三角関数の知識

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三角関数の知識

三角関数とは辺と角度の関数のことをいう。
正弦(サイン・sin)、余弦(コサイン・cos)、正接(タンジェント・tan) これらの関数を「三角関数」といいます。

 

三角関数の値と逆三角関数の値
逆三角関数とは
三角関数の公式
三角関数と三角関数の逆数
弧度法は角度の大きさを表す


三角関数の値と逆三角関数の値

 

三角関数の値と逆三角関数の値を一覧にまとめてあります





逆三角関数とは

 

・三角関数($\sin・\cos・\tan$)は、角度に対してその数値を求める関数です。
例 $\sin30°=\cfrac{1}{2}$

 

・これに対して、逆三角関数($\arcsin・\arccos・\arctan$)は数値に対して角度を求める関数をいいます。
例 $\arcsin \cfrac{1}{2}=\sin^{-1}\cfrac{1}{2}=30°$

 

$\arcsin$(アークサイン)、$\arccos$(アークコサイン)、$\arctan$(アークタンジェント)のことを、逆三角関数といいます。 また、$\sin^{-1}x$ のように表すこともあります。
  $\arcsin x=\sin^{-1}x$
  $\arccos x=\cos^{-1}x$
  $\arctan x=\tan^{-1}x$

 

・三角関数と逆三角関数の関係
単位円で見ると
  $\sinθ=yのとき、\arcsin y=\sin^{-1}y=θ$となります。

 

  $\cosθ=xのとき、\arccos x=^cos^{-1}x=θ$となります。

 

  $\tanθ=\cfrac{y}{x}のとき、\arctan \cfrac{y}{x}=\tan^{-1}\cfrac{y}{x}=θ$となります。

 




三角関数の公式

 

三角関数のいろいろな公式

 

Δtを非常に小さい時間とした場合の公式

Δtを非常に小さい時間とすると、次のようになります。
  $\cosωΔt≒\cos0=1$

 

  $\sinωΔt≒ωΔt$

 

非常に小さい角度の三角関数

いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度θラジアンに対する、円弧の長さはθ、sinθは赤線の長さ、cosθは青線の長さになる。

従って、角度θの値が0(ゼロ)に近づいて行くと
  $θ→0 のとき \sinθ→θ$ (赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)
  $\cosθ→1$ (青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)
  $\tanθ→θ (\tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ)$

 

 

加法定理

  $\sin(α+β)=\sinα \cosβ+\cosα \sinβ$
  $\sin(α-β)=\sinα \cosβ-\cosα \sinβ$
  $\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$
  $\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$
  $\sinαsinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}$

 

 

2倍角の公式

  $\sin2α=2\sinα \cosβ$
  $\cos2α=\cos^2α-\sin^2α$
   $=1-2\sin^2α$
   $=2cos^2α-1$
  $\sin^2α=\cfrac{1}{2}(1-\cos2α)$

 

 

その他

  $\sin^2θ+\cos^2θ=1$
  $\sin(-θ)=-\sinθ$
  $\cos(-θ)=\cosθ$
  $\tan(-θ)=-\tanθ$



三角関数と三角関数の逆数

 

 sin(サイン)・cos(コサイン)・tan(タンジェント)の覚え方

図のように、アルファベットの筆記体の書き順で覚えると良いとおもいます。

 

 

三角関数のsin・cos・tan(正弦・余弦・正接)

・三角関数は、直角三角形ABCにおいて、次のように定義されます。
$$\sinθ=\cfrac{b}{c} 、 \cosθ=\cfrac{a}{c} 、 \tanθ=\cfrac{b}{a}$$

 

 

三角関数の逆数

・三角関数の逆数は、sec(セカント)、csc(コセカント)、cot(コタンジェント)といいます。
$$\secθ=\cfrac{1}{\cos θ} 、 \cscθ=\cfrac{1}{\sin θ} 、 \cotθ=\cfrac{1}{\tan θ}$$

 

 

三角関数のtanθの定義

tanθは次のように表せます。
$$ \tanθ=\cfrac{b}{a}=\frac{\cfrac{b}{c}}{\cfrac{a}{c}}=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}$$
また、同様に次のようになります。
$$ \sinθ=\tanθ\cosθ 、 \cosθ=\cfrac{\sinθ}{\tanθ}$$

 

 

単位円の座標と三角関数

三角関数を単位円で見てみましょう。

図のように、原点Oを中心とする半径1の円を「単位円」といいます。
直角三角形POQで、角θに対する三角関数は、次のとおりです。
$$\cosθ=\cfrac{x}{OP}=\cfrac{x}{1}…x=\cosθ$$
$$\sinθ=\cfrac{y}{OP}=\cfrac{y}{1}…y=sinθ$$
従って、P点の座標(x,y) は ($\cosθ,\sinθ$) で表されます。

 

 

 

特殊な角度の三角関数の値

角度30°の場合

 

角度60°の場合

 

角度45°の場合

 

角度0°と角度90°の場合

角度が0°または90°のときの三角関数はどうなるか見て見ましょう。
図のような、半径が1の単位円で角θの三角関数の値を調べます。
半径OPおよびOSは1であり、ΔPOSとΔTOSは相似です。
  $\sinθ=\cfrac{PQ}{OP}=PQ$
  $\cosθ=\cfrac{OQ}{OP}=OQ$
  $\tanθ=\cfrac{TS}{OS}=TS$ です。

 

いま、θが小さくなって、0に近づくと
  $PQ→0$
  $OQ→1$
  $TS→0$
従って
  $\sinθ=0$
  $\cosθ=1$
  $\tanθ=0$ になります。

 

次に、θが大きくなって、90°に近づくと
  $PQ→1$
  $OQ→0$
  $TS→∞$
従って
  $\sinθ=1$
  $\cosθ=0$
  $\tanθ=∞$ になります。



弧度法は角度の大きさを表す

 

・円の「弧」の長さと中心角との関係で角度を表すのが「弧度法」です
図のように、半径の異なる円において、「半径と等しい弧の長さ」に対する中心角θの大きさは、半径の長さに関係なく一定になる。
この角度θの大きさを「1ラジアン」として、角度を表す方法を「弧度法」といい、単位として [rad] (ラジアン)を用います。

 

・中心角は弧の長さに比例する
図のように、半径rの円において、長さlの円弧に対する中心角θの大きさは、弧の長さに比例する。

 

円の「弧の長さl=半径r」のときの角度は1[rad]です。
  $\cfrac{l}{r}=\cfrac{θ}{1}$

 

$l=rθ \tag{1}$
半円のときの中心角をθ[rad] とすると弧の長さ $ l$ は
$l=πr\tag{2}$
式(2)を式(1)に代入すると
  $πr=rθ$
  $θ=π[rad]$
半円に対する中心角は180°なので
  $180°=π[rad]$ となります。

 

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