RC並列回路の概要

抵抗とコンデンサを並列に接続した「RC並列回路」の、電圧、電流、インピーダンスの関係について説明します。

RC並列回路とRL並列回路の考え方は、コンデンサとコイルの違いだけで基本的には同じです。

RC並列回路の概要

RC並列回路とは、抵抗　$R$　と　静電容量　$C$　のコンデンサを、並列に接続した回路のことをいいます。

■　RC並列回路の電圧

RC並列回路では、抵抗　$R$　と　コンデンサ　$C$　は並列に接続されているので、$R$　と　$C$　にかかる電圧　$E$　は同じ大きさの電圧　になります。

■　RC並列回路の電流

抵抗に流れる電流　$\dot{I_R}$　は

$\dot{I_R}=\frac{\dot{E}}{R}$　[A]　

大きさは　$I_R=\frac{E}{R}$　[A]　

コンデンサに流れる電流　$\dot{I_C}$　は

$\dot{I_C}=\frac{\dot{E}}{X_C}$　[A]　

($X_C=\frac{1}{\omega C}$)　なので

大きさは　$I_C=\frac{E}{X_C}=\omega CE$　[A]　

RC並列回路の全電流　$\dot{I}$　は抵抗とコンデンサに流れる電流の和になります。

$\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}$　[A]

$\dot{I}=\dot{E}(\frac{1}{R}+\frac{1}{X_C})$　[A]

大きさは　$I=E\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\omega C{)}^2}$　[A]

RC並列回路のベクトル図

■　RC並列回路のベクトルの描き方

RC並列回路のRとCにかかる電圧は同じ大きさなので、電圧を基準としてベクトルを描きます。

電圧を基準としてベクトルを描く

抵抗に流れる電流　$\dot{I_R}$　を電圧と同相に描きます。

コンデンサに流れる電流　$\dot{I_C}$　を電圧より　$\frac{\pi }{2}$　進めて描きます。

$\dot{I_R}$　と　$\dot{I_C}$　のベクトル和が回路に流れる全電流　$\dot{I}$　になります。

RCの並列回路では、回路に流れる電流　$\dot{I}$　は電源電圧に対して進み電流になります。

RC並列回路の電圧・電流の大きさ

ベクトル図において　$\dot{I_R}$　$\dot{I_C}$　$\dot{I}$　は直角三角形ですから

三平方の定理を用いると回路の全電流　$I$　の大きさは

$I=\sqrt{{I_R}^2+{I_C}^2}$

$I=\sqrt{{\left(\frac{E}{R}\right)}^2+{\left(\frac{E}{X_C}\right)}^2}$

$I=E\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{X_C}^2}}$　[A]

$I=E\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\omega C{)}^2}$　[A]　

したがって、電源電圧　$E$　は

$E=\frac{I}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{X_C}^2}}}$　[V]

$E=\frac{I}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\omega C{)}^2}}$　[V]　になります。

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

合成インピーダンスは　電圧と電流の比ですから

電圧の式

$E=\frac{I}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{X_C}^2}}}$　[V]　から

$Z=\frac{E}{I}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{X_C}^2}}}$　[Ω]　　

($X_C=\frac{1}{\omega C}$)　なので

$Z=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\omega C{)}^2}}$　[Ω]　になります。

■　RC並列回路のインピーダンス角

RC並列回路のベクトル図で、基準とする電圧　$\dot{E}$　に対する電流　$\dot{I}$　の位相差　$\theta$　を　RC並列回路の　インピーダンス角　といいます。

$\tan \theta =\frac{I_C}{I_R}=\frac{\frac{E}{X_C}}{\frac{E}{R}}=\frac{R}{X_C}$

$\theta ={\tan }^{-1}\frac{R}{X_C}={\tan }^{-1}\omega CR$　[rad]

RC並列回路の記号法

交流を複素数で表す方法を　記号法　といいます。

次の回路は記号法によるRC並列回路です。

■　直交座標表示

$-j{X}_C=-j\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{j\omega C}$　容量性リアクタンス

抵抗　$R$　を流れる電流　$\dot{I_R}$　は、電圧　$\dot{E}$　と同相なので

$\dot{I_R}=\frac{\dot{E}}{R}$　[A]　

コンデンサ　$C$　を流れる電流　$\dot{I_C}$　は電圧　$\dot{E}$　より、$\frac{\pi }{2}$　[rad]　位相が進みます。

$\dot{I_C}=\frac{\dot{E}}{-j{X}_C}=j\frac{\dot{E}}{X_C}$　[A]　

