三相交流のY-Y結線

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三相交流のY-Y結線

 

Y結線のまとめ

 

Y結線の線間電圧

$$\dot{V_{ab}}=\dot{E_a}-\dot{E_b}[V]$$
$\dot{V_{bc}}=\dot{E_b}-\dot{E_c}[V] \tag{4-1-3-1}$
$$\dot{V_{ca}}=\dot{E_c}-\dot{E_a}[V]$$

 

Y結線の線間電圧と相電圧の関係

\(線間電圧=\sqrt{3}×相電圧 [V]\tag{4-1-3-2}\)
\(線間電圧は相電圧より、位相が\cfrac{π}{6}進む。 \tag{4-1-3-3}\)
\(相電圧は線間電圧より、位相が\cfrac{π}{6}遅れる。 \tag{4-1-3-4}\)

 

Y結線の線電流と相電流の関係

\(線電流と相電流は等しい。 \tag{4-1-3-5}\)

 

Y結線の電圧と電流の関係

 

三相交流電源と負荷の接続を、Y結線したものが次の図になります。
端子a-o、b-o、c-oを「相」といいます。各相の起電力 $E_a、E_b、E_c$ を「相電圧」といい、各相の共通点oが「中性点」です。

図の中の矢印の向きは、電位の高さを表わしていて、矢印の先の方が電位が高くなります。また、各相の起電力は、互いに $2π/3[rad]$ の位相差があります。

 

端子間a-b、端子間b-c、端子間c-a の電圧 $V_{ab}、V_{bc}、V_{ca}$ を「線間電圧」といいます。

 

各相に流れる電流を「相電流」といい、各相から流れ出ていく電流を「線電流」といいます。スター結線では、「相電流と線電流は等しい」ことになります。

 

Y結線の線間電圧は相電圧のベクトル和

 

電源の各相の起電力と各端子間の電圧 を求める

 

端子a-b間の電位の求め方

電源の端子aと端子b間の線間電圧 は、端子bを基準にした場合の端子aの電位のことです。

 

起電力の符号の正負については、「起電力の(+)、(-)の決め方」を参照してください。

  • \(\dot{E_a}\) は回路をたどる方向と同方向なので、符号は(+)となる。
  • \(\dot{E_b}\) は回路をたどる方向と逆方向なので、符号は(-)となる。

★ \(\dot{V_{ab}}\) が意味すること…添字のab は後ろの「文字b」を基準とした場合の「前の文字a」の電位を意味する。

 

  • ab間の線間電圧 \(\dot{V_{ab}}=(aの電位)-(bの電位)=\dot{E_a}-\dot{E_b}\)
  • bc間の線間電圧 \(\dot{V_{bc}}=(bの電位)-(cの電位)=\dot{E_b}-\dot{E_c}\)
  • ca間の線間電圧 \(\dot{V_{ca}}=(cの電位)-(aの電位)=\dot{E_c}-\dot{E_a}\)

 

Y結線の線間電圧と相電圧のベクトル図

 

Y結線の線間電圧と相電圧の関係をベクトル図に示します

線間電圧 \(\dot{V_{ab}} は \dot{E_a}-\dot{E_b}\) ですから、図のように、ベクトル  \(\dot{E_b}\) と同じ大きさで方向が反対のベクトル \(\dot{-E_b}\) を引いて、ベクトル合成をすれば求めることができます。

ベクトル合成については、「複素数とベクトル」を参照してください。

 

 

Y結線の線間電圧 をベクトル図にしたものが次の図になります

電源の相電圧 \(\dot{E_a}、\dot{E_b}、\dot{E_c}\) が対称三相交流電圧であれば、線間電圧 \(\dot{V_{ab}}、\dot{V_{bc}}、\dot{V_{ca}}\) も対称三相交流電圧になり、お互いに $2π/3[rad]$ の位相差があります。また、線間電圧は、相電圧より $π/6[rad]$ 進んだベクトルになります。

 

Y結線は線間電圧は相電圧のルート3倍になる

 

