コンデンサの直列接続とコンデンサの並列接続

この記事で書いていること

コンデンサの直列接続の静電容量の求め方や直列接続の見分け方について説明します。

コンデンサの直列接続では、蓄えられる電荷が共通の値になります。

コンデンサの並列接続の静電容量の求め方や並列接続の見分け方について説明します。

コンデンサの並列接続では、コンデンサに掛かる電圧が共通の値になります。

目次

コンデンサの直列接続の合成容量

■ コンデンサが2個の直列接続の合成容量

コンデンサの直列接続の合成容量は それぞれのコンデンサの 逆数の和 が 合成容量の逆数の和 になります。

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}\) [F]

■ 和分の積

コンデンサが2個直列接続のときは 和分の積 の公式が使えます。

\(C=\cfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\) [F]

■ 2個以上のコンデンサの直列接続の合成容量

コンデンサが2個以上、n個の場合の直列接続も基本的には2個の場合と同じようにできます。

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}+\cdots+\cfrac{1}{C_n}\) [F]

コンデンサの直列接続の見分け方

コンデンサの直列接続と並列接続を見分けるには 電位 を使うとわかり易いです。

次の例は感覚的に直列接続と分かります。

■ 電位で考える

次の図のように 電位 を色分けして考えてみましょう。

abcのように色分けすることができますね。

\(C_1\) の電位 と \(C_2\) の電位が 直列になっているのがわかります。

コンデンサの直列接続と電荷量

コンデンサの直列接続は 静電容量 \(C\) の大きさに関係なく 電荷量 \(Q\) が共通になります。

★ コンデンサの直列接続の 端子電圧 \(V_1、V_2\) は静電容量 \(C_1、C_2\) に反比例します。

\(V_1=\cfrac{C_2}{C_1+C_2}V\) [V] 

\(V_2=\cfrac{C_1}{C_1+C_2}V\) [V]

コンデンサの並列接続の合成容量

■ コンデンサが2個の場合の並列接続の合成容量

★ コンデンサの並列接続の合成容量は それぞれのコンデンサの足し算が 合成容量 になります。

\(C=C_1+C_2\) [F]

■ 2個以上のコンデンサの並列接続の合成容量

コンデンサが2個以上、n個の場合の並列接続も基本的には2個の場合と同じようにできます。

\(C=C_1+C_2+\cdots+C_n\) [F]

コンデンサの並列接続の見分け方

次は並列接続の例です。

(1)は並列だということが感覚的にわかります。

しかし、(2)は直列にも見えますね。

■ 電位で考えると分かりやすい

次の図のように 電位 を色分けして考えてみましょう。

abのように色分けすることができますね。

abの電位の通り道が \(C_1\) の ルートと \(C_2\) の ルートがあります。

つまり 並列 ということになります。

コンデンサの並列接続と電荷量

コンデンサの並列接続はコンデンサに掛かる 電圧 が共通になります。

\(Q_1=C_1V\) [C]

\(Q_1=C_1V\) [C]

■ 例題1

静電容量 \(C_1\) と \(C_2\) をそれぞれ電圧 \(V_1\) と \(V_2\) で充電しました。

★ 図のように \(C_1\) と \(C_2\) を接続し、スイッチを入れて十分に時間が経過したときの、bに対する aの電位を求めよ。

<解答例>

スイッチを閉じると、図のようになります。

コンデンサは並列接続なので合成容量 \(C\) は

\(C=C_1+C_2\)

電荷量 \(Q\) は

\(Q=Q_1+Q_2\)

等価回路は次のようになります。

aの電位 \(V\) は \(Q=CV\) の コンデンサ式から

\(V=\cfrac{Q}{C}\)

\(V=\cfrac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2}\)

\(V=\cfrac{C_1V_1+C_2V_2}{C_1+C_2}\) [V] になります。

■ 例題2

静電容量 \(C_1\) と \(C_2\) をそれぞれ電圧 \(V_1\) と \(V_2\) で充電しました。

ただし \(C_1V_1>C_2V_2\) とします。

★ 図のように \(C_1\) と \(C_2\) を接続し、スイッチを入れて十分に時間が経過したときの、bに対する aの電位を求めよ。 (\(C_2\) の極性に注意!) 

