三相交流のY-Y結線




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三相交流のY-Y結線

三相交流回路のY結線は「星形結線」または「スター結線」などと呼ばれます。

Y結線の相電圧と線間電圧の関係や相電流と線電流の関係、また、Y結線の表わし方などについて説明します。

Y結線のまとめ

Y結線の線間電圧

\(\dot{V_{ab}}=\dot{E_a}-\dot{E_b}\) [V]

\(\dot{V_{bc}}=\dot{E_b}-\dot{E_c}\) [V]

\(\dot{V_{ca}}=\dot{E_c}-\dot{E_a}\) [V]

Y結線の線間電圧と相電圧の関係

線間電圧=\(\sqrt{3}\) × 相電圧 [V]

線間電圧は相電圧より、位相が \(\cfrac{π}{6}\) 進む。

相電圧は線間電圧より、位相が \(\cfrac{π}{6}\) 遅れる。

Y結線の線電流と相電流の関係

線電流と相電流は等しい

Y結線の電圧と電流の関係

三相交流電源と負荷の接続を、Y結線したものが次の図になります。

端子a-o、b-o、c-oを「相」といいます。

各相の起電力 \(E_a、E_b、E_c\) を「相電圧」といい、各相の共通点 o が「中性点」です。

図の中の矢印の向きは、電位の高さを表わしていて、矢印の先の方が電位が高くなります。

また、各相の起電力は、互いに \(\cfrac{2π}{3}\) [rad] の位相差があります。

端子間a-b、端子間b-c、端子間c-a の電圧 \(V_{ab}、V_{bc}、V_{ca}\) を、「線間電圧」といいます。

各相に流れる電流を「相電流」といい、各相から流れ出ていく電流を「線電流」といいます。

Y結線の電流

スター結線では、「相電流と線電流は等しい」ことになります。

Y結線の線間電圧は相電圧のベクトル和

電源の各相の起電力と各端子間の電圧 を求める

端子a-b間の電位の求め方

電源の端子a と端子b 間の線間電圧は、端子b を基準にした場合の端子a の電位のことです。

起電力の符号の正負については、起電力と電圧降下の正負を参照してください。

  • \(\dot{E_a}\) は回路をたどる方向と同方向なので、符号は(+)となる。
  • \(\dot{E_b}\) は回路をたどる方向と逆方向なので、符号は(-)となる。

★\(\dot{V_{ab}}\) が意味すること\(\cdots\)添字のab は後ろの「文字b」を基準とした場合の「前の文字a」の電位を意味する。

  • ab間の線間電圧 \(\dot{V_{ab}}=\)(aの電位)-(bの電位)\(=\dot{E_a}-\dot{E_b}\)
  • bc間の線間電圧 \(\dot{V_{bc}}=\)(bの電位)-(cの電位)\(=\dot{E_b}-\dot{E_c}\)
  • ca間の線間電圧 \(\dot{V_{ca}}=\)(cの電位)-(aの電位)\(=\dot{E_c}-\dot{E_a}\)

Y結線の線間電圧と相電圧のベクトル図

線間電圧 \(\dot{V_{ab}}\) は \(\dot{E_a}-\dot{E_b}\) になります。

図のように、ベクトル \(\dot{E_b}\) と同じ大きさで方向が反対のベクトル \(\dot{-E_b}\) を描いて、ベクトル合成をすれば求めることができます。

ベクトル合成については、複素数とベクトルを参照してください。

Y結線の線間電圧 のベクトル図

電源の相電圧 \(\dot{E_a}、\dot{E_b}、\dot{E_c}\) が対称三相交流電圧であれば、線間電圧 \(\dot{V_{ab}}、\dot{V_{bc}}、\dot{V_{ca}}\) も対称三相交流電圧になります。

そして、互いに \(\cfrac{2π}{3}\) [rad] の位相差があります。

Y結線の電圧の位相
線間電圧は、相電圧より \(\cfrac{π}{6}\) [rad] 進んだベクトルになります。

Y結線の線間電圧は相電圧のルート3倍になる

Y結線のベクトル図から線間電圧を求める

ベクトル図から線間電圧を求めるには、次のようにします。

1. 三角形 ABO は、辺 BO が線間電圧 \(\dot{V_{ab}}\)、辺 AO と辺 AB が相電圧 \(\dot{E_a}\) と \(-\dot{E_b}\) なので、大きさが等しい「二等辺三角形」になります。

