コンデンサの容量計算

コンデンサは一般に凝縮器、蓄電器、コンデンサなどと呼ばれています。エアコンなどでは、熱交換器の凝縮器のことをコンデンサと呼びます。

コンデンサは電極間に電気を蓄える性質がありますから、この性質を利用して音を電気の信号に変換することでコンデンサマイクとして利用されています。

コンデンサとキャパシタは、電気回路ではどちらも同じに使いますが、電子部品の場合はコンデンサを使うようです。

静電容量の単位としては、\(\rm F\)（ファラド）が使われます。
ただし、\(\rm F\)（ファラド）では単位が大きすぎるので、通常は「\(\rm uF\)」（マイクロファラド）や「\(\rm pF\)」（ピコファラド）が使われます。

●　[\(\rm uF\)]＝\(10^{-6}\hspace{8px}\rm [F]\)

●　[\(\rm pF\)]＝\(10^{-12}\hspace{8px}\rm [F]\)

キャパシタは電気回路での容量（キャパシタンス）という意味で使われます。

コンデンサの公式

静電容量、電荷、電圧、電界の関係式

静電容量 \(C\hspace{8px}\rm [F]\) は、コンデンサが電荷 \(Q\hspace{8px}\rm [C]\) を蓄える能力を表しています。

図のようなコンデンサに \(V\hspace{8px}\rm [V]\) の電圧を加えると、コンデンサには電荷 \(Q\hspace{8px}\rm [C]\) が貯まります。

コンデンサの関係式

●電荷
\(Q=CV\hspace{8px}\rm [C]\)　

●静電容量
\(C=\cfrac{Q}{V}\hspace{8px}\rm [F]\)　

静電容量\(C\)は定数で電圧が\(1V\)のときに、蓄えられる電荷量を表します。
\(C=\cfrac{Q}{V}=\cfrac{Q}{1}=Q\hspace{8px}\rm [F]\)　

●電圧
\(V=\cfrac{Q}{C}\hspace{8px}\rm [V]\)

●電界の強さ
\(E=\cfrac{V}{d}\hspace{8px}\rm [V/m]\)

平行板コンデンサの静電容量

電極の面積を \(S\) [m²] 、電極間の距離を \(d\) [m] 、誘電体を \(ε\) [F/m] とする平行板コンデンサがあります。

このような平行板コンデンサの静電容量は次のようになります。
\(C=ε\cfrac{S}{d}\hspace{8px}\rm [F]\)

\(ε=ε_0ε_s\hspace{8px}\rm [F/m]\cdots\)誘電率 
\(ε_0=8.85×10^{-12}\hspace{8px}\rm [F/m]\cdots\)真空の誘電率 
\(ε_s=\cfrac{ε}{ε_0}\cdots\)比誘電率

静電容量の公式は駐車場と磁石に例えるとわかりやすいかも

\(C=ε\cfrac{S}{d}\hspace{8px}\rm [F]\)
静電容量の大きさは、面積　\(S\)　に比例し、電極の距離　\(d\)　に反比例します。

●面積に比例
面積　\(S\)　の駐車場に、車が３台止められるとすれば、面積を２倍にしたら車が６台止められることになります。

●電極間の距離に反比例
これは、磁石の吸引力に結びつけると覚えやすいと思います。
磁石の吸引力は、距離が近くなりほど強くなります。

コンデンサの合成静電容量

●合成抵抗の計算式

●合成静電容量の計算式

コンデンサの直列接続で合成静電容量が減少する理由

静電容量が等しいコンデンサ　\(C_1\hspace{8px}\rm [F]\)　を２個直列に接続した時の、合成静電容量は
\(C=\cfrac{1}{2}C_1\hspace{8px}\rm [F]\)　になります。

これは。平行板コンデンサの静電容量　\(C\hspace{8px}\rm [F]\)　は、\(C=ε\cfrac{S}{d}\)　で、直列にすることにより電極の間隔　\(d\)　が　２倍になるためです。

コンデンサの直列接続の計算

コンデンサを2個の直列接続のときは、和分の積の公式が使えます。

\(C=\cfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\hspace{8px}\rm [F]\)

コンデンサの直列接続の合成容量は、それぞれの静電容量の逆数の和になります。

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}+\cfrac{1}{C_3}+・・・+\cfrac{1}{C_n}\hspace{8px}\rm [F]\)

直列につながれたそれぞれのコンデンサに貯まる電荷 \(Q\) はすべて等しい。

電圧 V は各コンデンサにかかる電圧の合計になります。

\(Q=CV\) から \(V=\cfrac{Q}{C}\)

\(V=V_1+V_2+V_3+・・・+V_n\)

\(V=\cfrac{Q}{C_1}+\cfrac{Q}{C_2}+\cfrac{Q}{C_3}+・・・+\cfrac{Q}{C_n}\)＝\(\cfrac{Q}{C}\) として両辺を \(Q\) で割ると

\(\cfrac{1}{C}\)＝\(\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}+\cfrac{1}{C_3}+・・・+\cfrac{1}{C_n}\)

コンデンサの並列接続で合成静電容量が増加する理由

静電容量が等しいコンデンサ　\(C_1\hspace{8px}\rm [F]\)　を２個並列に接続した時の、合成静電容量は
\(C=2C_1\hspace{8px}\rm [F]\)　になります。

これは。平行板コンデンサの静電容量　\(C\hspace{8px}\rm [F]\)　は、\(C=ε\cfrac{S}{d}\)　で、並列にすることにより電極の面積　\(S\)　が　２倍になるためです。

コンデンサの並列接続の計算

コンデンサの並列接続の合成容量は、それぞれの静電容量の和になります。

\(C=C_1+C_2+C_3+・・・+C_n\hspace{8px}\rm [F]\)

全体にたくわえられる電荷 Q [C]はそれぞれのコンデンサに貯められる電荷の合計になります。

各コンデンサにかかる電圧は同じです。

\(Q=CV\) から

\(Q=Q_1+Q_2+Q_3+・・・+Q_n\)

\(Q=C_1V+C_2V+C_3V+・・・+C_nV\)

\(Q=(C_1+C_2+C_3+・・・+C_n)V=CV\) とすると

\(C=C_1+C_2+C_3+・・・+C_n\) となります。

練習問題

問題1

コンデンサが図のように接続された回路の合成静電容量\(C\)を求めよ。

＜解　答＞
コンデンサの並列接続の合成静電容量\(C\)は加算すれば良いので、次のようになります。

\(C=C_1+C_2+C_3=2+4+8=14\hspace{8px}\rm [uF]\)　

問題2

コンデンサが図のように直列に接続された回路の合成静電容量Cを求めよ

＜解　答＞
コンデンサの直列接続の合成静電容量\(C\)はそれぞれの静電容量の逆数の和になるので、次のようになります。

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}+\cfrac{1}{C_3}\)

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{10}\)

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{5}{10}+\cfrac{2}{10}+\cfrac{1}{10}\)＝\(\cfrac{8}{10}=\cfrac{4}{5}\)

\(\therefore C=\cfrac{5}{4}=1.25\hspace{8px}\rm [uF]\)　

以上で「コンデンサの容量計算」の説明を終わります。