三角関数の知識
三角関数とは辺と角度の関数のことをいう。
正弦（サイン・sin）、余弦（コサイン・cos）、正接（タンジェント・tan） これらの関数を「三角関数」といいます。
三角関数の値と逆三角関数の値
逆三角関数とは
三角関数の公式
三角関数と三角関数の逆数
弧度法は角度の大きさを表す
三角関数の値と逆三角関数の値
逆三角関数とは
・三角関数（$\sin・\cos・\tan$）は、角度に対してその数値を求める関数です。
例 $\sin30°=\cfrac{1}{2}$
・これに対して、逆三角関数（$\arcsin・\arccos・\arctan$）は数値に対して角度を求める関数をいいます。
例 $\arcsin \cfrac{1}{2}=\sin^{-1}\cfrac{1}{2}=30°$
$\arcsin$（アークサイン）、$\arccos$（アークコサイン）、$\arctan$（アークタンジェント）のことを、逆三角関数といいます。 また、$\sin^{-1}x$ のように表すこともあります。
$\arcsin x=\sin^{-1}x$
$\arccos x=\cos^{-1}x$
$\arctan x=\tan^{-1}x$
・三角関数と逆三角関数の関係
単位円で見ると
$\sinθ=yのとき、\arcsin y=\sin^{-1}y=θ$となります。
$\cosθ=xのとき、\arccos x=^cos^{-1}x=θ$となります。
$\tanθ=\cfrac{y}{x}のとき、\arctan \cfrac{y}{x}=\tan^{-1}\cfrac{y}{x}=θ$となります。
三角関数の公式
三角関数のいろいろな公式
Δtを非常に小さい時間とした場合の公式
Δtを非常に小さい時間とすると、次のようになります。
$\cosωΔt≒\cos0=1$
$\sinωΔt≒ωΔt$
非常に小さい角度の三角関数
いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度θラジアンに対する、円弧の長さはθ、sinθは赤線の長さ、cosθは青線の長さになる。
従って、角度θの値が0（ゼロ）に近づいて行くと
$θ→0 のとき \sinθ→θ$ （赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く）
$\cosθ→1$ （青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く）
$\tanθ→θ （\tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ）$
加法定理
$\sin(α+β)=\sinα \cosβ+\cosα \sinβ$
$\sin(α-β)=\sinα \cosβ-\cosα \sinβ$
$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$
$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$
$\sinαsinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}$
2倍角の公式
$\sin2α=2\sinα \cosβ$
$\cos2α=\cos^2α-\sin^2α$
$=1-2\sin^2α$
$=2cos^2α-1$
$\sin^2α=\cfrac{1}{2}(1-\cos2α)$
その他
$\sin^2θ+\cos^2θ=1$
$\sin(-θ)=-\sinθ$
$\cos(-θ)=\cosθ$
$\tan(-θ)=-\tanθ$
三角関数と三角関数の逆数
sin（サイン）・cos（コサイン）・tan（タンジェント）の覚え方
図のように、アルファベットの筆記体の書き順で覚えると良いとおもいます。
三角関数のsin・cos・tan（正弦・余弦・正接）
・三角関数は、直角三角形ABCにおいて、次のように定義されます。
$$\sinθ=\cfrac{b}{c} 、 \cosθ=\cfrac{a}{c} 、 \tanθ=\cfrac{b}{a}$$
三角関数の逆数
・三角関数の逆数は、sec（セカント）、csc（コセカント）、cot（コタンジェント）といいます。
$$\secθ=\cfrac{1}{\cos θ} 、 \cscθ=\cfrac{1}{\sin θ} 、 \cotθ=\cfrac{1}{\tan θ}$$
三角関数のtanθの定義
tanθは次のように表せます。
$$ \tanθ=\cfrac{b}{a}=\frac{\cfrac{b}{c}}{\cfrac{a}{c}}=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}$$
また、同様に次のようになります。
$$ \sinθ=\tanθ\cosθ 、 \cosθ=\cfrac{\sinθ}{\tanθ}$$
単位円の座標と三角関数
三角関数を単位円で見てみましょう。
図のように、原点Oを中心とする半径1の円を「単位円」といいます。
直角三角形POQで、角θに対する三角関数は、次のとおりです。
$$\cosθ=\cfrac{x}{OP}=\cfrac{x}{1}…x=\cosθ$$
$$\sinθ=\cfrac{y}{OP}=\cfrac{y}{1}…y=sinθ$$
従って、P点の座標(x,y) は ($\cosθ,\sinθ$) で表されます。
特殊な角度の三角関数の値
角度30°の場合
角度60°の場合
角度45°の場合
角度0°と角度90°の場合
角度が0°または90°のときの三角関数はどうなるか見て見ましょう。
図のような、半径が1の単位円で角θの三角関数の値を調べます。
半径OPおよびOSは1であり、ΔPOSとΔTOSは相似です。
$\sinθ=\cfrac{PQ}{OP}=PQ$
$\cosθ=\cfrac{OQ}{OP}=OQ$
$\tanθ=\cfrac{TS}{OS}=TS$ です。
いま、θが小さくなって、0に近づくと
$PQ→0$
$OQ→1$
$TS→0$
従って
$\sinθ=0$
$\cosθ=1$
$\tanθ=0$ になります。
次に、θが大きくなって、90°に近づくと
$PQ→1$
$OQ→0$
$TS→∞$
従って
$\sinθ=1$
$\cosθ=0$
$\tanθ=∞$ になります。
弧度法は角度の大きさを表す
・円の「弧」の長さと中心角との関係で角度を表すのが「弧度法」です
図のように、半径の異なる円において、「半径と等しい弧の長さ」に対する中心角θの大きさは、半径の長さに関係なく一定になる。
この角度θの大きさを「1ラジアン」として、角度を表す方法を「弧度法」といい、単位として [rad] （ラジアン）を用います。
・中心角は弧の長さに比例する
図のように、半径ｒの円において、長さｌの円弧に対する中心角θの大きさは、弧の長さに比例する。
円の「弧の長さｌ＝半径ｒ」のときの角度は1[rad]です。
$\cfrac{l}{r}=\cfrac{θ}{1}$
$l=rθ \tag{1}$
半円のときの中心角をθ[rad] とすると弧の長さ $ l$ は
$l=πr\tag{2}$
式（2）を式（1）に代入すると
$πr=rθ$
$θ=π[rad]$
半円に対する中心角は180°なので
$180°=π[rad]$ となります。