Y結線のベクトル図から線間電圧を求める


1. 三角形ABOは、辺BOが線間電圧 \(\dot{V_{ab}}\)、辺AOと辺ABが相電圧 \(\dot{E_a}と-\dot{E_b}\) なので、大きさが等しく、二等辺三角形になります。
2. P点は底辺BOを二等分します。\(PO=\cfrac{1}{2}V_{ab}\) になります。 
3. 直角三角形APOで、∠AOPは \(\cfrac{π}{6}\) [rad] ですから、次のようになります。
$cos\cfrac{π}{6}=\cfrac{PO}{AO}=\cfrac{\cfrac{1}{2}V_{ab}}{E_a}$

 

$V_{ab}=2E_acos\cfrac{π}{6}$

 

$V_{ab}=2E_a×\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

 

$V_{ab}=\sqrt{3}{E_a} [V]$

 

\(cos\cfrac{π}{6}\) は「三角関数の知識」を参照

 

対称三相交流であれば、各相電圧は等しいので、\(E_a=E_b=E_c\) です。従って、
$V_{ab}=\sqrt{3}{E_a} [V]$

 

$V_{bc}=\sqrt{3}{E_b} [V]$

 

$V_{ca}=\sqrt{3}{E_c} [V]$

 

線間電圧$=\sqrt{3}×相電圧[V]$ になります。

 

 

Y結線の記号法による相電圧と線間電圧

 

三相交流のY結線の相電圧と線間電圧の関係を記号法で求める

相電圧は
$\dot{E_a}=E [V]$ とすると

 

$\dot{E_b}=E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [V]$

 

$\dot{E_c}=E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [V]$

 

 

線間電圧は
$\dot{V_{ab}}=\dot{E_a}-\dot{E_b}=E-E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=E\left(\cfrac{3}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [V]$

 

$\dot{V_{bc}}=\dot{E_b}-\dot{E_c}=E\left(-\cfrac{1}{2}-j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-j\sqrt{3}E [V]$

 

$\dot{V_{ca}}=\dot{E_c}-\dot{E_a}=E\left(-\cfrac{1}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-E=E\left(-\cfrac{3}{2}+j\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right) [V]$

 

 

\(\dot{E_a}\) を基準として、\(\dot{V_{ab}}、\dot{V_{bc}}、\dot{V_{ca}}\) の位相角 \(θ_{ab}、θ_{bc}、θ_{ca}\) は、次のようになります。
$θ_{ab}=tan^{-1}\cfrac{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{\cfrac{3}{2}}=tan^{-1}\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\cfrac{π}{6}$

 

$θ_{bc}=-\cfrac{π}{2}$

 

$θ_{ca}=tan^{-1}\cfrac{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{\cfrac{-3}{2}}=-\cfrac{7π}{6}$

 

Y結線の各相に流れる電流の瞬時値の和は0(ゼロ)になる

 

図の中性線点o-oに流れる電流 \(\dot{I_a}+\dot{I_b}+\dot{I_c}\) の合成電流は、大きさが等しく、互いに $2π/3[rad]$ の位相差がある対称三相交流ですから、0(ゼロ)になります。

 

電流の瞬時値の和を、\(i_0\) 、各相の電流を、\(i_a、i_b、i_c\) とすると次のように 0(ゼロ)なります。
$i_0=i_a+i_b+i_c=I_m sin ωt+I_m sin(ωt-\cfrac{2π}{3})+I_m sin(ωt-\cfrac{4π}{3})$

 

$i_0=I_m\{sin ωt+(sin ωt cos\cfrac{2π}{3}-cos ωt sin\cfrac{2π}{3}+sin ωt cos\cfrac{4π}{3}-cos ωt sin\cfrac{4π}{3})\}$

 

ここで、$cos\cfrac{2π}{3}=-\cfrac{1}{2}、sin\cfrac{2π}{3}=\cfrac{\sqrt3}{2}、cos\cfrac{4π}{3}=-\cfrac{1}{2}、sin\cfrac{4π}{3}=-\cfrac{\sqrt3}{2}$ なので、上の式は次のようになります。

 

$i_0=I_m\{sin ωt+(-\cfrac{1}{2}sin ωt-\cfrac{\sqrt3}{2}cos ωt-\cfrac{1}{2}sin ωt+\cfrac{\sqrt3}{2}cos ωt)\}$

 

$i_0=I_m(sin ωt-sin ωt)=0$

 

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