正弦波交流の実効値とは

電気に直流と交流があることは、誰でも知っていることでしょう。

直流は乾電池などで馴染みがあるので、よく知っていると思います。

直流は 電圧の大きさが一定で、電流の流れる向きも同じ方向 です。

しかし、交流の場合は 瞬時値と最大値 の項目で説明したように、 時間とともに電圧の大きさと向きが変化 します。

では、交流はどのように表したら適正なのでしょうか?

ここで、考えられたのが 実効値 という考え方です。

正弦波交流の実効値の考え方

図のように、同じ大きさの抵抗に直流電流と、交流電流を流したとします。

このときの電力量(仕事量)が同じになった場合、このときの交流の大きさを直流の値で表わします。

このときの値を 交流の実効値 とします。

交流電圧 \(e\) を 直流電圧の大きさ \(E\) で表わします。

交流の実効値を求める

正弦波交流電流 \(i\) と同じ効力の直流電流 \(I\) を求める。

下図の直流電源による電力を \(P_D\) とすると、次のようになります。

\(P_D=I^2R\quad\rm[W]\cdots(1)\)

また、交流電源による電力を \(P_A\) とすると、次のようになります。

\(P_A=i^2R\quad\rm[W]\cdots(2)\)

正弦波交流の電流は \(i=I_m\sinωt\) なので、時間の経過とともに大きさと流れる向きが変わります。

交流の場合は1周期が、繰り返されているわけですから、交流電源による電力 \(P_A\) を次のように表わします。

\(P_A=(i^2 の1周期の平均値)×R\cdots(3)\)

そして、\(P_D=P_A\) と仮定したのですから

式(1)と式(3)から

\(I^2R=(i^2 の1周期の平均値)×R\) 

\(I^2=(i^2 の1周期の平均値)\)

\(I=\sqrt{(i^2の1周期の平均値)}\)

\(i=I_m\sinωt\quad\rm[A]\) の 2乗 の波形は周期的に変化し

負の電流の値も 2乗 されるので、すべてプラス(+)になります。

■ 正弦波交流電流の実効値を求める

ここで、交流電流 \(i\) の実効値の値を求めてみます。

まず、\(i^2\) を求めると

\(i^2=(I_m\sinωt)^2\)

\(i^2={I_m}^2\sin^2ωt\cdots(4)\)

三角関数の 2倍角の公式から
\(\cos2α=1-2\sin^2α\)
\(\sin^2ωt=\cfrac{1-\cos2ωt}{2}\cdots(5)\)

式(3)に式(4)を代入すると

\(i^2={I_m}^2×\cfrac{1-\cos2ωt}{2}\)

\(i^2=\cfrac{{I_m}^2}{2}-\cfrac{{I_m}^2}{2}\cos2ωt\)\( \cdots(6)\)

■ cos2ωtの波形

\(\cos2ω\) の波形は 1 周期を平均すると、正の波形と負の波形の面積が等しいので、0(ゼロ)です。

\(-\cfrac{{I_m}^2}{2}\cos2ωt=0\) となるので

式(6)は

\(i^2\)\(=\cfrac{{I_m}^2}{2}-\cfrac{{I_m}^2}{2}\cos2ωt\)\(=\cfrac{{I_m}^2}{2}\)

実効値は次のようになります。

\(I=\sqrt{\cfrac{{I_m}^2}{2}}\)

\(I=\cfrac{I_m}{\sqrt2}\quad\rm[A]\)\(\cdots(7)\)

従って、実効値は最大値の \(1/\sqrt2\) になります。

実効値と最大値と平均値の関係

実効値を \(E、I\)
最大値を \(E_m、I_m\)
平均値を \(E_{av}、I_{av}\) とします。

★ 実効値=\(\cfrac{最大値}{\sqrt2}\)\(≒0.707 × 最大値\) 

電圧の実効値 \(E=\cfrac{E_m}{\sqrt2}\quad\rm[V]\) 

電流の実効値 \(I=\cfrac{I_m}{\sqrt2}\quad\rm[A]\) 

★ 最大値=\(\sqrt{2}\) × 実効値

電圧の最大値 \(E_m=\sqrt{2}E\quad\rm[V]\) 

電流の最大値 \(I_m=\sqrt{2}I\quad\rm[A]\) 

★ 平均値=\(\cfrac{2}{π}\)× 最大値≒0.637×最大値

電圧の平均値 \(E_{av}=\cfrac{2}{π}×E_m\quad\rm[V]\) 

電圧の平均値 \(I_{av}=\cfrac{2}{π}×I_m\quad\rm[A]\) 

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以上で「正弦波交流の実効値とは」の説明を終わります。