キルヒホッフの法則の手順

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キルヒホッフの法則の手順

ここでは、具体例を使って、キルヒホッフの法則を使う手順を説明します。
キルヒホッフの第1法則…流入する電流の総和=流出する電流の総和
キルヒホッフの第2法則…閉回路にある起電力の総和は、電圧降下の総和に等しい

 

●手 順1
対象の回路の各枝路電流の大きさ(記号)と、方向を仮定します。仮定の仕方には何通りもあります。
下図に (a)、(b)、(c)の例を示してあります。
ここでは、(a)のように仮定して話を進めます。仮定した枝電流、 $I_1[A]、I_2[A]、I_3[A]$ は、いずれも未知数です。

 

●手 順2
対象となる回路の各起電力の方向(電圧が上がる方向)を矢印で示します。

 

●手 順3
対象となる任意の接続点で、キルヒホッフの第1法則を適用して、方程式を作ります。
接続点Pで、第1法則を適用すると、P点に流入する電流の和 $(I_1+I_3)$ と流出する電流の和 $I_2$ は等しくなります。
$I_1+I_3=I_2[A] \tag{1}$

 

なお、接続点Qで第1法則を適用すると、
$I_2=I_1+I_3 [A] \tag{2}$ となり、(1)式と同じになるので、第1法則は1つの接続点で適用すればよいことがわかります。

 

●手 順4
キルヒホッフの第2法則を適用する閉回路を決めます。
閉回路をたどる方向は、「右回りでも左回り」でもどちらでも構いません。
ここでは、右回りを考えて見ましょう。図のように閉回路はA、B、Cと3つあります。
3つのうち、2つを取れば回路中のすべての枝路が含まれます。
ここでは、閉回路Aと閉回路Bを採用します。

 

●手 順5
対象となる閉回路で、キルヒホッフの第2法則を適用して、方程式を導きます。

 

★Aの閉回路を計算する
起電力は閉回路の方向と電圧が上がる方向が同じなので(+)符号になります。
$+E_1+E_2=+160+30=190[V]$

 

電圧降下は閉回路の方向と電流の方向が同じなので(+)符号になります。
$+I_1R_1+(+I_2R_2)=20I_1+30I_2[V]$

 

従って
$E_1+E_2=I_1R_1+I_2R_2 [V]$

 

$190=20I_1+30I_2[V]$ となります。

 

★Bの閉回路を計算する
閉回路Bでは閉回路をたどる方向と起電力 $E_2、E_3$ の電圧が上がる方向と逆なので、それぞれの起電力は(-)符号になります。
起電力の和は $(-E_2-E_3)=-30-20=-50[V]$ です。
電圧降下は、閉回路をたどる方向と電流 $I_2、I_3$ は共に逆向きなので、(-)符号になります。
電圧降下の和は $(-I_2R_2+(-I_3R_3)=-30I_2-20I_3[V]$ です。

 

従って、$-E_2-E_3=-I_2R_2-I_3R_3 [V]$
$E_2+E_3=I_2R_2+I_3R_3 [V]$
$50=30I_2+20I_3[V]$ となります。

 

●手 順6
これまでに導き出された、それぞれの方程式を解きます。

 

$I_1+I_3=I_2 \tag{1}$

 

$E_1+E_2=I_1R_1+I_2R_2 \tag{2}$

 

$E_2+E_3=I_2R_2+I_3R_3 \tag{3}$

 

$I_2=I_1+I_3 \tag{4}$

 

$190=20I_1+30I_2 \tag{5}$

 

$50=30I_2+20I_3 \tag{6}$

 

この方程式を解くと、次のようになります。
$I_1=5[A]$

 

$I_2=3[A]$

 

$I_3=-2[A]$

 

電流 $I_3$ は(-)符号になりましたので、実際の流れは仮定した方向とは反対になっていることがわかります。

 

キルヒホッフの法則の演習問題

 

演習問題 1

 

<解答>
●回路をたどる方向と電圧が上がる方向は、$E_1、E_2$ が同方向、 $E_3$ が反対方向なので、
起電力の和 $=E_1+E_2-E_3$

 

●回路をたどる方向と電流の流れる方向は、 $I_1、I_2$ が同方向、 $I_3$ が反対方向なので、
電圧降下の和 $=I_1R_1+I_2R_2-I_3R_3$

 

●$E_1+E_2-E_3=I_1R_1+I_2R_2-I_3R_3$ となります。

 

演習問題 2

<解答>
●回路をたどる方向と電圧が上がる方向は、48[V]、24[V]が同方向、12[V]、6[V]が反対方向なので、
起電力の和$=48+24-12-6=54[V]$

 

●回路をたどる方向と電流の流れる方向は、 $I_1、I_2$ が同方向、 $I_3、I_4$ が反対方向なので、電圧降下の和$=20I_1+15I_2-10I_3-5I_4$

 

●$54=20I_1+15I_2-10I_3-5I_4$ となります。

 

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