三相交流のデルタ結線

この記事で書いていること

  • デルタ結線の特徴
  • デルタ結線の相電流と線電流の関係
  • デルタ結線の線電流の求め方
  • デルタ結線の閉回路の起電力の和は0(ゼロ)になる
  • 記号法による表示

について説明しています。

目次

デルタ結線の特徴

図は三相交流電源と負荷の接続を デルタ結線(Δ-Δ結線) にしたものです。

相電圧と線間電圧

  1. 端子 \(ab、bc、ca\) の各相を  といいます。
  2. 各相の起電力 \(E_a、E_b、E_c\) を 相電圧 といいます。
  3. 各線間の電圧 \(V_{ab}、V_{bc}、V_{ca}\) を 線間電圧 といいます。

相電流と線電流

  1. 各相を流れる電流 \(I_{ab}、I_{bc}、I_{ca}\) を 相電流 といいます。
  2. 各線を流れる電流 \(I_a、I_b、I_c\) を 線電流 といいます。

■ 重要

デルタ結線では

線電流 (=\sqrt3 ×) 相電流 になります。

相電圧=線間電圧 になります。

線電流 \(I_a、I_b、I_c\) は 相電流 \(I_{ab}、I_{bc}、I_{ca}\) の ルート3倍になります。

線間電圧 \(V_{ab}、V_{bc}、V_{ca}\) は 相電圧 \(E_a、E_b、E_c\) と等しくなります。

図の中の 電圧の矢印の向き は、電位の高さを表していて 矢印の先のほうが電位が高く なります。

また、各相の起電力は、互いに \(\cfrac{2π}{3}\) [rad] ラジアン の位相差があります。

デルタ結線の相電流と線電流の関係

図のように、負荷のインピーダンス \(Z\) を三角形に接続したものを、デルタ結線といいます。

デルタ結線では、相電圧と線間電圧は等しくなります。

■ 各接合点 \(a、b、c\) 点 の 線電流と相電流 の関係を調べます

線電流を求めるには、キルヒホッフの第1法則を使います。

線電流 \(I_a、I_b、I_c\) は 電源から負荷に向かう方向を正 として考えます。

■ \(a\) 点

\(I_a+I_{ca}=I_{ab}\)

\(I_a=I_{ab}-I_{ca}\)

■ \(b\) 点

\(I_b+I_{ab}=I_{bc}\)

\(I_b=I_{bc}-I_{ab}\)

■ \(c\) 点

\(I_c+I_{bc}=I_{ca}\)

\(I_c=I_{ca}-I_{bc}\) となります。

デルタ結線の線電流の求め方

デルタ結線の線電流 \(I_a\) は \(I_{ab}-I_{ca}\) になります。

図のように、ベクトル \(I_{ab}\) とベクトル \(-I_{ca}\) を合成をすれば線電流 \(I_a\) の ベクトル を求めることができます。

\(-I_{ca}\) は \(I_{ca}\) と同じ大きさで、方向が反対のベクトルになります。

\(I_{ab}\) と \(-I_{ca}\) の位相差は \(\cfrac{π}{3}\) ですから、線電流 \(I_a\) は相電流 \(I_{ab}\) より、その半分の \(\cfrac{π}{6}\) 遅れになります。

デルタ結線の線電流は

\(I_a=I_{ab}-I_{ca}\)

\(I_b=I_{bc}-I_{ab}\)

\(I_c=I_{ca}-I_{bc}\) 

