重ね合わせの理




重ね合わせの理

重ね合わせの理とは一つの回路中に、複数の電源(起電力)がある場合、各枝路に流れる電流は、各電源(起電力)がそれぞれ単独にあるときに、その枝路に流れる電流の和に等しいというものです。

次のような、簡単な回路を使って説明します。

上図の回路に流れる電流を求めるという問題ならば、電源の値は \(50V – 20V = 30V\) なので、\(30÷5=6A\) と計算できます。

この問題を「重ね合わせの理」を、使って解くと次のようになります。

左側の電源を計算する

まず、左側の \(50V\) の電源を残して、もう一方の電源を短絡します。

すると、この回路に流れる電流 \(I_1=10\) [A] になります。

右側の電源を計算する

同様にして、こんどは右側の \(20V\) の電源を残して、左側の電源を短絡させます。

すると、この回路に流れる電流 \(I_2=4\) [A] になります。

したがって、元の回路に流れる電流は、\(I=I_1-I_2=10-4=6\) [A] になります。

このように、それぞれの回路の計算をして、あとで重ね合わせる計算方法のことを「重ね合わせの理」といいます。


重ね合わせの理(電圧源と電流源が混在する時)

解析方法
電圧源\(\cdots\)短絡して除去します。
電流源\(\cdots\)開放して除去します。

覚え方
電圧源の内部抵抗は非常に小さいので、短絡する。
電流源の内部抵抗は非常に大きいので、開放する。

図の回路のように、電圧源と電流源が混在する時の解析方法を説明します。
「3Ωの抵抗に流れる電流 \(I\) を求めよ」という問題とします。

考え方
次のように、電圧源だけの回路と電流源だけの回路に分けます。

電圧源だけの回路にする

電流源は 0[A]で内部抵抗が無限大と想定し開放して除去します。

電流源だけの回路にする

電圧源は 0[V]で内部抵抗がゼロと想定し短絡し除去します。

<解答>
この回路の計算すると
\(I_1=\cfrac{4}{3+5}=0.5\) [A]

\(I_2\) は並列接続になっているので、分流の法則から
\(I_2=2×\cfrac{5}{3+5}=1.25\) [A]

3Ωの抵抗に流れる電流 \(I\) は
\(I=I_1-I_2=0.5-1.25=-0.75\) [A] となります。

電流の符号が「マイナス」なので、向きは左向きになります。


計算例

重ね合わせの理を使って、例題を解いて見ましょう。

左側の \(48V\) の電源の回路は次のようになります。各電流を求めます。

合成抵抗は \(R_a=2+\cfrac{2×2}{2+2}=3\) [Ω]

\(I_{1a}=\cfrac{48}{3}=16\) [A]

\(I_{2a}=16×\cfrac{2}{2+2}=8\) [A]

\(I_{3a}=16×\cfrac{2}{2+2}=8\) [A]

同様にして、右側の \(12V\) の電源回路の各電流を求めます。

合成抵抗は \(R_b=2+\cfrac{2×2}{2+2}=3\) [Ω]

\(I_{2b}=\cfrac{12}{3}=4\) [A]

\(I_{1b}=4×\cfrac{2}{2+2}=2\) [A]

\(I_{3b}=4×\cfrac{2}{2+2}=2\) [A]

各枝路の電流 \(I_1・I_2・I_3\) を求める。

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}=16-2=14\) [A]

\(I_2=I_{2a}-I_{2b}=8-4=4\) [A]

\(I_3=I_{3a}+I_{3b}=8+2=10\) [A]

以上で「重ね合わせの理」の説明を終わります。







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