三相交流のΔ-Δ結線

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三相交流のΔ-Δ結線

 

Δ結線のまとめ

 

Δ結線の線電流

$$\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}[A]$$
$\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}[A] \tag{4-1-4-1}$
$$\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}[A]$$

 

Δ結線の線電流と相電流の関係

\(線電流=\sqrt{3}×相電流 [A]\tag{4-1-4-2}\)
\(線電流は相電流より、位相が\cfrac{π}{6}遅れる。 \tag{4-1-4-3}\)
\(相電流は線電流より、位相が\cfrac{π}{6}進む。 \tag{4-1-4-4}\)

 

Δ結線の線間電圧と相電圧の関係

\(線間電圧と相電圧は等しい。 \tag{4-1-4-5}\)

 

 

Δ結線の電圧と電流の名称

 

三相交流電源と負荷の接続を、図のように接続したものが、デルタ(Δ)結線、または三角結線です。
端子a-b、b-c、c-aを「相」といい、各相の起電力 \(E_a、E_b、E_c\) を「相電圧」といいます。
また、デルタ結線では各相の相電圧 \(\dot{E_a}、\dot{E_a}、\dot{E_a}\) は、それぞれの線間電圧 \(\dot{V_{ab}}、\dot{V_{bc}}、\dot{V_{ca}}\) と等しくなります。
つまり、デルタ結線では、「相電圧と線間電圧は等しい」となります。
図の中の矢印の向きは、電位の高さを表わしていて、矢印の先の方が電位が高くなります。また、各相の起電力は、互いに $2π/3[rad]$ の位相差があります。

 

Δ結線の相電流と線電流の関係

 

図のように、負荷のインピーダンス \(\dot{Z}\) を三角形に接続したものを、デルタ結線といいます。デルタ結線では、負荷も相電圧と線間電圧は大きさが等しくなります。

 

 

次に各接合点、a,b,c点 の線電流と相電流の関係を調べます

線電流を求めるには、キルヒホッフの第1法則を使います。
線電流 \(\dot{I_a}、\dot{I_b}、\dot{I_c}\) は、電源から負荷に向かう方向を正として考えます。

  • \(a点…\dot{I_a}+\dot{I_{ca}}=\dot{I_{ab}} 従って \dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}\)
  • \(b点…\dot{I_b}+\dot{I_{ab}}=\dot{I_{bc}} 従って \dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}\)
  • \(c点…\dot{I_c}+\dot{I_{bc}}=\dot{I_{ca}} 従って \dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}\)
となります。

 

 

Δ結線の相電流と線電流のベクトル図

 

Δ結線の線電流は相電流より π/6 [rad] 遅れる

線電流 \(\dot{I_a}は \dot{I_a}+\dot{I_{ca}}=\dot{I_{ab}}\) ですから、図のように、ベクトル \(\dot{I_{ca}}\) と同じ大きさで方向が反対のベクトル \(\dot{-I_{ca}}\) を引いて、ベクトル合成をすれば求めることができます。
\(\dot{I_{ab}} と \dot{-I_{ca}}\) の位相差は \(\cfrac{π}{3}[rad]\) ですから、線電流 \(\dot{I_a}\) は相電流 \(\dot{I_{ab}}\) より、その半分の \(\cfrac{π}{6}[rad]\) 遅れになります。

 

 

Δ結線の線電流と相電流のベクトル図

デルタ結線の線電流は
$\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}$

 

$\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}$

 

$\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}$ ですから、\(\dot{I_{ab}}\) を基準にしたベクトル図が次の図になります。

 

線電流 \(\dot{I_a}、\dot{I_b}、\dot{I_c}\) は大きさが同じで互いに \(\cfrac{π}{3}\) の位相差がある対称三相交流です。
また、線電流 \(\dot{I_a}、\dot{I_b}、\dot{I_c}\) が相電流より、それぞれ \(\cfrac{π}{6}\) 遅れています。

 

 

Δ結線では線電流は相電流の ルート3 倍になる

 

Δ結線のベクトル図から線電流を求める

1. 三角形ABOは、辺AOと辺ABが相電流 \(\dot{I_{ab}}と-\dot{I_{ca}}\) なので、大きさが等しく、二等辺三角形になります。
2. P点は底辺BOを二等分します。 \(PO=\cfrac{1}{2}I_a\) になります。 
3. 直角三角形APOで、∠AOPは \(\cfrac{π}{6}[rad]\) になります。

したがって、線電流は次のようになります。
$cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{PO}{AO}=\cfrac{\cfrac{1}{2}I_a}{I_{ab}}$

 

$I_a=2I_{ab}cos\cfrac{π}{6}$

 

$I_a=2×I_{ab}×\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

 

$I_a=\sqrt{3}I_{ab} [A]$

 

ただし、\(cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{\sqrt3}{2}\) は「三角関数の知識」を参照
対称三相交流であれば、各相電流は等しいので、 \(I_{ab}=I_{bc}=I_{ca}\) なので

 

$I_a=\sqrt{3}{I_{ab}} [A]$

 

$I_b=\sqrt{3}{I_{bc}} [A]$

 

$I_c=\sqrt{3}{I_{ca}} [A]$

 

$線電流=\sqrt{3}×相電流[A]$ になります。

 

Δ結線の記号法による相電流と線電流

 

Δ結線の相電流の直交座標表示

デルタ結線の相電流は互いに \(\cfrac{2π}{3}{rad}\) の位相差があり、電流の大きさ \(I\) は等しいので、相電流 \(\dot{I_{ab}}\) を基準にすると次のようになります。
$I_{ab}=I [A]$

 

$I_{bc}=I\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [A]$

 

$I_{ca}=I\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [A]$

 

 

Δ結線の線電流を記号法で求める

 

線電流
$\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}=I-I\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=I\left(\cfrac{3}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [A]$

 

$\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}=I\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-I=I\left(-\cfrac{3}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [A]$

 

$\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}=I\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-I\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=j\sqrt{3}I [A]$

 

 

 

Δ結線閉回路の起電力の和は 0(ゼロ)になる

 

記号法によりΔ結線の閉回路の起電力の和は0(ゼロ)を求める

三相交流のY-Y結線の所で、大きさが等しい対称三相起電力の和が0(ゼロ)になることを、三角関数で説明しましたので、ここでは、記号法により0(ゼロ)になることを説明します。

 

$\dot{E_a}=E [V]$

 

$\dot{E_b}=E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [V]$

 

$\dot{E_c}=E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [V]$

 

従って
$\large{\dot{E_a}+\dot{E_b}+\dot{E_c}=E+E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}=0 [V]$
となります。
このため、電源の対称三相起電力を直列にしたデルタ結線の閉回路には、循環電流は流れません。

 

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