三相交流の Δ結線




三相交流電源と負荷の接続を、図のように接続したものが、デルタ(Δ)結線、または三角結線と呼ばれます。

端子a-b、b-c、c-a をといい、各相の起電力 \(E_a、E_b、E_c\) を相電圧といいます。

また、デルタ結線では各相の相電圧 \(\dot{E_a}、\dot{E_a}、\dot{E_a}\) は、それぞれの線間電圧 \(\dot{V}_{ab}、\dot{V}_{bc}、\dot{V}_{ca}\) と等しくなります。

図の中の矢印の向きは、電位の高さを表わしていて、矢印の先の方が電位が高くなります。

各相の位相差
各相の起電力は、互いに \(\cfrac{2π}{3}\) [rad] の位相差があります。

Δ結線の相電流と線電流の関係

図のように、負荷のインピーダンス \(\dot{Z}\) を三角形に接続したものを、デルタ結線といいます。

デルタ結線では、負荷も相電圧と線間電圧は大きさが等しくなります。

●各接合点、a、b、c 点 の線電流と相電流の関係は次のようになります。
線電流を求めるには、キルヒホッフの第1法則を使います。

線電流 \(\dot{I_a}、\dot{I_b}、\dot{I_c}\) は、電源から負荷に向かう方向を正として考えます。

a点\(\cdots\dot{I_a}+\dot{I_{ca}}=\dot{I_{ab}}\)

\(\qquad\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}\)

b点\(\cdots\dot{I_b}+\dot{I_{ab}}=\dot{I_{bc}}\)

\(\qquad\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}\)

c点\(\cdots\dot{I_c}+\dot{I_{bc}}=\dot{I_{ca}}\)

\(\qquad\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}\)

となります。

●Δ結線の線電流の求め方
Δ結線の線電流 \(\dot{I_a}\) は \(\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}\) になりますので、図のように、ベクトル \(\dot{I_{ab}}\) とベクトル \(\dot{-I_{ca}}\) を合成をすれば線電流を求めることができます。
(\(\dot{-I_{ca}}\) は\(\dot{I_{ca}}\) と同じ大きさで、方向が反対のベクトルになります。)

● Δ結線の線電流と相電流のベクトル図
デルタ結線の線電流は

\(\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}\)

\(\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}\)

\(\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}\) 

ですから、\(\dot{I_{ab}}\) を基準にしたベクトル図が、次の図になります。

線電流 \(\dot{I_a}、\dot{I_b}、\dot{I_c}\) は大きさが同じで互いに \(\cfrac{2π}{3}\) の位相差がある対称三相交流です。

Δ結線の電流の位相
線電流 \(\dot{I_a}、\dot{I_b}、\dot{I_c}\) が相電流より、それぞれ \(\cfrac{π}{6}\) 遅れています。

Δ結線の線電流は相電流のルート3倍になる

ベクトル図から線電流を求めると、次のようになります。

1. 三角形ABO は、辺AO と 辺AB が相電流 \(\dot{I_{ab}}\) と \(-\dot{I_{ca}}\) なので、大きさが等しく、二等辺三角形になります。

2. P点は底辺BO を二等分します。 \(PO=\cfrac{1}{2}I_a\) になります。 

3. 直角三角形APO で、∠AOPは \(\cfrac{π}{6}\) [rad] になります。

したがって、線電流は次のようになります。

\(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{PO}{AO}=\cfrac{\cfrac{1}{2}I_a}{I_{ab}}\)

\(I_a=2I_{ab}cos\cfrac{π}{6}\)=\(2×I_{ab}×\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)=\(\sqrt{3}I_{ab}\) [A]

対称三相交流であれば、各相電流は等しくなります。

相電流を \(I_p\) とすると \(I_p=I_{ab}=I_{bc}=I_{ca}\) になります。

\(I_a=\sqrt{3}{I_p}\) [A]

\(I_b=\sqrt{3}{I_p}\) [A]

\(I_c=\sqrt{3}{I_p}\) [A]

Δ結線の線電流
線電流 \(=\sqrt{3}\) × 相電流 [A] になります。
\(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)

三角関数の知識

2018.01.24

Δ結線の線電流を記号法で求める

記号法で各線電流を求めると、次のようになります。

\(\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}\)=\(I-I(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)=\(I(\cfrac{3}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\) [A]

\(\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}\)=\(I(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})-I\)=\(I(-\cfrac{3}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\) [A]

\(\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}\)=\(I(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2})-I(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)=\(j\sqrt{3}I\) [A]

記号法によりΔ結線の閉回路の起電力の和は0(ゼロ)を求める

三相交流のY-Y結線の所で、大きさが等しい対称三相起電力の和が0(ゼロ)になることを

三角関数で説明しましたので、ここでは、記号法により0(ゼロ)になることを説明します。

\(\dot{E_a}=E\) [V]

\(\dot{E_b}=E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V]

\(\dot{E_c}=E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V]

従って

\(\dot{E_a}+\dot{E_b}+\dot{E_c}\)=\(E+E(-\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{3}}{2})+E(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2})=0\)

となります。

このため、電源の対称三相起電力を直列にしたデルタ結線の閉回路には、循環電流は流れません。

●Δ結線の相電流の直交座標表示
デルタ結線の相電流は互いに \(\cfrac{2π}{3}\) [rad] の位相差があり、電流の大きさ \(I\) は等しいので、相電流 \(\dot{I_{ab}}\) を基準にすると次のようになります。

\(I_{ab}=I\) [A]

\(I_{bc}=I\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [A]

\(I_{ca}=I\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [A]  

Δ結線のまとめ

Δ結線の線電流は、次のようになります。
\(\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}\) [A]

\(\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}\) [A]

\(\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}\) [A]

Δ結線の線電流と相電流の関係
線電流 \(=\sqrt{3}\) × 相電流 [A]

線電流は相電流より、位相が \(\cfrac{π}{6}\) 遅れる。

相電流は線電流より、位相が \(\cfrac{π}{6}\) 進む。

Δ結線の線間電圧と相電圧の関係を見ると、線間電圧 と 相電圧は等しくなります。

以上で「三相交流の Δ結線」の説明を終わります。




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