たとえば、容量性リアクタンス　$\frac{1}{\omega C}=X_C$　の　$\omega$　の前に　$j$　を付けます。

$\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j}\times X_C=\frac{j}{j}\times \frac{1}{j}\times X_C=-j{X}_C$　であることがわかります。

回路全体の電流　$\dot{I}$　は、RC並列接続では各電流　$\dot{I_R}$　と　$\dot{I_C}$　の和になりますから

$\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}$$=\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{-j{X}_C}\right)\dot{E}$　[A]　

$X_C=\frac{1}{\omega C}$　なので

$\dot{I}=\left(\frac{1}{R}+j\omega C\right)\dot{E}$　[A]　　

電圧　$\dot{E}$　は

$\dot{E}=\frac{\dot{I}}{\frac{1}{R}+\frac{1}{-j{X}_C}}$

$X_C=\frac{1}{\omega C}$　なので

$\dot{E}=\frac{\dot{I}}{\frac{1}{R}+j\omega C}$　[V]　になります。

$\dot{Z}=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{-j{X}_C}}$　[Ω]

$\dot{Z}=\frac{1}{\frac{1}{R}+j\omega C}$　[Ω]　　

■　極座標表示

$\dot{I_R}=\frac{\dot{E}}{R}\mathrm{\angle }0$　[A]　　(電圧　$\dot{E}$　と同相)

$\dot{I_C}=\frac{\dot{E}}{X_C}\mathrm{\angle }\frac{\pi }{2}$　[A]　　(電圧　$\dot{E}$　より　$\frac{\pi }{2}$　進み)

$\dot{I}\mathrm{\angle }+\theta （\mathrm{シ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}）$　[A]

並列回路の力率について

並列回路の力率はインピーダンスで求めるときに

$\cos \theta =\frac{I_R}{I}=\frac{Z}{R}$　になりますので注意が必要です。

直列回路のときは

$\cos \theta =\frac{R}{Z}$　になります。

RC並列回路の公式

ベクトル

$X_C=\frac{1}{\omega C}$　[Ω]　　　

$\dot{I_R}=\frac{\dot{E}}{R}$　[A]　

$\dot{I_C}=\frac{\dot{E}}{X_C}=\omega C\dot{E}$　[A]　

$\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}$　[A]

$\dot{I}=\dot{E}(\frac{1}{R}+j\omega C)$　[A]　

記号法

$-j{X}_C=-j\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{j\omega C}$　[Ω]　　

$\frac{1}{-j{X}_C}=\frac{\omega C}{-j}=j\omega C$　

$\dot{I_C}=\frac{\dot{E}}{-j{X}_C}=j\omega C\dot{E}$　[A]　

$\dot{I}=\dot{E}(\frac{1}{R}+j\omega C)$　[A]　

$\dot{E}=\frac{\dot{I}}{\frac{1}{R}+\frac{1}{-j{X}_C}}$$=\frac{\dot{I}}{\frac{1}{R}+j\omega C}$　[V]　

$\dot{Z}=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{-j{X}_C}}$　[Ω]

$\dot{Z}=\frac{1}{\frac{1}{R}+j\omega C}$　[Ω]

大きさ

$I=E\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\omega C{)}^2}$　[A]

$E=\frac{I}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\omega C{)}^2}}$　[V]

$Z=\frac{R{X}_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}$　[Ω]　または

$Z=\frac{R\cdot \frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}$　[Ω]　

練習問題

問題１

抵抗　$R=6$ {Ω}、容量リアクタンス　$X_C=8$ [Ω]　の並列回路の合成インピーダンスを求めよ。

＜解答例＞

並列回路の合成インピーダンス　$Z$　は

$Z=\frac{R{X}_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}$

$Z=\frac{6\times 8}{\sqrt{6^2+8^2}}$

$Z=\frac{48}{100}=4.8$　[Ω]　

問題２

抵抗　$R=15$ {Ω}、容量リアクタンス　$X_C=20$ [Ω]　の

並列回路に、電圧 100 [V]を加えたときに回路に流れる電流　$I$　を求めよ。

＜解答例＞

合成インピーダンス　$Z$　は

$Z=\frac{R{X}_C}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}$

$Z=\frac{15\times 20}{\sqrt{{15}^2+{20}^2}}$

$Z=\frac{300}{\sqrt{625}}$

$Z=\frac{300}{25}=12$　[Ω]　

電流　$I$　は

$I=\frac{E}{Z}=\frac{100}{12}$$\fallingdotseq 8.3$　[A]

以上で「RC並列回路の概要」の説明を終わります。