重ね合わせの理

重ね合わせの理は、「複数の電源」がある回路において

回路に流れる電流や電圧を、簡単に求めることができる定理のことです。

重ね合わせの理の手順は、一つの電源を残した回路ごとに電流や電圧を計算します。

回路ごとの計算結果を合成して、目的の結果を求めることができます。

この記事は、重ね合わせの理の手順と使い方を説明します。

重ね合わせの理

重ね合わせの理は、「複数の電源」がある回路において

回路に流れる電流を、簡単に求めることができる定理のことです。

■　重ね合わせの理　を次の回路で説明します。

■　この回路は、電源ごとに次の２つの回路に分けられます。

■　求める電流は、２つの回路に流れる電流の和で求められます。

\(I=I_1+I_2\)　となります。

重ね合わせの理の使い方

具体的な数値で計算すると、理解しやすくなります。

重ね合わせの理　で次の回路を解いて見ます。

電源ごとに流れる電流を計算

重ね合わせの理では回路を、次のように分けて考えます。

■　回路１　50Vの電源を残し、他の電源を短絡します。

回路に流れる電流を求めます。

\(I_1=\cfrac{50}{5}=10\)　[A]

■　回路２　20Vの電源を残し、他の電源を短絡します。

回路に流れる電流を求めます。

\(I_2=\cfrac{20}{5}=4\)　[A]

■　回路に流れる電流を求める。

回路に流れる電流は、２つの回路に流れる電流の和になります。

\(I=I_1+I_2=10-4=6\)　[A]

右向きの電流を「正」とすると
\(I_1\)　は正の値
\(I_2\)　は負の値になります。

重ね合わせの理を電源ごとの回路にする方法

重ね合わせの理で回路を分割する手順を説明します。

回路に流れる電流の記号と向きを決めます。

電流の向きは適当に決めてOKです。
決めた向きと違う場合は値が負になります。

電源　\(E_1\)　を残して、他の電源を短絡します。

電流の記号と向きを決め

各枝路に流れる電流を求めます。

電源　\(E_2\)　を残して、他の電源を短絡します。

電流の記号と向きを決め

各枝路に流れる電流を求めます。

電源ごとに流れる電流の和が求める電流の値です。

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}\)

\(I_2=I_{2b}-I_{2a}\)

\(I_3=I_{3a}+I_{3b}\)

重ね合わせの理（電圧源と電流源が混在する場合）

電圧源と電流源の回路の解き方

次の回路には電圧源と電流源があります。

■　\(3\)　[Ω]　の抵抗に流れる電流　\(I\)　[A]　を求めよ。

＜解答例＞

まず、電圧源だけの回路にします。

電流源は、開放して取り除きます。

回路に流れる電流を計算する。

\(I_1=\cfrac{4}{3+5}=0.5\)　[A]

電流源だけの回路にします。

電圧源は短絡します。

回路に流れる電流を計算する。

\(I_2\)　は抵抗が並列接続になっているので、分流の法則　で求めます。

分流の法則については、こちらの記事が参考になります。

\(I_2=2×\cfrac{5}{3+5}=1.25\)　[A]

回路に流れる電流　\(I\)　は　\(I_1\)　と　\(I_2\)　の和になります。

\(I=I_1+(-I_2)=0.5-1.25=-0.75\)　[A]　になります。

\(3\)　[Ω]　の抵抗に流れる電流　\(I_2\)　は　\(I_1\)　の向きを正方向とすれば
\(I_2\)　は逆方向になっているので　\(I=I_1-I_2\)　になります。

電流　\(I\)　の符号が　マイナス　なので、向きは左向きになります。

練習問題

問題1

重ね合わせの理を使って、次の回路の電流　\(I_1、I_2、I_3\)　を求めよ。

＜解答例＞

左側の　48V　の電源を残して計算します

合成抵抗は　

\(R_a=2+\cfrac{2×2}{2+2}=3\)　[Ω]　

\(I_{1a}=\cfrac{48}{3}=16\)　[A]　

\(I_{2a}=16×\cfrac{2}{2+2}=8\)　[A]　

\(I_{3a}=16×\cfrac{2}{2+2}=8\)　[A]　

右側の　12V　の電源を残して計算します

合成抵抗は

\(R_b=2+\cfrac{2×2}{2+2}=3\)　[Ω]　

\(I_{2b}=\cfrac{12}{3}=4\)　[A]　

\(I_{1b}=4×\cfrac{2}{2+2}=2\)　[A]　

\(I_{3b}=4×\cfrac{2}{2+2}=2\)　[A]　

各枝路の電流を合計して　\(I_1、I_2、I_3\)　を求める。

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}=16-2=14\)　[A]　

\(I_2=I_{2a}-I_{2b}=8-4=4\)　[A]　

\(I_3=I_{3a}+I_{3b}=8+2=10\)　[A]

問題2

電流　\(I_1、I_2、I_3\)　を求めよ。

＜解答例＞

左側の　12V　の電源を残して計算します。

合成抵抗は　

\(R_a=8+\cfrac{4×2}{4+2}=\cfrac{28}{3}\)

\(I_{1a}=\cfrac{9}{7}\)

\(I_{2a}=\cfrac{6}{7}\)

\(I_{3a}=\cfrac{3}{7}\)

右側の電源を残して計算します。

合成抵抗は　

\(R_b=2+\cfrac{8×4}{8+4}=\cfrac{14}{3}\)

\(I_{1b}=\cfrac{4}{7}\)

\(I_{2b}=\cfrac{12}{7}\)

\(I_{3b}=\cfrac{8}{7}\)

各枝路の電流を合計して、　\(I_1、I_2、I_3\)　を求めます。

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}=\cfrac{9}{7}-\cfrac{4}{7}=\cfrac{5}{7}\)　[A]

\(I_2=I_{2b}-I_{2a}=\cfrac{12}{7}-\cfrac{6}{7}=\cfrac{6}{7}\)　[A]

\(I_3=I_{3a}+I_{3b}=\cfrac{3}{7}+\cfrac{8}{7}=\cfrac{11}{7}\)　[A]

問題3

重ね合わせの理を使って、次の回路の電流　\(I_1、I_2、I_3\)　を求めよ。

＜解答例＞

左側の　20V　の電圧源を残して計算します

電流源は開放するので次のような回路になります。

各電流を　\(I_{1a}、I_{3a}\)　とします。

合成抵抗は　

\(R_a=12+4=16\)　[Ω]　

\(I_{1a}=I_{3a}=\cfrac{20}{16}=1.25\)　[A]　

右側の　1A　の電流源を残して計算します

電圧源は短絡するので次のような回路になります。

各電流を　\(I_{1b}、I_{2b}、I_{3b}\)　とします。

\(I_{2b}=1\)　[A]　

\(I_{1b}=1×\cfrac{4}{12+4}=0.25\)　[A]　

\(I_{3b}=1×\cfrac{12}{12+4}=0.75\)　[A]　

各枝路の電流　\(I_1、I_2、I_3\)　を求める。

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}=1.25-0.25=1\)[A]　

\(I_2=I_{2b}=1\)　[A]　

(I_3=I_{3a}+I_{3b}=1.25+0.75=2\)　[A]　

重ね合わせの理のまとめ

重ね合わせの理の利点は

回路中に一つの電源（起電力）しか含まれていないように置きかえるので

抵抗の直列接続、並列接続の回路として扱えるので、計算が簡単になります。

以上で「重ね合わせの理の使い方」の説明を終わります。