キルヒホッフの法則の手順

キルヒホッフの第1法則\(\cdots\)流入する電流の総和=流出する電流の総和

キルヒホッフの第2法則\(\cdots\)閉回路にある起電力の総和は、電圧降下の総和に等しい

次のような図を、キルヒホッフの法則で解析する場合の手順を説明します。

キルヒホッフの法則の手順

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  1. 回路の各枝路に流れる電流の向きを決める。
  2. 任意の接続点でキルヒホッフの第1法則を適用する。
  3. 閉回路の方向を決めてキルヒホッフの第2法則を適用する。
  4. 解を求める。

■ 手 順1

対象の回路の各枝路電流の大きさ(記号)と、方向を仮定します。仮定の仕方には何通りもあります。

極端にいえば、電流の方向をどのように決めても構いませんが、次の図のように最も妥当と思われるものにします。

ここで仮定した枝電流、\(I_1、I_2、I_3\) は、いずれも未知数です。

■ 手 順2

接続点 P に第1法則を適用します。

\(I_1+I_3=I_2\) が成立します。

■ 手 順3

キルヒホッフの第2法則を適用する閉回路を決めます。

閉回路をたどる方向は、右回りでも左回り でもどちらでも構いません。

ここでは、右回りを考えて見ましょう。

図のように閉回路は A、B、C と3つあります。

3つのうち、2つを取れば回路中のすべての枝路が含まれます。

ここでは、閉回路 A と閉回路 B を採用します。

★ 閉回路 A

起電力は、起電力の方向と閉回路の方向が同じなので、正になります。

\(+E_1、+E_2\)

電圧降下も、電流の方向と閉回路の方向が同じなので、正になります。

\(+R_1I_1、+R_2I_2\)

\(E_1+E_2=R_1I_1+R_2I_2\)

\(190=20I_1+30I_2\)

★ 閉回路 B

起電力は、起電力の方向と閉回路の方向が逆なので、負になります。

\(-E_2、-E_3\)

電圧降下も、電流の方向と閉回路の方向が逆なので、負になります。

\(-R_2I_2、-R_3I_3\)

\(-E_2-E_3=-R_2I_2-R_3I_3\)

\(-50=-30I_2-20I_3\) 両辺の符号を変えると

\(50=30I_2+20I_3\)

■ 手 順4

これまでに導き出された、それぞれの方程式を解きます。

\(I_1+I_3=I_2 \cdots(1)\)

\(E_1+E_2=I_1R_1+I_2R_2 \cdots(2)\)

\(E_2+E_3=I_2R_2+I_3R_3 \cdots(3)\)

\(I_2=I_1+I_3 \cdots(4)\)

\(190=20I_1+30I_2 \cdots(5)\)

\(50=30I_2+20I_3 \cdots(6)\)

この方程式を解くと、次のようになります。

\(I_1=5\quad\rm[A]\)

\(I_2=3\quad\rm[A]\)

\(I_3=-2\quad\rm[A]\)

電流 \(I_3\) は(-)符号になりましたので、実際の流れは 仮定した方向とは反対 になっていることがわかります。

練習問題

 

問題1

図のような回路 ABC において、キルヒホッフの法則を適用しなさい。

<解 答>

起電力 \(E_1、E_2\) は起電力の方向と閉回路の方向が同じなので正、\(E_3\) は起電力の方向と閉回路の方向が逆なので負になります。

起電力の和は \(E_1+E_2-E_3\) になります。

電圧降下 \(R_1I_1、R_2I_2\) は電流の方向と閉回路の方向が同じなので正、\(R_3I_3\) は電流の方向と閉回路の方向が逆なので負になります。

電圧降下の和は、\(R_1I_1+R_2I_2-R_3I_3\) なので

\(E_1+E_2-E_3=I_1R_1+I_2R_2-I_3R_3\) となります。

問題2

図のような回路 ABCD において、キルヒホッフの法則を適用しなさい。

<解 答>

起電力 \(48V、24V\) は起電力の方向と閉回路の方向が同じなので正、\(12V、6V\) は起電力の方向と閉回路の方向が逆なので負になります。

起電力の和は \(48+24-12-6=54\quad\rm[V]\) になります。

電圧降下 \(20I_1、15I_2\) は電流の方向と閉回路の方向が同じなので正、\(10I_3、5I_4\) は電流の方向と閉回路の方向が逆なので負になります。

電圧降下の和は、\(20I_1+15I_2-10I_3-5I_4\) なので

\(54=20I_1+15I_2-10I_3-5I_4\) となります。

以上で「キルヒホッフの法則の手順」の説明を終わります。