2. P点は底辺 BO を二等分します。\(PO=\cfrac{1}{2}V_{ab}\) になります。

3. 直角三角形 APO で、∠AOPは \(\cfrac{π}{6}\) [rad] ですから、次のようになります。

\(\cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{PO}{AO}=\cfrac{\cfrac{1}{2}V_{ab}}{E_a}\)

\(V_{ab}=2E_acos\cfrac{π}{6}\)=\(2E_a×\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)=\(\sqrt{3}{E_a}\) [V]

\(\cos\cfrac{π}{6}\) は三角関数の知識を参照

対称三相交流であれば、各相電圧は等しいので、\(E_a=E_b=E_c\) です。

この場合の相電圧を \(E_a=E_b=E_c=E_p\) とすると

\(V_{ab}=V_{bc}=V_{ca}=\sqrt{3}{E_p}\) [V] になります。

Y結線の線間電圧
線間電圧 \(=\sqrt{3}\) × 相電圧 [V] になります。

Y結線の記号法による相電圧と線間電圧

三相交流のY結線の相電圧と線間電圧の関係を記号法で求める

相電圧を求める

各相電圧は次のようになります。

\(\dot{E_a}=E\) [V]

\(\dot{E_b}=E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V]

\(\dot{E_c}=E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V]  

線間電圧を求める

また、線間電圧は次のようになります。

\(\dot{V_{ab}}=\dot{E_a}-\dot{E_b}\)=\(E-E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)=\(E\left(\cfrac{3}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V]

\(\dot{V_{bc}}=\dot{E_b}-\dot{E_c}\)=\(E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)=\(-j\sqrt{3}E\) [V]

\(\dot{V_{ca}}=\dot{E_c}-\dot{E_a}\)=\(E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-E\)=\(E\left(-\cfrac{3}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) [V]  

\(\dot{E_a}\) を基準として、\(\dot{V_{ab}}、\dot{V_{bc}}、\dot{V_{ca}}\) の位相角 \(θ_{ab}、θ_{bc}、θ_{ca}\) は、次のようになります。

\(θ_{ab}=tan^{-1}\cfrac{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{\cfrac{3}{2}}=tan^{-1}\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\cfrac{π}{6}\)

\(θ_{bc}=-\cfrac{π}{2}\)

\(θ_{ca}=tan^{-1}\cfrac{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{\cfrac{-3}{2}}=-\cfrac{7π}{6}\)

Y結線の各相に流れる電流の瞬時値の和は 0(ゼロ)になる

図の中性線点o-o に流れる電流 \(\dot{I_a}+\dot{I_b}+\dot{I_c}\) の合成電流は、大きさが等しく、互いに \(\cfrac{2π}{3}\) [rad] の位相差がある対称三相交流ですから、0(ゼロ)になります。

電流の瞬時値の和を、\(i_0\)、各相の電流を、\(i_a、i_b、i_c\) とすると、\(i_0\) の値は 0(ゼロ)なります。

\(i_0=i_a+i_b+i_c\)

\(i_0=I_m\sin ωt+I_m\sin\left(ωt-\cfrac{2π}{3}\right)+I_m\sin\left(ωt-\cfrac{4π}{3}\right)\)=\(I_m\{\sin ωt+(\sin ωt \cos\cfrac{2π}{3}-\cos ωt \sin\cfrac{2π}{3}+\sin ωt \cos\cfrac{4π}{3}-\cos ωt \sin\cfrac{4π}{3})\}\)

スマートフォンの場合
数式がはみ出るときは、画面を横にして見てください。
ここで、

\(\cos\cfrac{2π}{3}=-\cfrac{1}{2}\)

\(\sin\cfrac{2π}{3}=\cfrac{\sqrt3}{2}\)

\(\cos\cfrac{4π}{3}=-\cfrac{1}{2}\)

\(\sin\cfrac{4π}{3}=-\cfrac{\sqrt3}{2}\) なので、上の式は次のようになります。

\(i_0=I_m\{\sin ωt+(-\cfrac{1}{2}\sin ωt-\cfrac{\sqrt3}{2}\cos ωt-\cfrac{1}{2}\sin ωt+\cfrac{\sqrt3}{2}\cos ωt)\}\)

\(i_0=I_m(\sin ωt-\sin ωt)=0\)

以上で「三相交流のY-Y結線」の説明を終わります。




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