抵抗を直列に接続した回路では、抵抗値に比例して電圧降下が起こります。
キルヒホッフの第２法則により、電源電圧は電圧降下の和と等しい となります。
電源電圧が抵抗の大きさに比例して、分かれることを 電圧の分圧 と呼びます。
ここでは、抵抗による電圧の分圧について説明します。
直列接続では抵抗の大きさに比例して分圧される
電圧の分圧とは
直列に接続された各抵抗の大きさに比例して、電圧が分圧されることをいいます。
図のように、電源 \(E\) に二つの抵抗 \(R_1、R_2\) を直列に接続した回路では
それぞれの抵抗の大きさに比例した電圧 \(V_1\) と \(V_2\) に分圧されます。
分圧される電圧の大きさは、抵抗の大きさに比例します。
分圧された \(V_1\) と \(V_2\) を求める
抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) は、直列接続なので合成抵抗 \(R\) は
\(R=R_1+R_2\) [Ω]
電源電圧は \(E\) [V] なので、回路に流れる電流 \(I\) は
オームの法則から
\(I=\cfrac{E}{R}\)
\(I=\cfrac{E}{R_1+R_2}\) [A]
抵抗 \(R_1\) にかかる電圧 \(V_1\) を求める
\(V_1=R_1I\) なので
\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\) [V]
抵抗 \(R_2\) にかかる電圧 \(V_2\) を求める
\(V_2=R_2I\) なので
\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\) [V] となり
電圧の分圧
分圧される電圧の大きさは、抵抗の大きさに比例することが分かります。
\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\) [V]
\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\) [V]
分圧の法則
抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) により分圧された電圧を求めるための式は、次の式で表されます。
分圧の法則
\(V_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}E\) [V]
\(V_2=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}E\) [V]
これを一般的な表現で表すと、次のようになります。
電圧の分圧を応用した倍率器
電圧計の測定範囲を拡大する場合の、倍率器の抵抗値を求める方法を説明します。
\(V_v\cdots\)電圧計の最大測定値
\(V\cdots\)測定したい電圧
\((m=\cfrac{V}{V_v})\)\(\cdots\)電圧の倍率
\(R_p \cdots\) 倍率器の抵抗値
\(r_v\cdots\) 電圧計の内部抵抗 とすると
\(R_p=(m-1)r_v\) [Ω] になります。
倍率 m の求め方
電圧の倍率 \(m\) は
\(m=\cfrac{V}{V_v} \cdots(1)\)
倍率器の抵抗値
電圧計に倍率器を接続した回路に流れる電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{V}{r_v+R_p}\cdots(2)\)
電圧計の指示 \(V_v\) は
\(V_v=r_vI\cdots(3)\)
式(3) に式(2) を代入すると
\(V_v=r_v×\cfrac{V}{r_v+R_p}\cdots(4)\)
式(4) を変形して
\(\cfrac{V}{V_v}=m=\cfrac{r_v+R_p}{r_v}\)
\(mr_v=r_v+R_p\)
\(R_p=mr_v-r_v=(m-1)r_v\) [Ω]
倍率器の抵抗の式
\(R_p=(m-1)r_v\) [Ω] となります。
分圧を応用することで、電圧計の測定範囲を広くすることができます。
練習問題
問題1
倍率器の抵抗を求めよ。
電圧計の内部抵抗 10 [kΩ]、電圧計最大値が 100 [V] の電圧計を、600 [V] まで測定できるようにする
倍率器の抵抗 \(R_p\) はいくらになるか求めよ
＜解答例＞
計算式に当てはめると次のようになります。
電圧の倍率 \(=600/100=6\)
\(R_p=(6-1)×10000\) [kΩ]
\(R_p=50\) [kΩ]
問題2
図のような直流回路があります。抵抗 \(R\) の値を求めよ。
＜解答例＞
抵抗 \(R\) の電圧降下を \(V_R\) とすると
\(V_R=4R\) になります。
2 [Ω] に流れる電流 \(I_1\) は
\(I_1=\cfrac{V_R}{2}=\cfrac{4R}{2}=2R\) になります。
点a での電流を考えると
\(I=4+2R\cdots(1)\)
図のような閉回路の電圧から式を立てると
\(3I+2×2R=\cdots(2)\)
式（2）に式（1）を代入して計算します。
\(3(4+2R)+4R=100\)
\(R=8.8\) [Ω] になります。
以上で「抵抗による電圧の分圧」の説明を終わります。