正弦波交流の平均値

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正弦波交流の平均値

正弦波交流の大きさを表す方法の一つに平均値があります。

平均値は、瞬時値の和の平均で表すことができます。

平均値を $E_{av}$ 、最大値を $E_m$ とすると、平均値は次のように表されます。

$E_{av}=\cfrac{2}{\pi}E_m [V]$

交流の波形

正弦波交流の波形は、1周期について平均すると、各半周期の波形の大きさは等しいのでゼロになってしまいます。

そのため、次のように考えて平均値を求めます。

  1. 絶対値をとる。(正負の面積が同じ場合)
  2. 波形1周期分の面積 $S$ を求める。
  3. 1周期 $T$ で割る。

このようにすることで、同じ幅で同じ面積の長方形の高さ(直流振幅)が求められる。

平均値の求め方

図から平均値 $E_{av}$ を計算してみる。

$E_{av}=\cfrac{S}{T}=\cfrac{1}{T}\int_0^T|e(t)|dt$

平均値を求めるのであるから、1つの山について、つまり1/2周期について計算しても同じになります。

$E_{av}=\cfrac{S}{T}=\cfrac{1}{T}\int_0^T|e(t)|dt$

$E_{av}=\cfrac{S/2}{T/2}=\cfrac{1}{T/2}\int_0^{T/2}|e(t)|dt$

$E_{av}=\cfrac{2}{T}\int_0^{T/2}|e(t)|dt$

$ωt=θ$ とすると

$E_{av}=\cfrac{2}{T}\int_0^{T/2}E_m\sin θ\rm dθ$

$E_m$ は、積分の前に出せますので

$E_{av}=\cfrac{2E_m}{T}\int_0^{T/2}\sin θ\rm dθ$

ここで、1周期 $T=2\pi$ ですから、式に代入すると

$E_{av}=\cfrac{2E_m}{2\pi}\int_0^{2\pi/2}\sin θ\rm dθ$

$E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin θ\rm dθ$

この式を展開すると

$E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin θ\rm dθ$

$E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\left[-\cos θ\right]_0^{\pi}$

$E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\{-\cos \pi -(-\cos 0)\}$

三角関数の値から

$\cos \pi=-1$、$\cos 0=1$ を上の式に代入する

$E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\{-\cos \pi -(-\cos 0)\}$

$E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\{-(-1)-(-1)\}$

$E_{av}=\cfrac{2}{\pi}E_m$

$\fallingdotseq 0.6369E_m [V]$ になります。

積分の式について

$E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin θ \rm dθ=\cfrac{E_m}{\pi}\left[-\cos θ\right]_0^{\pi}$

積分の式は次のような意味があると、考えると分かりやすいのではないでしょうか。

三角関数で

$\cosθ$ の微分は $-\sinθ$ ですから、微分して $\sinθ$ になるものは $-\cosθ$ になります。

したがって、次の式になります。

$E_{av}=\cfrac{E_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin θ \rm dθ=\cfrac{E_m}{\pi}\left[-\cos θ\right]_0^{\pi}$

以上で、正弦波交流の平均値についての説明を終わります。

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