キルヒホッフの法則

キルヒホッフの法則には、第1法則(電流に関する法則)と第2法則(電圧に関する法則)があります。

キルヒホッフの第1法則
電気回路の任意の分岐点において、流入する電流の和は流出する電流の和に等しい。

キルヒホッフの第2法則
電気回路の任意の閉回路における、起電力の和は電圧降下の和と等しい。
または、電気回路の任意の閉回路における、電位差は0(ゼロ)になる。

キルヒホッフの第1法則(電流に関する法則)

■ キルヒホッフの第1法則

電気回路の任意の分岐点において、流入する電流の和は流出する電流の和に等しい。

■ キルヒホッフの第1法則の考え方
図において、キルヒホッフの第1法則では任意の分岐点を P とした時、\(I_1+I_2=I_3\) が成り立ちます。

図において、キルヒホッフの第1法則では、\(I_1+I_2=I_3+I_4\) が成り立ちます。

■ 電流の向きで正または負を決めます。

ここでは、流入を正(+)、流出を負(-)とします。

\(I_1+I_2-I_3-I_4=0\) とすると

任意の分岐点に流入する電流の和と流出する電流の和は0(ゼロ)になる。 という言い方もできます。

例題1

キルヒホッフの第1法則により
流入する電流の和=流出する電流の和 なので
\(15+5=8+I\) から
\(I=12\quad\rm[A]\)

例題2

キルヒホッフの第1法則により
流入する電流の和=流出する電流の和 なので
\(I+5+3=2I+1\) から
\(I=7\quad\rm[A]\)

キルヒホッフの第2法則(電圧に関する法則)

キルヒホッフの第2法則

電気回路の任意の閉回路における、起電力の和は電圧降下の和と等しい。
電気回路の任意の閉回路における、電位差は0(ゼロ)になる。
ということもできます。

赤い閉回路を考えると、キルヒホッフの第2法則から次の式が成り立ちます。

• 電気回路の任意の閉回路における、起電力の和は電圧降下の和と等しい。

\(E=R_1I_1+R_2I_2\)

• 電気回路の任意の閉回路における、電位差は0(ゼロ)になる。

\(+E-R_1I_1-R_2I_2=0\)

■ 任意の閉回路とは何のこと
任意の閉回路とは、どのような回路を通っても
スタートから出発してスタートに戻る回路ということです。

スタートはどこから始めても構いません。

■ 任意の閉回路1

たとえば、図のような 赤い矢印の閉回路 を取る場合

起電力は、電流の方向と同じなので、\(+E \) で正になります。
電圧降下も電流の方向と同じなので \(+R_1I_1\)、\(+R_2I_2\) で正になります。

• 電気回路の任意の閉回路における、起電力の和は電圧降下の和と等しい。 から

\(\large +E=R_1I_1+R_2I_2\)

• 起電力の総和と電圧降下の総和はゼロになる。 から

\(\large +E-R_1I_1-R_2I_2=0\) となります。

■ 任意の閉回路2

図のような 青い矢印の閉回路 を取る場合

起電力は、電流の方向と同じなので \(+E \) で正になります。
電圧降下も電流の方向と同じなので \(+R_1I_1\)、\(+R_3I_3\) で正になります。

• 電気回路の任意の閉回路における、起電力の和は電圧降下の和と等しい。 から

\(\large +E=R_1I_1+R_3I_3\)

• 起電力の総和と電圧降下の総和はゼロになる。 から

\(\large +E-R_1I_1-R_3I_3=0\) となります。

■ 任意の閉回路3

図のような 緑の矢印の閉回路 を取る場合

この閉回路には、起電力がありません。
\(R_2\) の電圧降下は、電流の方向と同じなので \(+R_2I_2\) で正になります。
\(R_3\) の電圧降下は、電流の方向と閉回路の方向が逆なので \(-R_3I_3\) で負になります。

