コンデンサの基本式

電荷から出る電気力線の公式から、コンデンサの計算に必要な基本式を導いて行きます。

電気力線は電界の様子を仮想的な線で示したものです。

コンデンサの計算に必要な公式などを説明します。

コンデンサ内の電気力線

電荷 \(Q\) からは ガウスの法則 により、\(4πkQ\) [本] の 電気力線 が出ます。 

1.図のように \(Q\) [C] の電荷を持つコンデンサがあります。

2.図のように \(+Q\) の極板からは、上下に \(2πkQ\) [本] の電気力線が出ています。

3.図のように \(-Q\) の極板からは、上下に \(2πkQ\) [本] の電気力線が出ています。

4.図のように コンデンサは2つの極板が向かい合っていますので、上下の電気力線は打ち消し合うのでゼロになります。
結果的にコンデンサの内部に \(4πkQ\) [本] の電気力線が発生します。

コンデンサの基本式

コンデンサの極板の面積を \(S\) [m2]、
コンデンサの極板間隔を \(d\) [m]、
コンデンサの電位差を \(V\) [V] とします。

電気力線数 \(4πkQ\) [本] を極板の面積 \(S\) で割ると 電界の強さ \(E\) になります。

\(E=\cfrac{4πkQ}{S}\cdots(1)\)

コンデンサの内部は、電界の強さが一様な電界ですから、電位差 \(V\) は
\(V=Ed\cdots(2)\)

式(2)に式(1)を代入します。
\(V=Ed=\cfrac{4πkQ}{S}×d\cdots(3)\)

式(3)を変形して
\(Q=\cfrac{1}{4πk}×\cfrac{S}{d}V\cdots(4)\)

誘電率の公式から
\(ε=\cfrac{1}{4πk}\cdots(5)\) ですから

式(4)は
\(Q=ε\cfrac{S}{d}V\cdots(6)\)

静電容量 \(C\) [F] は
\(C=ε\cfrac{S}{d}\) ですから

式(6)は
\(Q=CV\) [C] になります。

\(Q=CV\) [C] 
\(C=ε\cfrac{S}{d}\) [F] 

練習問題

■ 問題1
図のようなコンデンサ回路があります。
電池を接続したままで、コンデンサの極板間隔を2倍にしたときの電気量を求めよ。

<解答例>
★ 極板間隔を変更する前のコンデンサに貯まる電気量 \(Q\) は
\(Q=CV\) [C] 

■ 極板間隔を2倍にした場合

★ 極板間隔を変えるとコンデンサの静電容量が変わります。
静電容量
\(C=ε\cfrac{S}{d}\) の式で極板間隔 \(d\) が2倍になるので

変化後の静電容量を \(C’\) とすると
\(C’=ε\cfrac{S}{2d}=\cfrac{1}{2}C\) [F] 

静電容量は元の \(\cfrac{1}{2}\) になります。

コンデンサに貯まる電気量 \(Q’\) は 電圧 \(V\) は変わらないので
\(Q’=C’V=\cfrac{1}{2}CV\) [C] になります。

コンデンサに貯まる電気量 \(Q’\) は 
\(Q’=\cfrac{1}{2}CV\) [C] になります。

■ 問題2
図のように静電容量 \(C\) のコンデンサに電圧 \(V\) を加えて、電気量 \(Q\) が蓄えられています。
次にコンデンサを電池から外して、極板間隔を2倍にしたときのコンデンサの電圧を求めよ。

<解答例>
★ 電池から外したコンデンサには
\(Q=CV\cdots(1)\) の電気量があります。

■ 極板間隔を2倍にした場合
電気量 \(Q\) は変わりませんが コンデンサの静電容量と電圧が変化します。
変化後の静電容量を \(C’\) 電圧を \(V’\) とすると 図のようになります。
\(Q=C’V’\cdots(2)\)

式(1)と式(2)は等しいので
\(CV=C’V’\)

\(CV=\cfrac{1}{2}CV’\)

\(V’=2V\) [V] になります。

以上で「コンデンサの基本式」の説明を終わります。