三角関数の知識

三角関数とは 辺と角度の関数 のことで、正弦(サイン・sin)、余弦(コサイン・cos)、正接(タンジェント・tan)などの関数を 三角関数 といいます。

三角関数の値



三角関数(\(\sin・\cos・\tan\))は、角度に対してその数値を求める関数です。

例 \(\sin30°=\cfrac{1}{2}\)

逆三角関数の値



逆三角関数(\(\arcsin・\arccos・\arctan\))は数値に対して角度を求める関数をいいます。

例 \(\arcsin \cfrac{1}{2}=\sin^{-1}\cfrac{1}{2}\)=30°

★ \(\arcsin\)(アークサイン)、\(\arccos\)(アークコサイン)、\(\arctan\)(アークタンジェント)のことを、逆三角関数といいます。

★ \(\sin^{-1}x\) のように表すこともあります。

\(\sin^{-1}x=\arcsin x\)
\(\cos^{-1}x=\arccos x\)
\(\tan^{-1}x=\arctan x\)

三角関数と逆三角関数の関係

単位円で見ると
\(\sinθ=y\) のとき、\(\arcsin y=\sin^{-1}y=θ\) となります。
\(\cosθ=x\) のとき、\(\arccos x=^cos^{-1}x=θ\) となります。
\(\tanθ=\cfrac{y}{x}\) のとき、\(\arctan \cfrac{y}{x}=\tan^{-1}\cfrac{y}{x}=θ\) となります。

三角関数の公式

 

\(π\) [rad] の公式

\(\cfrac{π}{2}\) [rad] の公式

■ \(+\cfrac{π}{2}\) [rad] の公式

■ \(-\cfrac{π}{2}\) [rad] の公式

三角関数の合成

\(A\sinθ+B\cosθ=\sqrt{A^2+B^2}\sin(θ+α)\)

 

三角関数の微分

\((\sin x)’=\cos x\) 
\((\cos x)’=-\sin x\)

\(a\) を定数とすると
\((\sin ax)’=a \cos ax\) 
\((\cos ax)’=-a \sin ax\)

三角関数の積分

\(∫\sin x dx=-\cos x\) 
\(∫\cos x dx=\sin x\)

\(∫\sin ωt dt=-\cfrac{1}{ω}\cos ωt\) 
\(∫\cos ωt dt=\cfrac{1}{ω}\sin ωt\)

加法定理

2倍角の公式

三角関数と三角関数の逆数

■ sin(サイン)・cos(コサイン)・tan(タンジェント)の覚え方

図のように、アルファベットの筆記体の書き順で覚えると良いとおもいます。

■ 三角関数のsin・cos・tan(正弦・余弦・正接)

三角関数は、直角三角形ABCにおいて、次のように定義されます。

\(\sinθ=\cfrac{b}{c}\)

\(\cosθ=\cfrac{a}{c}\)

\(\tanθ=\cfrac{b}{a}\)

三角関数の逆数

■ 三角関数の逆数は、sec(セカント)、csc(コセカント)、cot(コタンジェント)といいます。

\(\secθ=\cfrac{1}{\cos θ}\)

\(\cscθ=\cfrac{1}{\sin θ}\)

\(\cotθ=\cfrac{1}{\tan θ}\)

■ 三角関数のtanθの定義

tanθは次のように表せます。

\(\tanθ=\cfrac{b}{a}=\frac{\cfrac{b}{c}}{\cfrac{a}{c}}=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}\)

また、同様に次のようになります。

\(\sinθ=\tanθ\cosθ\)

\(\cosθ=\cfrac{\sinθ}{\tanθ}\)

単位円の座標と三角関数

三角関数を単位円で見てみましょう。

図のように、原点O を中心とする半径1 の円を 「単位円」 といいます。

直角三角形POQ で、角θに対する三角関数は、次のとおりです。

\(\cosθ=\cfrac{x}{OP}=\cfrac{x}{1}…x=\cosθ\)

\(\sinθ=\cfrac{y}{OP}=\cfrac{y}{1}…y=\sinθ\)

従って、P点の座標 (x,y) は (\(\cosθ,\sinθ\)) で表されます。

■ 特殊な角度の三角関数の値

★ 角度30°の場合

★ 角度60°の場合

★ 角度45°の場合

■ 角度0°と角度90°の場合

角度が0° または90° のときの三角関数はどうなるか見て見ましょう。

図のような、半径が1 の単位円で角θの三角関数の値を調べます。

半径OP およびOS は1 であり、ΔPOS と ΔTOS は相似です。

\(\sinθ=\cfrac{PQ}{OP}=PQ\)

\(\cosθ=\cfrac{OQ}{OP}=OQ\)

\(\tanθ=\cfrac{TS}{OS}=TS\)

いま、\(θ\) が小さくなって、0 に近づくと

\(PQ→0\)

\(OQ→1\)

\(TS→0\)

従って

\(\sinθ=0\)

\(\cosθ=1\)

\(\tanθ=0\)

になります。

次に、\(θ\) が大きくなって、90° に近づくと

\(PQ→1\)

\(OQ→0\)

\(TS→∞\)

従って

\(\sinθ=1\)

\(\cosθ=0\)

\(\tanθ=∞\)

になります。

弧度法は角度の大きさを表す

■ 円の「弧」の長さと中心角との関係で角度を表すのが「弧度法」です。

図のように、半径の異なる円において、 半径と等しい弧の長さ に対する中心角θの大きさは、半径の長さに関係なく一定になります。

この角度θの大きさを 1ラジアン として、角度を表す方法を 弧度法 といい、単位として [rad](ラジアン)を用います。

■ 中心角は弧の長さに比例する

図のように、半径 \(r\) の円において、長さ \(l\) 円弧に対する中心角 \(θ\) の大きさは、弧の長さに比例する。

円の \(弧の長さl=半径r\) のときの角度は 1 [rad] です。

\(\cfrac{l}{r}=\cfrac{θ}{1}\)

\(l=rθ\)\(\cdots(1)\)

半円のときの中心角を \(θ\quad\rm[rad]\) とすると弧の長さ \(l\) は

\(l=πr\)\(\cdots(2)\)

式(2)を式(1)に代入すると

\(πr=rθ\)

\(θ=π\quad\rm[rad]\)

半円に対する中心角は 180° なので

\(180°=π\quad\rm[rad]\) となります。

以上で「三角関数の知識」の説明を終わります。