\) 個の抵抗が直列接続された分圧の法則

\(V_1=\cfrac{R_1}{R}E\) [V] または \(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2+\cdots+R_n}E\)

\(V_2=\cfrac{R_2}{R}E\) [V] または \(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2+\cdots+R_n}E\)

\(V_n=\cfrac{R_n}{R}E\) [V] または \(V_n=\cfrac{R_n}{R_1+R_2+\cdots+R_n}E\)

合成抵抗

抵抗 \(R_1\)、\(R_2\)・・・\(R_n\) は、直列接続なので 合成抵抗 \(R\) は

\(R=R_1+R_2+\cdots+R_n\) [Ω] 

回路に流れる電流

電源電圧は \(E\) [V] なので、回路に流れる電流 \(I\) は

オームの法則から

\(I=\cfrac{E}{R}\)

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2+\cdots+R_n}\) [A]

抵抗に分圧される電圧

抵抗 \(R_1\) に分圧される電圧 \(V_1\) 

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2+\cdots+R_n}\) [A]

\(V_1=R_1I=\cfrac{R_1}{R}E\) から

\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2+\cdots+R_n}E\) [V]

抵抗 \(R_2\) に分圧される電圧 \(V_2\) 

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2+\cdots+R_n}\) [A]

\(V_2=R_2I=\cfrac{R_2}{R}E\) から

\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2+\cdots+R_n}E\) [V] 

抵抗 \(R_n\) に分圧される電圧 \(V_3\) 

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2+\cdots+R_n}\) [A]

\(V_n=R_nI=\cfrac{R_n}{R}E\) から

\(V_n=\cfrac{R_n}{R_1+R_2+\cdots+R_n}E\) [V] になります。

分圧の法則を式にすると、次のようになります。

分圧の法則を応用した倍率器

電圧計の測定範囲を拡大する場合の、倍率器の抵抗値を求める方法を説明します。

\(V_v\cdots\)電圧計の最大測定値

\(V\cdots\)測定したい電圧

\((m=\cfrac{V}{V_v})\)\(\cdots\)電圧の倍率

\(R_p \cdots\) 倍率器の抵抗値

\(r_v\cdots\) 電圧計の内部抵抗 とすると

\(R_p=(m-1)r_v\) [Ω] になります。

倍率器の抵抗値

電圧計に倍率器を接続した回路に流れる電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{V}{r_v+R_p}\cdots(2)\)

電圧計の指示 \(V_v\) は

\(V_v=r_vI\cdots(3)\)

式(3) に式(2) を代入すると

\(V_v=r_v×\cfrac{V}{r_v+R_p}\cdots(4)\)

式(4) を変形して

\(\cfrac{V}{V_v}=m=\cfrac{r_v+R_p}{r_v}\)

\(mr_v=r_v+R_p\)

\(R_p=mr_v-r_v=(m-1)r_v\) [Ω]

倍率器の抵抗の式

\(R_p=(m-1)r_v\) [Ω] となります。

分圧を応用することで、電圧計の測定範囲を広くすることができます。

練習問題

問題1

倍率器の抵抗を求めよ。

電圧計の内部抵抗 10 [kΩ]、電圧計最大値が 100 [V] の電圧計を、600 [V] まで測定できるようにする

倍率器の抵抗 \(R_p\) はいくらになるか求めよ

<解答例>

計算式に当てはめると次のようになります。

電圧の倍率 \(=600/100=6\)

\(R_p=(6-1)×10000\) [kΩ]

\(R_p=50\) [kΩ]  

問題2

図のような直流回路があります。抵抗 \(R\) の値を求めよ。

<解答例>

抵抗 \(R\) の電圧降下を \(V_R\) とすると

\(V_R=4R\) になります。

2 [Ω] に流れる電流 \(I_1\) は

\(I_1=\cfrac{V_R}{2}=\cfrac{4R}{2}=2R\) になります。


点a での電流を考えると

\(I=4+2R\cdots(1)\)

図のような閉回路の電圧から式を立てると

\(3I+2×2R=\cdots(2)\)


式(2)に式(1)を代入して計算します。

\(3(4+2R)+4R=100\)

\(R=8.8\) [Ω] になります。

電流の分流については、次の記事が参考になります。
【分流の法則】抵抗による電流の分流
【分流の法則】コンダクタンスによる電流の分流

以上で「【分圧の法則】抵抗による電圧の分圧」の説明を終わります。

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