交流の表し方と交流が正弦波交流になるわけ

この記事で書いていること

交流の特徴は直流と違って、大きさと向きが時間の経過とともに変化していることです。

交流の表し方、交流が正弦波交流になること、交流回路の約束事などについて説明します。

目次

交流の表し方

交流回路では、図のように時間の経過にと共に、交流電圧の大きさと向きが周期的に変化しています。

当然ですが、回路に流れる電流も大きさと向きが周期的に変化しています。

■ 交流の瞬時値と最大値

交流の瞬時値と最大値 には次のような意味があります。

  • \(V\cdots\)瞬時値 その交流の「ときどきの値」を表します。
  • \(V_m\cdots\)最大値 その交流の最大値を表します。
  • \(-V_m\cdots\)最大値 その交流のマイナスの最大値を表します。
  • \(E、V\cdots\)実効値 直流電力と同じ仕事をするときの、交流の値を表します。

交流の周期と周波数

同じ波形の一区切りを「周期」と呼び、記号を \(T\)、 単位を [s] で表します。

周期は(0から0)と限らず、どこの波形をとってもかまいません。

1秒間に繰り返す周期の数を 周波数 と呼び、記号を \(f\)、 単位を [Hz] で表します。

もし \(f=50\) [Hz] のときは

\(T=\cfrac{1}{50}\) [s] になります。

■ 周期と周波数の関係

周期と周波数の間には、次の関係があります。

\(T=\cfrac{1}{f}\) [s] 

\(f=\cfrac{1}{T}\) [Hz] 

交流を数式で表す

瞬時値 \(v\) を数式で表すと次のようになります。

\(v=V_m\sinωt\cdots(1)\)

\(ω\)(オメガ)は角速度のことで、1秒間に進む角度を表します。

単位は [rad/s] を使います。

\(ω=2πf\) [rad/s]

式(1)に \(ω=2πf\) を代入すると

\(v=V_m\sin2πft\) になります。

■ 横軸を時間で表示する

周波数を 60 [Hz] とすると

\(v=V_m\sin120πt\) になります。

次の図は、瞬時値を時間で表したものです。

\(t=\cfrac{1}{240}\) [s] を代入すると

\(v=V_m\sin\cfrac{π}{2}\)

\(\sin\cfrac{π}{2}=1\) なので

\(v=V_m\) になります。

\(t=\cfrac{1}{120}\) [s] を代入すると

\(v=V_m\sinπ\)

\(\sinπ=0\) なので

\(v=0\) になります。

\(t=\cfrac{1}{80}\) [s] を代入すると

\(v=V_m\sin\cfrac{3π}{2}\)

\(\sin\cfrac{3π}{2}=-1\) なので

\(v=-V_m\) になります。

\(t=\cfrac{1}{60}\) [s] を代入すると

\(v=V_m\sin2π\)

\(\sin2π=0\) なので

\(v=0\) になります。

■ 横軸を角度で表示する

交流回路では横軸を時間ではなく、角度で表現します。

■ 1周期は\(2π\) [rad] 

角速度を使うことで、周波数に関係なく交流を表現することができます。

位相と位相差

位相と位相差 について

■ 位相の遅れ

次の図において、\(v_2\) の位相の考え方について説明します。

\(v_2=V_m\sin(ωt-\cfrac{π}{3})\) となりますが

どのようにして \(-\cfrac{π}{3}\) を求めたら良いのでしょうか。

★ 考え方

\(v_2\) は \(\sinωt=\sin(\cfrac{π}{3}+x)=0\) になれば良いので

\(x=-\cfrac{π}{3}\) となります。

\(v_2=V_m\sin(\cfrac{π}{3}-\cfrac{π}{3})\)\(=V_m\sin0=0\)

位相差は、\(v_1\) に対して \(v_2\) は \(\cfrac{π}{3}\) 遅れていることになります。

値(あたい)がゼロになるところを比較すればわかります。

■ 位相の進み

次の図において、\(v_3\) の位相の考え方について説明します。

\(v_3=V_m\sin(ωt+\cfrac{π}{3})\) となります。

★ 考え方

\(v_3\) は \(\sinωt=\sin(-\cfrac{π}{3}+x)=0\) になれば良いので

\(x=+\cfrac{π}{3}\) となります。

\(v_3=V_m\sin(-\cfrac{π}{3}+\cfrac{π}{3})\)\(=V_m\sin0=0\)