<解答例>

スイッチを閉じると、図のようになります。

コンデンサは並列接続なので合成容量 \(C\) は

\(C=C_1+C_2\)

電荷量 \(Q\) は

\(Q=+Q_1-Q_2\)

等価回路は次のようになります。

aの電位 \(V\) は \(Q=CV\) の コンデンサ式から

\(V=\cfrac{Q}{C}\)

\(V=\cfrac{Q_1-Q_2}{C_1+C_2}\)

\(V=\cfrac{C_1V_1-C_2V_2}{C_1+C_2}\) [V] になります。

コンデンサの静電容量については コンデンサの基本式 を参照してください。

練習問題1

問題を理解するために数値を入れて計算してみます。

実際の静電容量は [F] でなく [μF] のように非常に小さい数値になります。計算上のものとして考えてください。

問題1

それぞれのコンデンサを図のように、充電しました。

図のようにコンデンサを接続して十分な時間が経過したときの bに対する aの電位を求めよ。

\(V=\cfrac{Q}{C}\) の公式から

\(V=\cfrac{30+10}{3+2}\) [V]

aの電位は次のようになります。

\(V=8\) [V] 

問題2

それぞれのコンデンサを図のように、充電しました。

図のような極性でコンデンサを接続しました。

十分な時間が経過したときの bに対する aの電位を求めよ。

\(V=\cfrac{Q}{C}\) の公式から

\(V=\cfrac{30-10}{3+2}\) [V]

aの電位は次のようになります。

\(V=4\) [V]

問題3

図の回路において、各コンデンサに蓄えられている電気量を求めよ。

<解答例>

問題を見やすいように変形します。

★ \(C_1\) と \(C_2\) の合成容量を \(C_{12}\) とすると

\(C_{12}=C_1+C_2\)

★ 回路全体の合成容量を \(C\) とすると

\(C=\cfrac{(C_1+C_2)C_3}{C_1+C_2+C_3}\)

■ 全体の電荷量

図のように、電荷と電圧を設定します。

電荷 \(Q_1、Q_2、Q_3\) には

\(Q_1+Q_2=Q_3\) の関係があります。

\(Q=CV\) の公式から

\(Q_3=\cfrac{(C_1+C_2)C_3}{C_1+C_2+C_3}V\)

\(C_1\) と \(C_2\) に掛かる電圧 \(V_{12}\) は

\(V_{12}=\cfrac{C_3}{C_1+C_2+C_3}V\) になります。

\(C_1\) に蓄えられる電気量は

\(Q_1=C_1V_{12}=\cfrac{C_1C_3}{C_1+C_2+C_3}V\)

\(C_2\) に蓄えられる電気量は

\(Q_2=C_2V_{12}=\cfrac{C_2C_3}{C_1+C_2+C_3}V\)

\(C_1\) に蓄えられる電気量は

\(Q_1=\cfrac{C_1C_3}{C_1+C_2+C_3}V\) [C] 

\(C_2\) に蓄えられる電気量は

\(Q_2=\cfrac{C_2C_3}{C_1+C_2+C_3}V\) [C] 

\(C_3\) に蓄えられる電気量は

\(Q_3=\cfrac{(C_1+C_2)C_3}{C_1+C_2+C_3}V\) [C]

問題4

\(S_1\) のスイッチを閉じたときの cに対する bの電位を求めよ。

<解答例>

\(S_1\) のスイッチを閉じたときの回路図は、次のようになります。

直列接続なのでコンデンサに貯まる電荷 \(Q\) は

\(Q=CV\) から

\(Q=\cfrac{3×2}{3+2}×10=12\) [C] 

bの電位 \(V_2\) は

\(V_b=\cfrac{Q}{2}=\cfrac{12}{2}=6\) [V] 

\(V_b=6\) [V] になります。

問題5

次に、問題1の回路で \(S_1\) のスイッチを開いて \(S_2\) のスイッチを閉じたときの aの電位を求めよ。

<解答例>

bc間の電位を \(V_{bc}\) とする \(Q\) は変わらないので

\(V_{bc}=\cfrac{Q}{2+1}=\cfrac{12}{3}=4\) [V] 

\(V_a=\cfrac{Q}{3}=\cfrac{12}{3}=4\) [V] 

aの電位はac感の電位差になりますので

\(V_a+V_{bc}=8\) [V] になります。

以上で「コンデンサの直列接続とコンデンサの並列接続」の説明を終わります。

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