三角関数の知識

1 三角関数の知識
2 三角関数と三角関数の逆数
- 2.1 三角関数の逆数
- 2.2 単位円の座標と三角関数
3 弧度法は角度の大きさを表す

三角関数とは辺と角度の関数のことをいう。
正弦（サイン・sin）、余弦（コサイン・cos）、正接（タンジェント・tan）　これらの関数を「三角関数」といいます。

三角関数の値と逆三角関数の値

三角関数の値と逆三角関数の値を一覧にまとめてあります。

逆三角関数とは

・三角関数（$\sin・\cos・\tan$）は、角度に対してその数値を求める関数です。

例　$\sin30°=\cfrac{1}{2}$

・これに対して、逆三角関数（$\arcsin・\arccos・\arctan$）は数値に対して角度を求める関数をいいます。

例　$\arcsin \cfrac{1}{2}=\sin^{-1}\cfrac{1}{2}$＝30°

$\arcsin$（アークサイン）、$\arccos$（アークコサイン）、$\arctan$（アークタンジェント）のことを、逆三角関数といいます。

また、$\sin^{-1}x$ のように表すこともあります。

$\arcsin x=\sin^{-1}x$

$\arccos x=\cos^{-1}x$

$\arctan x=\tan^{-1}x$

・三角関数と逆三角関数の関係
単位円で見ると

$\sinθ=y$ のとき、$\arcsin y=\sin^{-1}y=θ$ となります。

$\cosθ=x$ のとき、$\arccos x=^cos^{-1}x=θ$ となります。

$\tanθ=\cfrac{y}{x}$ のとき、$\arctan \cfrac{y}{x}=\tan^{-1}\cfrac{y}{x}=θ$ となります。

三角関数の公式

Δtを非常に小さい時間とした場合の公式
Δtを非常に小さい時間とすると、次のようになります。

$\cosωΔt≒\cos0=1$

$\sinωΔt≒ωΔt$

非常に小さい角度の三角関数

いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度θラジアンに対する、円弧の長さはθ、sinθは赤線の長さ、cosθは青線の長さになる。

従って、角度θ の値が0（ゼロ）に近づいて行くと

$θ→0$ のとき $\sinθ→θ$（赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く）

$\cosθ→1$（青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く）

$\tanθ→θ$（$\tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ$）

加法定理

$\sin(α+β)=\sinα \cosβ+\cosα \sinβ$

$\sin(α-β)=\sinα \cosβ-\cosα \sinβ$

$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$

$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$

$\sinαsinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}$

2倍角の公式

$\sin2α=2\sinα \cosβ$

$\cos2α=\cos^2α-\sin^2α$

$\cos2α=1-2\sin^2α$

$\cos2α=2cos^2α-1$

$\sin^2α=\cfrac{1}{2}(1-\cos2α)$

その他

$\sin^2θ+\cos^2θ=1$

$\sin(-θ)=-\sinθ$

$\cos(-θ)=\cosθ$

$\tan(-θ)=-\tanθ$

三角関数と三角関数の逆数

　sin（サイン）・cos（コサイン）・tan（タンジェント）の覚え方

図のように、アルファベットの筆記体の書き順で覚えると良いとおもいます。

三角関数のsin・cos・tan（正弦・余弦・正接）

・三角関数は、直角三角形ABCにおいて、次のように定義されます。

$\sinθ=\cfrac{b}{c}$

$\cosθ=\cfrac{a}{c}$

$\tanθ=\cfrac{b}{a}$

三角関数の逆数

・三角関数の逆数は、sec（セカント）、csc（コセカント）、cot（コタンジェント）といいます。

$\secθ=\cfrac{1}{\cos θ}$

$\cscθ=\cfrac{1}{\sin θ}$

$\cotθ=\cfrac{1}{\tan θ}$

三角関数のtanθの定義

tanθは次のように表せます。
$\tanθ=\cfrac{b}{a}=\frac{\cfrac{b}{c}}{\cfrac{a}{c}}=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}$

また、同様に次のようになります。

$\sinθ=\tanθ\cosθ$

$\cosθ=\cfrac{\sinθ}{\tanθ}$

単位円の座標と三角関数

三角関数を単位円で見てみましょう。

図のように、原点O を中心とする半径1 の円を 「単位円」 といいます。

直角三角形POQ で、角θに対する三角関数は、次のとおりです。

$\cosθ=\cfrac{x}{OP}=\cfrac{x}{1}…x=\cosθ$

$\sinθ=\cfrac{y}{OP}=\cfrac{y}{1}…y=\sinθ$

従って、P点の座標 (x,y) は ($\cosθ,\sinθ$)　で表されます。

特殊な角度の三角関数の値

角度30°の場合

角度60°の場合

角度45°の場合

角度0°と角度90°の場合

角度が0° または90° のときの三角関数はどうなるか見て見ましょう。

図のような、半径が1 の単位円で角θの三角関数の値を調べます。

半径OP およびOS は1 であり、ΔPOS と ΔTOS は相似です。

$\sinθ=\cfrac{PQ}{OP}=PQ$

$\cosθ=\cfrac{OQ}{OP}=OQ$

$\tanθ=\cfrac{TS}{OS}=TS$

いま、$θ$ が小さくなって、0 に近づくと

$PQ→0$

$OQ→1$

$TS→0$

従って

$\sinθ=0$

$\cosθ=1$

$\tanθ=0$

になります。

次に、$θ$ が大きくなって、90° に近づくと

$PQ→1$

$OQ→0$

$TS→∞$

従って

$\sinθ=1$

$\cosθ=0$

$\tanθ=∞$

になります。

弧度法は角度の大きさを表す

・円の「弧」の長さと中心角との関係で角度を表すのが「弧度法」です。

図のように、半径の異なる円において、「半径と等しい弧の長さ」に対する中心角θの大きさは、半径の長さに関係なく一定になります。

この角度θの大きさを「1ラジアン」として、角度を表す方法を「弧度法」といい、単位として [rad]（ラジアン）を用います。

・中心角は弧の長さに比例する
図のように、半径ｒの円において、長さｌの円弧に対する中心角 θ の大きさは、弧の長さに比例する。

円の「弧の長さｌ＝半径ｒ」のときの角度は 1 [rad] です。

$\cfrac{l}{r}=\cfrac{θ}{1}$

$l=rθ$$\cdots(1)$

半円のときの中心角を $θ$ [rad]　とすると弧の長さ $l$ は
$l=πr$$\cdots(2)$

式（2）を式（1）に代入すると

$πr=rθ$

$θ=π$ [rad]

半円に対する中心角は 180° なので
$180°=π$ [rad] となります。

以上で「三角関数の知識」の説明を終わります。