三相交流のデルタ結線

図は三相交流電源と負荷の接続を デルタ結線(Δ-Δ結線) にしたものです。

■ 相電圧と線間電圧

  1. 端子 \(ab、bc、ca\) の各相を  といいます。
  2. 各相の起電力 \(E_a、E_b、E_c\) を 相電圧 といいます。
  3. 各線間の電圧 \(V_{ab}、V_{bc}、V_{ca}\) を 線間電圧 といいます。

■ 相電流と線電流

  1. 各相を流れる電流 \(I_{ab}、I_{bc}、I_{ca}\) を 相電流 といいます。
  2. 各線を流れる電流 \(I_a、I_b、I_c\) を 線電流 といいます。
■ 重要
デルタ結線では
線電流 \(=\sqrt3 ×\) 相電流 になります。

相電圧=線間電圧 になります。

線電流 \(I_a、I_b、I_c\) は 相電流 \(I_{ab}、I_{bc}、I_{ca}\) の ルート3倍になります。

線間電圧 \(V_{ab}、V_{bc}、V_{ca}\) は 相電圧 \(E_a、E_b、E_c\) と等しくなります。

図の中の 電圧の矢印の向き は、電位の高さを表していて 矢印の先のほうが電位が高く なります。

また、各相の起電力は、互いに \(\cfrac{2π}{3}\) [rad] ラジアン の位相差があります。

三相交流回路のデルタ結線は Δ結線 または 三角結線 などと呼ばれます。

デルタ結線の線間電圧と相電圧の関係や線電流と相電流の関係など、また、デルタ結線の表わし方などについて説明をします。

デルタ結線のまとめ

デルタ結線の線電流は、次のようになります。

\(I_a=I_{ab}-I_{ca}\)

\(I_b=I_{bc}-I_{ab}\)

\(I_c=I_{ca}-I_{bc}\)

■ デルタ結線の特徴

線電流 \(=\sqrt{3}\) × 相電流\) [A] 
線電流は相電流より、位相が \(\cfrac{π}{6}\) [rad] 遅れる。
相電流は線電流より、位相が \(\cfrac{π}{6}\) [rad] 進むと見ることもできます。

また 線間電圧=相電圧 になります。

デルタ結線の相電流と線電流の関係

図のように、負荷のインピーダンス \(Z\) を三角形に接続したものを、デルタ結線といいます。

デルタ結線では、相電圧と線間電圧は等しくなります。

■ 各接合点 \(a、b、c\) 点 の 線電流と相電流 の関係を調べます

線電流を求めるには、キルヒホッフの第1法則を使います。

線電流 \(I_a、I_b、I_c\) は 電源から負荷に向かう方向を正 として考えます。

■ \(a\) 点
\(I_a+I_{ca}=I_{ab}\)
\(I_a=I_{ab}-I_{ca}\)

■ \(b\) 点
\(I_b+I_{ab}=I_{bc}\)
\(I_b=I_{bc}-I_{ab}\)

■ \(c\) 点
\(I_c+I_{bc}=I_{ca}\)
\(I_c=I_{ca}-I_{bc}\) となります。

デルタ結線の線電流の求め方

デルタ結線の線電流 \(I_a\) は \(I_{ab}-I_{ca}\) になります。

図のように、ベクトル \(I_{ab}\) とベクトル \(-I_{ca}\) を合成をすれば線電流 \(I_a\) の ベクトル を求めることができます。

\(-I_{ca}\) は \(I_{ca}\) と同じ大きさで、方向が反対のベクトルになります。

\(I_{ab}\) と \(-I_{ca}\) の位相差は \(\cfrac{π}{3}\) ですから、線電流 \(I_a\) は相電流 \(I_{ab}\) より、その半分の \(\cfrac{π}{6}\) 遅れになります。

デルタ結線の線電流は

\(I_a=I_{ab}-I_{ca}\)

\(I_b=I_{bc}-I_{ab}\)

\(I_c=I_{ca}-I_{bc}\) 

