コンデンサの容量計算

この記事で書いていること

2つ以上のコンデンサの合成静電容量の計算方法について説明します。

コンデンサが直列接続の場合と並列接続の場合によって、計算方法が違います。

目次

コンデンサの合成静電容量

■ 合成静電容量の計算式

■ 合成抵抗の計算式

コンデンサの直列接続と並列接続の計算式は、抵抗の直列接続と並列接続の計算式の逆になります。

コンデンサ抵 抗
直列接続\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}+\cfrac{1}{C_3}+\cdots+\cfrac{1}{C_n}\) [F]\(R=R_1+R_2+R_3+・・・+R_n\) [F]
並列接続\(C=C_1+C_2+C_3+・・・+C_n\) [F]\(\cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}+\cdots+\cfrac{1}{R_n}\) [F]

コンデンサの直列接続で合成静電容量が減少する理由

静電容量が等しいコンデンサ \(C_1\) [F] を

2個直列に接続した時の合成静電容量は

\(C=\cfrac{1}{2}C_1\) [F] になります。

これは。平行板コンデンサの静電容量 \(C\) は

\(C=ε\cfrac{S}{d}\) で

直列にすることにより電極の間隔 \(d\) が 2倍になるためです。

コンデンサを2個の直列接続

コンデンサを2個の直列接続したときの合成静電容量は 和分の積の公式 が使えます。

和分の積の公式

\(C=\cfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\) [F]

コンデンサの2個以上の直列接続の合成静電容量

コンデンサの直列接続の合成容量は、それぞれの静電容量の逆数の和になります。 

\(\cfrac{1}{C}\)\(=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}+\cfrac{1}{C_3}+\cdots+\cfrac{1}{C_n}\) [F]

直列につながれたそれぞれのコンデンサに貯まる電荷 \(Q\) はすべて等しい。

電圧 \(V\) は各コンデンサにかかる電圧の合計になります。

コンデンサの直列接続では

各コンデンサに貯まる電荷は同じになります。

\(Q=CV\) から \(V=\cfrac{Q}{C}\)

\(V=V_1+V_2+V_3+\cdots+V_n\)

\(V=\cfrac{Q}{C_1}+\cfrac{Q}{C_2}+\cfrac{Q}{C_3}+\cdots+\cfrac{Q}{C_n}=\cfrac{Q}{C}\)

両辺を \(Q\) で割ると

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}+\cfrac{1}{C_3}+\cdots+\cfrac{1}{C_n}\)

コンデンサの分圧式

コンデンサの直列接続の分圧式の求め方は、抵抗の並列接続の分流式と似ています。

コンデンサの直列接続では、蓄えられる電荷の値が同じということを、利用して分圧式を求めます。

コンデンサの分圧式

\(V_1=\cfrac{C_2}{C_1+C_2}E\) [V]

\(V_2=\cfrac{C_1}{C_1+C_2}E\) [V]

抵抗の分流式

\(I_1=\cfrac{R_2}{R_1+R_2}I\) [V]

\(I_2=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}I\) [V]

コンデンサの並列接続で合成静電容量が増加する理由

静電容量が等しいコンデンサ \(C_1\) [F] を2個並列に接続した時の、合成静電容量は

\(C=2C_1\) [F] になります。

これは。平行板コンデンサの静電容量 \(C\) は 

\(C=ε\cfrac{S}{d}\) で、並列にすることにより電極の面積 \(S\) が 2倍になるためです。

コンデンサの並列接続の合成容量

コンデンサの並列接続の合成容量は、それぞれの静電容量の和になります。

\(C=C_1+C_2+C_3+・・・\)\(+C_n\) [F]

全体にたくわえられる電荷 Q はそれぞれのコンデンサに貯められる電荷の合計になります。

コンデンサの並列接続では

各コンデンサにかかる電圧は同じになります。

各コンデンサにかかる電圧は同じです。

\(Q=CV\) から

\(Q=Q_1+Q_2+Q_3+\cdots+Q_n\)

\(Q=C_1V+C_2V+C_3V+\cdots\)\(+C_nV\)

\(Q=(C_1+C_2+C_3+\cdots\)\(+C_n)V=CV\) とすると

\(C=C_1+C_2+C_3+\cdots\)\(+C_n\) となります。

コンデンサの公式

静電容量 \(C\) は、コンデンサが電荷 \(Q\) を 蓄える能力 を表しています。

図のようなコンデンサに \(V\) の電圧を加えると、コンデンサには電荷 \(Q\) が貯まります。

コンデンサの関係式

■ 電荷

\(Q=CV\) [F] 

■ 静電容量

\(C=\cfrac{Q}{V}\) [F]

静電容量 \(C\) は定数で電圧が \(1V\) のときに、蓄えられる電荷量を表します。

\(C=\cfrac{Q}{V}=\cfrac{Q}{1}=Q\) [C] 

■ 電圧

\(V=\cfrac{Q}{C}\) [V]

■ 電界の強さ

\(E=\cfrac{V}{d}\) [V/m]

■ コンデンサの分圧式

\(V_1=\cfrac{C_2}{C_1+C_2}E\) [V]

\(V_2=\cfrac{C_1}{C_1+C_2}E\) [V]

練習問題

問題1

コンデンサが図のように接続された回路の合成静電容量 \(C\) を求めよ。

<解答例>

コンデンサの並列接続の合成静電容量 \(C\) は加算すれば良いので、次のようになります。

\(C=C_1+C_2+C_3=2+4+8=14\) [uF] 

問題2

コンデンサが図のように直列に接続された回路の合成静電容量 \(C\) を求めよ

<解答例>

コンデンサの直列接続の合成静電容量 \(C\) は

それぞれの静電容量の逆数の和になるので、次のようになります。

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}+\cfrac{1}{C_3}\)

\(\cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{10}\)

\(\cfrac{1}{C}\)\(=\cfrac{5}{10}+\cfrac{2}{10}+\cfrac{1}{10}\)\(=\cfrac{8}{10}=\cfrac{4}{5}\)

\(\therefore C=\cfrac{5}{4}=1.25\) [uF]

以上で「コンデンサの容量計算」の説明を終わります。

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