• 電気回路の任意の閉回路における、起電力の和は電圧降下の和と等しい。 から

\(\large R_2I_2=R_3I_3\) となります。

• 起電力の総和と電圧降下の総和はゼロになる。 から

\(\large +R_2I_2-R_3I_3=0\) となります。

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ループ電流法

キルヒホッフの第2法則を使って回路を解く方法のことを 「ループ電流法」 といいます。

■ ループ電流法の手順

  1. 回路に流れる電流を定義します。
    電流の向きと電流の記号 \(I_1\) のように決めます。自分の好きなように決めて構いません。
  2. 任意の閉回路と向きを決めます。
  3. 閉回路の方程式を立てます。
  4. 立てた連立方程式をときます。

例題1
次の回路に流れる電流をループ電流法で求めよ。

<解 答>
回路に流れる電流の記号と向きを決めます。

次に閉回路と閉回路の向きを決めます。

方程式を立てます。
\(50V-20V=10I+20I\)

\(30I=30\) から

\(I=30\quad\rm[A]\) になります。

練習問題

 

問題1

次の回路に流れる電流 \(I_1,I_2,I_3\) を求めよ。

<解 答>
1.分岐点 \(\rm P\) における電流の関係は、キルヒホッフの第1法則により次のようになります。

\(I_1-I_2+I_3=0\)
\(I_1+I_3=I_2\cdots(1)\)

2.図の上の回路で矢印の方向に閉回路を考えたとき、キルヒホッフの第2法則により次のようになります。

\(5I_1+20I_2=12\cdots(2)\)

3.図の下の回路で矢印の方向に閉回路を考えたとき、キルヒホッフの第2法則により次のようになります。

\(I_1+I_3=I_2\cdots(1)\)
\(5I_1+20I_2=12\cdots(2)\)
\(10I_3+20I_2=11\cdots(3)\)

式(1)を式(2)に代入すると
\(5I_1+20(I_1+I_3)=12\)
\(25I_1+20I_3=12\cdots(4)\)

式(3)を変形して、式(2)に代入すると
\(20I_2=11-10I_3\)
\(5I_1+(11-10I_3)=12\)
\(5I_1-10I_3=1\cdots(5)\)

式(5)を変形して、両辺を2倍すると
\(20I_3=10I_1-2\cdots(6)\)

式(6)を式(4)に代入すると
\(25I_1+(10I_1-2)=12\)
\(35I_1=14\)
\(I_1=0.4\quad\rm[A]\)

\(I_1\) を式(6)に代入すると
\(I_3=0.1\quad\rm[A]\)

\(I_2=I_1+I_3\) ですから
\(I_2=0.4+0.1=0.5\quad\rm[A]\) になります。

問題2

次の回路の電流 \(I_1、I_2\) を求めよ。

<解 答>
ここではループ電流法を使って、回路を解きます。

\(10\quad[Ω]\) に流れる電流を \(I_1-I_2\) とします。

閉回路と向きを決めます。

閉回路1で式を立てます。
\(58+18=6I_1+4I_2\)
\(76=6I_1+4I_2\cdots(1)\)

閉回路2で式を立てます。
\(18=4I_2-(I_1-I_2)×10\)
\(18=-10I_1+14I_2\cdots(2)\)

連立方程式を解きます。
式(1)に5を掛けて、式(2)に3を掛けて足し算をします。
\(380=30I_1+20I_2\)
\(54=-30I_1+42I_2\)

2つの式を足し算します。
\(434=62I_2\)
\(I_2=7\quad\rm[A]\)

\(I_2\) を式(2)に代入すると
\(18=-10I_1+14×7\)
\(I_1=8\quad\rm[A]\)

したがって
\(I_1=8\quad\rm[A]\) 
\(I_2=7\quad\rm[A]\)

\(10\quad[Ω]\) に流れる電流は次のようになります。
\(I_1-I_2=1\quad\rm[A]\)

以上で「キルヒホッフの法則」の説明を終わります。