ですから、\(I_{ab}\) を基準にしたベクトル図が、次の図になります。

線電流 \(I_a、I_b、I_c\) は大きさが同じで互いに \(\cfrac{2π}{3}\) の 位相差 があります。

線電流 は 相電流 より \(\cfrac{π}{6}\) 遅れています。

デルタ結線の線電流は相電流のルート3倍になる

ベクトル図から デルタ結線の線電流は相電流のルート3倍 になることを求めます。

1.三角形ABO は、辺AO と 辺AB が相電流 \(I_{ab}\) と \(-I_{ca}\) なので、大きさが等しい「二等辺三角形」になります。

2.P点は底辺BO を二等分します。 \(PO=\cfrac{1}{2}I_a\) になります。 
  辺POの長さは
  \(PO=\cfrac{1}{2}I_a\) になります。

3.直角三角形APO で、∠AOPは \(\cfrac{π}{6}\) ですから
  \(\cos\cfrac{π}{6}\) は、次のようになります。
  \(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{PO}{AO}=\cfrac{\cfrac{1}{2}I_a}{I_{ab}}\cdots(1)\)

4.式(1)を変形して \(I_a=\) にすると
  \(I_a=2I_{ab}cos\cfrac{π}{6}\)\(=2×I_{ab}×\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\sqrt{3}I_{ab}\)

\(I_a=\sqrt{3}I_{ab}\) になります。
■ メモ
三角関数の値 \(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)

対称三相交流であれば、各相電流は等しくなります。

相電流を \(I_p\) とすると \(I_p=I_{ab}=I_{bc}=I_{ca}\) になります。

\(I_a=\sqrt{3}{I_p}\) [A] 

\(I_b=\sqrt{3}{I_p}\) [A]

\(I_c=\sqrt{3}{I_p}\) [A]

デルタ結線の線電流は

線電流 \(=\sqrt{3}\) × 相電流 になります。

デルタ結線の相電流と線電流を記号法で求める

デルタ結線の相電流の大きさを \(I\) とすると、各相電流は次のようになります。

\(I_{ab}=I\)

\(I_{bc}=I\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(I_{ca}=I\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

デルタ結線の各相の線電流は、次のようになります。

\(I_a\)\(=I_{ab}-I_{ca}\)\(=I-I(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)\(=I(\cfrac{3}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)

\(I_b\)\(=I_{bc}-I_{ab}\)\(=I(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})-I\)\(=I(-\cfrac{3}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)

\(I_c\)\(=I_{ca}-I_{bc}\)\(=I(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2})-I(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)\(=j\sqrt{3}I\)

デルタ結線の閉回路の起電力の和は0(ゼロ)を求める

三相交流のY-Y結線の所で、大きさが等しい対称三相起電力の和が0(ゼロ)になることを三角関数で説明しました.

ここでは、記号法により0(ゼロ)になることを説明します。

\(E_a=E\) [V] 

\(E_b\)\(=E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V] 

\(E_c\)\(=E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V] 

従って

\(E_a+E_b+E_c\)\(=E+E\left(-\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)\(+E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=0\)

となります。

このため、電源の対称三相起電力を直列にしたデルタ結線の閉回路には、循環電流は流れません。

練習問題

線間電圧 \(100V\) の三相3線式回路において、対称負荷 \(Z=16+j12\quad\rm[Ω]\) を デルタ接続にしてあります。
相電流と線電流を求めよ。

解答例
問題文を図に表すと次のようになります。

デルタ結線では、線電流 \(I\) と相電流 \(I_a\) の関係は

\(I=\sqrt{3}I_a\) [A] になります。

相電流は

\(|I_a|=\cfrac{100}{\sqrt{16^2+12^2}}\)\(=\cfrac{100}{20}=5\) [A]

線電流は

\(|I|=\sqrt{3}×I_a=\sqrt{3}×5≒8.66\) [A] になります。

関連記事 三相交流のスター結線

以上で「三相交流のデルタ結線」の説明を終わります。