位相差は、\(v_1\) に対して \(v_3\) は \(\cfrac{π}{3}\) 進んでいることになります。

値がゼロになるところを比較すればわかります。

コイルが起電力を発生する時に正弦波になる理由

交流が正弦波になるのは、当たり前と思って疑問を待たなかったのですが、どうしてかと疑問になります。

別に、どうでも良いことかもしれませんが、自分なりに考えてみました。

図1を見ると分かるように、円運動をする時のY軸のX軸からの位置をbとして、グラフ化すると正弦波になることが分かります。

コイルが磁界を切る時の方向

コイルの位置が水平の時は、磁界を垂直に切る部分がありません。

コイルに起電力が発生するためには、コイルが磁界を垂直に切らなければなりません。

辺cは円周に対して常に直角に動きます。

\(X-Y\) のコイルが \(X_1-Y_1\) まで角度 \(θ\) 動いた場合、コイルが磁界を垂直に切る部分は辺 b になります。

■ 図2でコイルが水平から磁石のN極に近づいて行く時、N極からの磁界が強くなっていきます。

  1. 発生する起電力はだんだんと強くなります。
  2. そして、N極まで来た時が最大になります。
  3. N極から遠ざかる時起電力は弱くなっていき、水平になった時がゼロになります。
  4. そして、これを繰り返します。

起電力は磁界を垂直に切る時に発生するので、コイルが磁界を垂直に切るのは赤の矢印のbの部分になリます。

■ 磁界を垂直に切る部分

磁界を垂直に切る部分は \(b=c\sinθ\) となります。

コイルが回転する時に、コイルが垂直に磁界を切る時だけ起電力ができます。

これはサインの値に比例しますので、これが交流が正弦波になる理由です。

正弦波交流には、瞬時値 最大値 実効値 平均値 などがあります。

単相交流とは

単相交流とは、図のように1つの交流電気が流れているものをいいます。


単相交流はコイルの中に磁石を配置して、磁石を回転させることで 電磁誘導 により、端子ab間に交流起電力を発生することができます。


単相交流は正弦波交流になり、瞬時値を \(e\) 最大値を \(E_m\) 実効値を \(E\) とすると次のように表されます。

\(e=E_m\sinωt\) [V]

\(e=\sqrt2E\sinωt\) [V]

単相交流は家庭で使われますが、実際の配電方式には 単相3線式 という配電方式が使われます。

単相3線式が用いられるのは、単相100ボルトと単相200ボルトの2つの電圧を使うことができるためです。

交流回路の約束事

交流回路の計算をする時は、いくつかの決まりがあります。

その決まりに従って計算する方が、全体の計算が簡単になる場合があります。

■ 求めるものが電圧の時

\(V=ZI\) なので、合成インピーダンスを求める。

■ 求めるものが電流の時

\(I=YI\) なので、合成アドミタンスを求める。

■ インピーダンスが並列接続になっている時

合成アドミタンスを求めるほうが、計算がやりやすくなる場合が多い。

インピーダンスとアドミタンスの関係

インピーダンス と アドミタンス の関係は、次のようになります。

\(Z=\cfrac{1}{Y}\) [Ω] 

\(Y=\cfrac{1}{Z}\) [S] 

表のようにインピーダンスとアドミタンスは、逆数の関係にあります。

交流回路の特徴

直列負荷回路では、インピーダンスの足し算で計算できるので、合成インピーダンスを求める方がやりやすくなります。

\(V=ZI=(Z_1+Z_2+Z_3)I\) [V] で合成インピーダンスから求める方が簡単になることがあります。

並列負荷回路では、アドミタンスにして計算すると足し算にすることができます。

電流を求める場合は合成アドミタンスで求める方が、計算をやり易くなることがあります。

\(I=YV=(Y_1+Y_2+Y_3)V\) [A] 

以上で「交流の表し方と交流が正弦波交流になるわけ」の説明を終わります。

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