三角関数の知識




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三角関数の知識

三角関数とは辺と角度の関数のことをいう。
正弦(サイン・sin)、余弦(コサイン・cos)、正接(タンジェント・tan) これらの関数を「三角関数」といいます。

三角関数の値と逆三角関数の値

三角関数の値と逆三角関数の値を一覧にまとめてあります。

逆三角関数とは

・三角関数(\(\sin・\cos・\tan\))は、角度に対してその数値を求める関数です。

例 \(\sin30°=\cfrac{1}{2}\)

・これに対して、逆三角関数($\arcsin・\arccos・\arctan$)は数値に対して角度を求める関数をいいます。

例 \(\arcsin \cfrac{1}{2}=\sin^{-1}\cfrac{1}{2}\)=30°

\(\arcsin\)(アークサイン)、\(\arccos\)(アークコサイン)、\(\arctan\)(アークタンジェント)のことを、逆三角関数といいます。

また、\(\sin^{-1}x\) のように表すこともあります。

\(\arcsin x=\sin^{-1}x\)

\(\arccos x=\cos^{-1}x\)

\(\arctan x=\tan^{-1}x\)

・三角関数と逆三角関数の関係
単位円で見ると

\(\sinθ=y\) のとき、\(\arcsin y=\sin^{-1}y=θ\) となります。

\(\cosθ=x\) のとき、\(\arccos x=^cos^{-1}x=θ\) となります。

\(\tanθ=\cfrac{y}{x}\) のとき、\(\arctan \cfrac{y}{x}=\tan^{-1}\cfrac{y}{x}=θ\) となります。

三角関数の公式

Δtを非常に小さい時間とした場合の公式
Δtを非常に小さい時間とすると、次のようになります。

\(\cosωΔt≒\cos0=1\)

\(\sinωΔt≒ωΔt\)

非常に小さい角度の三角関数

いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度θラジアンに対する、円弧の長さはθ、sinθは赤線の長さ、cosθは青線の長さになる。

従って、角度θ の値が0(ゼロ)に近づいて行くと

\(θ→0\) のとき \(\sinθ→θ\)(赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)

\(\cosθ→1\)(青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)

\(\tanθ→θ\)(\(\tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ\))

加法定理

\(\sin(α+β)=\sinα \cosβ+\cosα \sinβ\)

\(\sin(α-β)=\sinα \cosβ-\cosα \sinβ\)

\(\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ\)

\(\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ\)

\(\sinαsinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}\)

2倍角の公式

\(\sin2α=2\sinα \cosβ\)

\(\cos2α=\cos^2α-\sin^2α\)

\(\cos2α=1-2\sin^2α\)

\(\cos2α=2cos^2α-1\)

\(\sin^2α=\cfrac{1}{2}(1-\cos2α)\)

その他

\(\sin^2θ+\cos^2θ=1\)

\(\sin(-θ)=-\sinθ\)

\(\cos(-θ)=\cosθ\)

\(\tan(-θ)=-\tanθ\)

三角関数と三角関数の逆数

 sin(サイン)・cos(コサイン)・tan(タンジェント)の覚え方

図のように、アルファベットの筆記体の書き順で覚えると良いとおもいます。

三角関数のsin・cos・tan(正弦・余弦・正接)

・三角関数は、直角三角形ABCにおいて、次のように定義されます。

\(\sinθ=\cfrac{b}{c}\)

\(\cosθ=\cfrac{a}{c}\)

\(\tanθ=\cfrac{b}{a}\)

三角関数の逆数

・三角関数の逆数は、sec(セカント)、csc(コセカント)、cot(コタンジェント)といいます。

\(\secθ=\cfrac{1}{\cos θ}\)

\(\cscθ=\cfrac{1}{\sin θ}\)

\(\cotθ=\cfrac{1}{\tan θ}\)

三角関数のtanθの定義

tanθは次のように表せます。
\(\tanθ=\cfrac{b}{a}=\frac{\cfrac{b}{c}}{\cfrac{a}{c}}=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}\)

また、同様に次のようになります。

\(\sinθ=\tanθ\cosθ\)

\(\cosθ=\cfrac{\sinθ}{\tanθ}\)

単位円の座標と三角関数

三角関数を単位円で見てみましょう。

図のように、原点O を中心とする半径1 の円を 「単位円」 といいます。

直角三角形POQ で、角θに対する三角関数は、次のとおりです。

\(\cosθ=\cfrac{x}{OP}=\cfrac{x}{1}…x=\cosθ\)

\(\sinθ=\cfrac{y}{OP}=\cfrac{y}{1}…y=\sinθ\)

従って、P点の座標 (x,y) は (\(\cosθ,\sinθ\)) で表されます。

特殊な角度の三角関数の値

角度30°の場合

角度60°の場合

角度45°の場合

角度0°と角度90°の場合

角度が0° または90° のときの三角関数はどうなるか見て見ましょう。

図のような、半径が1 の単位円で角θの三角関数の値を調べます。

半径OP およびOS は1 であり、ΔPOS と ΔTOS は相似です。

\(\sinθ=\cfrac{PQ}{OP}=PQ\)

\(\cosθ=\cfrac{OQ}{OP}=OQ\)

\(\tanθ=\cfrac{TS}{OS}=TS\)

いま、\(θ\) が小さくなって、0 に近づくと

\(PQ→0\)

\(OQ→1\)

\(TS→0\)

従って

\(\sinθ=0\)

\(\cosθ=1\)

\(\tanθ=0\)

になります。

次に、\(θ\) が大きくなって、90° に近づくと

\(PQ→1\)

\(OQ→0\)

\(TS→∞\)

従って

\(\sinθ=1\)

\(\cosθ=0\)

\(\tanθ=∞\)

になります。

弧度法は角度の大きさを表す

・円の「弧」の長さと中心角との関係で角度を表すのが「弧度法」です。

図のように、半径の異なる円において、「半径と等しい弧の長さ」に対する中心角θの大きさは、半径の長さに関係なく一定になります。

この角度θの大きさを「1ラジアン」として、角度を表す方法を「弧度法」といい、単位として [rad](ラジアン)を用います。

・中心角は弧の長さに比例する
図のように、半径rの円において、長さlの円弧に対する中心角 θ の大きさは、弧の長さに比例する。

円の「弧の長さl=半径r」のときの角度は 1 [rad] です。

\(\cfrac{l}{r}=\cfrac{θ}{1}\)

\(l=rθ\)\(\cdots(1)\)

半円のときの中心角を \(θ\) [rad] とすると弧の長さ \(l\) は
\(l=πr\)\(\cdots(2)\)

式(2)を式(1)に代入すると

\(πr=rθ\)

\(θ=π\) [rad]

半円に対する中心角は 180° なので
\(180°=π\) [rad] となります。

以上で「三角関数の知識」の説明を終わります。




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