\(I_{ab}\) を基準にしたベクトル図

線電流 \(I_a、I_b、I_c\) は大きさが同じで互いに \(\cfrac{2π}{3}\) の 位相差 があります。

線電流 は 相電流 より \(\cfrac{π}{6}\) 遅れています。

デルタ結線の線電流は相電流のルート3倍になる

ベクトル図から デルタ結線の線電流は相電流のルート3倍 になることを求めます。

  1. 三角形ABO は、辺AO と 辺AB が相電流 \(I_{ab}\) と \(-I_{ca}\) なので、大きさが等しい「二等辺三角形」になります。
  2. P点は底辺BO を二等分します。 \(PO=\cfrac{1}{2}I_a\) になります。
    辺POの長さは
    \(PO=\cfrac{1}{2}I_a\) になります。
  3. 直角三角形APO で、∠AOPは \(\cfrac{π}{6}\) ですから
    \(\cos\cfrac{π}{6}\) は、次のようになります。
    \(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{PO}{AO}=\cfrac{\cfrac{1}{2}I_a}{I_{ab}}\cdots(1)\)
  4. 式(1)を変形して \(I_a=\) にすると
    \(I_a=2I_{ab}cos\cfrac{π}{6}\)
    \(=2×I_{ab}×\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\sqrt{3}I_{ab}\)

\(I_a=\sqrt{3}I_{ab}\) になります。

■ メモ

三角関数の値 \(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)

対称三相交流であれば、各相電流は等しくなります。

相電流を \(I_p\) とすると \(I_p=I_{ab}=I_{bc}=I_{ca}\) になります。

\(I_a=\sqrt{3}{I_p}\) [A] 

\(I_b=\sqrt{3}{I_p}\) [A]

\(I_c=\sqrt{3}{I_p}\) [A]

デルタ結線の線電流は

線電流 \(=\sqrt{3}\) × 相電流 になります。

デルタ結線の閉回路の起電力の和は0(ゼロ)になる

大きさが等しい対称三相起電力の和が0(ゼロ)になることを

記号法により0(ゼロ)になることを説明します。

\(E_a=E\) [V] 

\(E_b\)\(=E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V] 

\(E_c\)\(=E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V] 

従って

\(E_a+E_b+E_c\)\(=E+E\left(-\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)\(+E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=0\)

となります。

このため、電源の対称三相起電力を直列にしたデルタ結線の閉回路には、循環電流は流れません。

デルタ結線の相電流と線電流を記号法で求める

デルタ結線の相電流の大きさを \(I\) とすると、各相電流は次のようになります。

\(I_{ab}=I\)

\(I_{bc}=I\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(I_{ca}=I\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

デルタ結線の各相の線電流は、次のようになります。

\(I_a=I_{ab}-I_{ca}\)
\(=I-I(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)
\(=I(\cfrac{3}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)

\(I_b=I_{bc}-I_{ab}\)
\(=I(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})-I\)
\(=I(-\cfrac{3}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)

\(I_c=I_{ca}-I_{bc}\)
\(=I(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2})-I(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)
\(=j\sqrt{3}I\)

デルタ結線のまとめ

デルタ結線の線電流は、次のようになります。

\(I_a=I_{ab}-I_{ca}\)

\(I_b=I_{bc}-I_{ab}\)

\(I_c=I_{ca}-I_{bc}\)

■ デルタ結線の特徴

線電流 \(=\sqrt{3}\) × 相電流\) [A]

線電流は相電流より、位相が \(\cfrac{π}{6}\) [rad] 遅れる。

相電流は線電流より、位相が \(\cfrac{π}{6}\) [rad] 進むと見ることもできます。

また 線間電圧=相電圧 になります。

練習問題

問題1

線間電圧 \(100\) [V] の三相3線式回路において、対称負荷 \(Z=16+j12\) [Ω] を デルタ接続にしてあります。

相電流と線電流を求めよ。

<解答例>

問題文を図に表すと次のようになります。

デルタ結線では、線電流 \(I\) と相電流 \(I_a\) の関係は

\(I=\sqrt{3}I_a\) [A] になります。

相電流は

\(|I_a|=\cfrac{100}{\sqrt{16^2+12^2}}\)\(=\cfrac{100}{20}=5\) [A]

線電流は

\(|I|=\sqrt{3}×I_a=\sqrt{3}×5≒8.66\) [A] になります。

以上で「相交流のデルタ結線」の説明を終わります。

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