この記事で書いていること
ノートンの定理は求めるものが、電圧の時に役立つ定理です。
求めるものが電流の時に使う定理はテブナンの定理です。
この記事はノートンの定理の手順と使い方を説明します。
ノートンの定理とは
テブナンの定理は求めたいものが、電流の場合に使う定理です。
ノートンの定理 は求めるものが 電圧 のときに使うと便利な定理です。
ノートンの定理は、次のような回路の 電圧 \(V\) を求めるときに使います。
ノートンの定理の手順と使い方
ノートンの定理の手順
- 電圧を求めたい部分の抵抗を取り外す。
- 合成コンダクタンス \(G_0\) を求める。（回路内部の電源をすべて短絡する）
- 短絡電流 \(I_0\) を求める。（求めたいところの抵抗を短絡する）
- 電流源の等価回路に変換する。
- 目的の電圧 \(V=\cfrac{I_0}{G_0+G_S}\) [V] を求める。
例 題
★ 図の回路においてノートンの定理を使う手順を説明します。
手 順
１．電圧を求めたい部分の抵抗を取り外します。
２．合成コンダクタンスを求めます。
回路内部の電源をすべて短絡し、端子 ab 間から見たコンダクタンス \(G_0\) （抵抗の逆数）を求めます。
コンダクタンスは抵抗の逆数で \(G\) で表します。
単位は [S] ジーメンスです。
\(G=\cfrac{1}{R}\) [S]
コンダクタンスの並列接続は、各コンダクタンスを足し算すれば良いので
合成コンダクタンスは \(G_0=G_1+G_2\) となります。
３．短絡電流を求めます。
次に電圧を求めたいところの抵抗を短絡し、短絡電流 \(I_0\) を求める。
抵抗 \(R_2\) は短絡されるので、無くして構いません。
４．等価回路に変換します。
合成コンダクタンスと短絡電流から
元の回路は 電流源 の回路に変換することができます。
したがって、求める電圧は
\(V=\cfrac{I_0}{G_0+G_S}\) [V] になります。
練習問題
問題1
次の図のような回路について、ノートンの定理で問題を解いてみましょう。
■ 求めたい部分の抵抗を取り外します。
■ 合成コンダクタンスを求めます。
回路内部の電源をすべて短絡し
端子 ab 間から見た
コンダクタンス \(G_0\) （抵抗の逆数）を求めます。
\(G_1=\cfrac{1}{2}=0.5\)
\(G_2=\cfrac{1}{1}=1\)
\(G_0=G_1+G_2=1.5\) [S]
■ 短絡電流を求める。
抵抗 \(R_S\) があった部分を短絡させます。
抵抗 \(R_S\) を短絡させたので
抵抗 \(R_2\) に流れる電流は \(0\) になります。
短絡電流は
\(I_0=\cfrac{E}{R_1}=\cfrac{6}{2}=3\) [A]
■ 等価回路に変換します。
合成コンダクタンスと短絡電流から
元の回路は 電流源 の回路に変換することができます。
抵抗 \(R_S\) にかかる電圧は
\(V=\cfrac{I_0}{G_0+G_S}=\cfrac{3}{2}=1.5\) [V] になります。
問題2
次の回路の \(R_3\) にかかる電圧をノートンの定理で求めよ。
＜解答例＞
■ 抵抗 \(R_3\) を取り外します。
■ 合成コンダクタンス \(G_0\) を求める。（回路内部の電源をすべて短絡する）
\(G_0=G_1+G_2\)
\(G_0=\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{5}{12}\) [S]
■ 短絡電流 \(I_0\) を求める。
電圧を求めたいところの抵抗を短絡します。
\(I_0=I_1+I_2=\cfrac{E_1}{R_1}+\cfrac{E_2}{R_2}\)
\(I_0=\cfrac{72}{6}+\cfrac{12}{4}=15\) [A]
■ 等価回路に変換します。
\(V=\cfrac{I_0}{G_0+G_3}\)
\(V=\cfrac{15}{\cfrac{5}{12}+\cfrac{1}{3}}\)
\(V=20\) [V]
したがって、抵抗 \(R_3\) にかかる電圧は
\(20\) [V] になります。
問題3
次の回路の、抵抗 \(R\) にかかる電圧 \(V\) をノートンの定理で求めよ。
＜解答例＞
■ 抵抗 \(R\) を取り外します。
■ 合成コンダクタンス \(G_0\) を求める。（回路内部の電源をすべて短絡する）
\(G_0=G_1+G_2\)
\(G_0=\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{30}=\cfrac{2}{30}\ [S]
■ 短絡電流 \(I_0\) を求める。
電圧を求めたいところの抵抗を短絡します。
電流の向きを図のように仮定します。
\(I_1=I_0+I_2\) から \(I_0=I_1-I_2\)
\(I_0=\cfrac{180}{30}-\cfrac{90}{30}=3\) [A]
■ 等価回路に変換します。
\(V=\cfrac{I_0}{G_0+G}\)
\(V=\cfrac{3}{\cfrac{2}{30}+\cfrac{1}{30}}\)
\(V=30\) [V]
したがって、抵抗 \(R\) にかかる電圧は
\(30\) [V] になります。
問題4
次の回路の \(R\) にかかる電圧をノートンの定理で求めよ。
＜解答例＞
■ 抵抗 \(R\) を取り外します。
■ 合成コンダクタンス \(G_0\) を求める。（回路内部の電源をすべて短絡する）
コンダクタンス似する前に、抵抗を整理する。
■ 合成コンダクタンス \(G_0\) を求める。
\(G_0=\cfrac{3}{10}+\cfrac{10}{10}=\cfrac{13}{10}\) [S]
■ 短絡電流 \(I_0\) を求める。
電圧を求めたいところの抵抗を短絡します。
抵抗 \(R\) を短絡するので、\(1) [Ω] の抵抗は無いものと同じになります。
回路に流れる電流は
\(I=\cfrac{9}{2+\cfrac{2×4}{2+4}}\)
\(I=\cfrac{9}{\cfrac{6}{3}+\cfrac{4}{3}}\)
\(I=\cfrac{27}{10}\)
分流の法則を使って
\(I_0=\cfrac{27}{10}×\cfrac{4}{6}=\cfrac{9}{5}\) [A] になります。
■ 等価回路に変換します。
\(V=\cfrac{I_0}{G_0+G}\)
\(V=\cfrac{9}{5}×\cfrac{1}{\cfrac{13}{10}+\cfrac{5}{10}}\)
\(V=\cfrac{9}{5}×\cfrac{10}{18}=1\)
\(V=1\) [V]
したがって、抵抗 \(R\) にかかる電圧は
\(1\) [V] になります。
以上で「ノートンの定理と使い方」の説明を終わります。