抵抗による電圧の分圧

図のような、電源と抵抗が2個の直流回路に電流が流れると、抵抗で電圧降下が起こります。

このときの電圧降下は、抵抗の大きさに比例します。

回路にある抵抗 \(R_1、R_2\) に流れる電流の大きさは同一になります。

キルヒホッフの第2法則により、電源電圧は電圧降下の総和と等しい となります。

電源電圧が抵抗の大きさに比例して、分かれることを 電圧の分圧 と呼びます。

直列接続では抵抗の大きさに比例して分圧される

電圧の分圧とは電源の電圧が、直列接続された各抵抗の大きさに比例して分割されることをいいます。

図のように、電源 \(E\) に二つの抵抗 \(R_1、R_2\) を直列に接続した回路では、それぞれの抵抗の大きさに比例した電圧 \(V_1\) と \(V_2\) に分圧されます。

分圧される電圧の大きさは、抵抗の大きさに比例します。

■ 分圧された \(V_1\) と \(V_2\) を求める

抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) は、直列接続なので合成抵抗 \(R\) は

\(R=R_1+R_2\quad\rm[Ω]\) 

電源電圧は \(E\quad\rm[V]\) なので、回路に流れる電流 \(I\) は

オームの法則から

\(I=\cfrac{E}{R}\)

\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2}\quad\rm[A]\)

■ 抵抗 \(R_1\) にかかる電圧 \(V_1\) を求める

\(V_1=R_1I\) なので

\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\quad\rm[V]\)

■ 抵抗 \(R_2\) にかかる電圧 \(V_2\) を求める

\(V_2=R_2I\) なので

\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\quad\rm[V]\) となり

分圧される電圧の大きさは、抵抗の大きさに比例することが分かります。

\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\quad\rm[V]\)

\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\quad\rm[V]\)

分圧の法則

抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) により分圧された電圧を求めるための式は、次の式で表されます。

\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\quad\rm[V]\)

\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\quad\rm[V]\)

これを一般的な表現で表すと、次のようになります。

電圧の分圧を応用した倍率器

電圧計の測定範囲を拡大する場合の、倍率器の抵抗値を求める方法を説明します。

\(V_v\quad\rm[V]\cdots\)電圧計の最大測定値

\(V\quad\rm[V]\cdots\)測定したい電圧

\((m=\cfrac{V}{V_v})\)\(\cdots\)電圧の倍率

\(R_p\quad\rm[Ω] \cdots\) 倍率器の抵抗値

\(r_v\quad\rm[Ω] \cdots\) 電圧計の内部抵抗 とすると

\(R_p=(m-1)r_v\quad\rm[Ω]\) になります。

■ 倍率 \(m\) の求め方

電圧の倍率 \(m\) は

\(m=\cfrac{V}{V_v} \cdots(1)\)

電圧計に倍率器を接続した回路に流れる電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{V}{r_v+R_p}\quad\rm[A]\cdots(2)\)

電圧計の指示 \(V_v\) は

\(V_v=r_vI\quad\rm[V]\cdots(3)\)

式(3)に式(2)を代入すると

\(V_v=r_v×\cfrac{V}{r_v+R_p}\quad\rm[V]\cdots(4)\)

式(4)を変形して

\(\cfrac{V}{V_v}=m=\cfrac{r_v+R_p}{r_v}\)

\(mr_v=r_v+R_p\)

\(R_p=mr_v-r_v=(m-1)r_v\quad\rm[Ω]\)

倍率器の抵抗の式は

\(R_p=(m-1)r_v\quad\rm[Ω]\) となります。

分圧を応用することで、電圧計の測定範囲を広くすることができます。

練習問題

■ 問題1
倍率器の抵抗を求めよ。

電圧計の内部抵抗 10 [kΩ]、電圧計最大値が 100 [V] の電圧計を、600 [V] まで測定できるようにする倍率器の抵抗 \(R_p\) はいくらになるか求めよ

解答例
計算式に当てはめると次のようになります。

電圧の倍率\(=600/100=6\)

\(R_p=(6-1)×10000=50\) [kΩ]  

■ 問題2
図のような直流回路があります。抵抗 \(R\) の値を求めよ。

解答例
抵抗 \(R\) の電圧降下を \(V_R\) とすると
\(V_R=4R\) になります。

2 [Ω] に流れる電流 \(I_1\) は
\(I_1=\cfrac{V_R}{2}=\cfrac{4R}{2}=2R\) になります。

点a での電流を考えると
\(I=4+2R\cdots(1)\)

図のような閉回路の電圧から式を立てると
\(3I+2×2R=\cdots(2)\)

式(2)に式(1)を代入して計算します。
\(3(4+2R)+4R=100\)

\(R=8.8\) [Ω] になります。

分流については次の記事が参考になります。
■関連記事■ 抵抗による電流の分流

以上で「抵抗による電圧の分圧」の説明を終わります。