正弦波交流の平均値




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正弦波交流の平均値

正弦波交流の大きさを表す方法の一つに平均値があります。

平均値は、瞬時値の和の平均で表すことができます。

平均値を \(E_{av}\)、最大値を \(E_m\) とすると、平均値は次のように表されます。

\(E_{av}=\cfrac{2}{\pi}E_m\) [V]

交流の波形

正弦波交流の波形は、1 周期について平均すると、各半周期の波形の大きさは等しいのでゼロになってしまいます。

そのため、次のように考えて平均値を求めます。

  1. 絶対値をとる。(正負の面積が同じ場合)
  2. 波形 1 周期分の面積 S を求める。
  3. 1 周期 T で割る。

このようにすることで、同じ幅で同じ面積の長方形の高さ(直流振幅)が求められる。

平均値の求め方

図から平均値 \(E_{av}\) を計算してみる。

\(E_{av}=\cfrac{S}{T}=\cfrac{1}{T}\int_0^T|e(t)|dt\)

平均値を求めるのであるから、1つの山について、つまり1/2周期について計算しても同じになります。

\(E_{av}=\cfrac{S}{T}=\cfrac{1}{T}\int_0^T|e(t)|dt\)

\(E_{av}=\cfrac{S/2}{T/2}=\cfrac{1}{T/2}\int_0^{T/2}|e(t)|dt\)

\(E_{av}=\cfrac{2}{T}\int_0^{T/2}|e(t)|dt\)

\(ωt=θ\) とすると

\(E_{av}=\cfrac{2}{T}\int_0^{T/2}E_m\sin θ\rm dθ\)

\(E_m\) は、積分の前に出せますので

\(E_{av}=\cfrac{2E_m}{T}\int_0^{T/2}\sin θ\rm dθ\)

ここで、1周期 \(T=2\pi\) ですから、式に代入すると

\(E_{av}=\cfrac{2E_m}{2\pi}\int_0^{2\pi/2}\sin θ\rm dθ\)

\(E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin θ\rm dθ\)

この式を展開すると

\(E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin θ\rm dθ\)

\(E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\left[-\cos θ\right]_0^{\pi}\)

\(E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\{-\cos \pi -(-\cos 0)\}\)

三角関数の値から

\(\cos \pi=-1、\cos 0=1\) を上の式に代入する

\(E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\{-\cos \pi -(-\cos 0)\}\)

\(E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\{-(-1)-(-1)\}\)

\(E_{av}=\cfrac{2}{\pi}E_m \fallingdotseq 0.6369E_m\) [V] になります。

積分の式について

\(E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin θ \rm dθ\)=\(\cfrac{E_m}{\pi}\left[-\cos θ\right]_0^{\pi}\)

積分の式は次のような意味があると、考えると分かりやすいのではないでしょうか。

三角関数で

\(\cosθ\) の微分は \(-\sinθ\) ですから、微分して \(\sinθ\) になるものは \(-\cosθ\) になります。

したがって、次の式になります。

\(E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin θ \rm dθ\)=\(\cfrac{E_m}{\pi}\left[-\cos θ\right]_0^{\pi}\)

以上で、正弦波交流の平均値についての説明を終わります。




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