三角関数の知識

スポンサーリンク



三角関数の知識

三角関数とは辺と角度の関数のことをいう。
正弦(サイン・sin)、余弦(コサイン・cos)、正接(タンジェント・tan) これらの関数を「三角関数」といいます。

三角関数の値と逆三角関数の値

三角関数の値と逆三角関数の値を一覧にまとめてあります。

逆三角関数とは

・三角関数($\sin・\cos・\tan$)は、角度に対してその数値を求める関数です。

例 $\sin30°=\cfrac{1}{2}$

・これに対して、逆三角関数($\arcsin・\arccos・\arctan$)は数値に対して角度を求める関数をいいます。

例 $\arcsin \cfrac{1}{2}=\sin^{-1}\cfrac{1}{2}=30°$

$\arcsin$(アークサイン)、$\arccos$(アークコサイン)、$\arctan$(アークタンジェント)のことを、逆三角関数といいます。

また、$\sin^{-1}x$ のように表すこともあります。
$$\arcsin x=\sin^{-1}x$$ $$\arccos x=\cos^{-1}x$$ $$\arctan x=\tan^{-1}x$$

・三角関数と逆三角関数の関係
単位円で見ると
$\sinθ=y$のとき、$\arcsin y=\sin^{-1}y=θ$となります。
$\cosθ=x$のとき、$\arccos x=^cos^{-1}x=θ$となります。
$\tanθ=\cfrac{y}{x}$のとき、$\arctan \cfrac{y}{x}=\tan^{-1}\cfrac{y}{x}=θ$となります。

三角関数の公式

Δtを非常に小さい時間とした場合の公式
Δtを非常に小さい時間とすると、次のようになります。
$$\cosωΔt≒\cos0=1$$ $$\sinωΔt≒ωΔt$$

非常に小さい角度の三角関数

いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度θラジアンに対する、円弧の長さはθ、sinθは赤線の長さ、cosθは青線の長さになる。

従って、角度θの値が0(ゼロ)に近づいて行くと
$θ→0$ のとき $\sinθ→θ$ (赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)
$\cosθ→1$ (青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)
$$\tanθ→θ (\tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ)$$

加法定理

$$\sin(α+β)=\sinα \cosβ+\cosα \sinβ$$ $$\sin(α-β)=\sinα \cosβ-\cosα \sinβ$$ $$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$$ $$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$$ $$\sinαsinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}$$

2倍角の公式

$$\sin2α=2\sinα \cosβ$$ $$\cos2α=\cos^2α-\sin^2α$$ $$\cos2α=1-2\sin^2α$$ $$\cos2α=2cos^2α-1$$ $$\sin^2α=\cfrac{1}{2}(1-\cos2α)$$

その他

$$\sin^2θ+\cos^2θ=1$$ $$\sin(-θ)=-\sinθ$$ $$\cos(-θ)=\cosθ$$ $$\tan(-θ)=-\tanθ$$

三角関数と三角関数の逆数

 sin(サイン)・cos(コサイン)・tan(タンジェント)の覚え方

図のように、アルファベットの筆記体の書き順で覚えると良いとおもいます。

三角関数のsin・cos・tan(正弦・余弦・正接)

・三角関数は、直角三角形ABCにおいて、次のように定義されます。

$$\sinθ=\cfrac{b}{c} 、 \cosθ=\cfrac{a}{c} 、 \tanθ=\cfrac{b}{a}$$

三角関数の逆数

・三角関数の逆数は、sec(セカント)、csc(コセカント)、cot(コタンジェント)といいます。

$$\secθ=\cfrac{1}{\cos θ} 、 \cscθ=\cfrac{1}{\sin θ} 、 \cotθ=\cfrac{1}{\tan θ}$$

三角関数のtanθの定義

tanθは次のように表せます。
$$ \tanθ=\cfrac{b}{a}=\frac{\cfrac{b}{c}}{\cfrac{a}{c}}=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}$$

また、同様に次のようになります。

$$ \sinθ=\tanθ\cosθ 、 \cosθ=\cfrac{\sinθ}{\tanθ}$$

単位円の座標と三角関数

三角関数を単位円で見てみましょう。

図のように、原点Oを中心とする半径1の円を「単位円」といいます。

直角三角形POQで、角θに対する三角関数は、次のとおりです。

$$\cosθ=\cfrac{x}{OP}=\cfrac{x}{1}…x=\cosθ$$ $$\sinθ=\cfrac{y}{OP}=\cfrac{y}{1}…y=sinθ$$

従って、P点の座標(x,y) は ($\cosθ,\sinθ$) で表されます。

特殊な角度の三角関数の値

角度30°の場合

角度60°の場合

角度45°の場合

角度0°と角度90°の場合

角度が0°または90°のときの三角関数はどうなるか見て見ましょう。

図のような、半径が1の単位円で角θの三角関数の値を調べます。

半径OPおよびOSは1であり、ΔPOSとΔTOSは相似です。

$$\sinθ=\cfrac{PQ}{OP}=PQ$$ $$\cosθ=\cfrac{OQ}{OP}=OQ$$ $$\tanθ=\cfrac{TS}{OS}=TS$$
いま、$θ$ が小さくなって、0 に近づくと
$$PQ→0$$ $$OQ→1$$ $$TS→0$$

従って
$$\sinθ=0$$ $$\cosθ=1$$ $$\tanθ=0$$
になります。

次に、$θ$ が大きくなって、90°に近づくと
$$PQ→1$$ $$OQ→0$$ $$TS→∞$$

従って
$$\sinθ=1$$ $$\cosθ=0$$ $$\tanθ=∞$$
になります。

弧度法は角度の大きさを表す

・円の「弧」の長さと中心角との関係で角度を表すのが「弧度法」です。

図のように、半径の異なる円において、「半径と等しい弧の長さ」に対する中心角θの大きさは、半径の長さに関係なく一定になります。

この角度θの大きさを「1ラジアン」として、角度を表す方法を「弧度法」といい、単位として [rad] (ラジアン)を用います。

・中心角は弧の長さに比例する
図のように、半径rの円において、長さlの円弧に対する中心角θの大きさは、弧の長さに比例する。

円の「弧の長さl=半径r」のときの角度は1[rad]です。
$$\cfrac{l}{r}=\cfrac{θ}{1}$$ $$l=rθ \tag{1}$$

半円のときの中心角を$θ$[rad] とすると弧の長さ $ l$ は
$$l=πr\tag{2}$$

式(2)を式(1)に代入すると
$$πr=rθ$$ $$θ=π[rad]$$

半円に対する中心角は180°なので
$$180°=π[rad]$$ 
となります。

以上で「三角関数の知識」の説明を終わります。

スポンサーリンク