正弦波交流の実効値とは
電気に直流と交流があることは、誰でも知っていることでしょう。
直流は乾電池などで馴染みがあるので、その名の通り電圧が一定です。
しかし、交流の場合は「瞬時値と最大値」の項目で説明したように、時間とともに電圧の大きさと向きが変化します。
では、交流を表すのはどうしたら良いかということになります。
ここで、考えられたのが「実効値」というものです。
正弦波交流の実効値の考え方
図のように、同じ大きさの抵抗に直流電流と、交流電流を流したとします。
このときの電力量（仕事量）が同じになった場合、このときの交流の大きさを直流の値で表わし、この値のことを「交流の実効値」といいます。
交流電圧 \(e\) を 直流電圧の大きさ \(E\) で表わし
交流電流 \(i\) を 直流電流の大きさ \(I\) で表わします。
実効値と最大値と平均値の関係
実効値=\(\cfrac{最大値}{\sqrt{2}}\)≒0.707 × 最大値
\(E=\cfrac{E_m}{\sqrt{2}}\) [V]
\(I=\cfrac{I_m}{\sqrt{2}}\) [A]
最大値=\(\sqrt{2}\)× 実効値
\(E_m=\sqrt{2}E\) [V]
\(I_m=\sqrt{2}I\) [A]
平均値=\(\cfrac{2}{π}\)× 最大値≒0.637×最大値
\(E_{av}=\cfrac{2}{π}×E_m\) [V]
\(I_{av}=\cfrac{2}{π}×I_m\) [A]
電流の実効値と瞬時値の関係
\(I=\sqrt{i^2の平均}\) [A]
交流の実効値を求める
●正弦波交流電流 \(i\) と同じ効力の直流電流 \(I\) を求める。
下図の直流電源による電力を \(P_D\) とすると、次のようになります。
\(P_D=I^2R\) [W] \(\cdots(1)\)
また、交流電源による電力を \(P_A\) とすると、次のようになります。
\(P_A=i^2R\) [W] \(\cdots(2)\)
正弦波交流の電流は \(i=I_m\sinωt\) [A] なので、時間の経過とともに大きさと流れる向きが変わります。
交流の場合は１周期が、繰り返されているわけですから、交流電源による電力 \(P_A\) を次のように表わします。
\(P_A=（i^2 の１周期の平均値）×R\) [W] \(\cdots(3)\)
そして、\(P_D=P_A\) と仮定したのですから、式(1)と式(3)から
\(I^2R=（i^2 の１周期の平均値）×R\) から
\(I^2=（i^2 の１周期の平均値）\)
\(I=\sqrt{（i^2の１周期の平均値）}\)
● \(i=I_m\sinωt\) [A] の 2乗 の波形は周期的に変化し、負の電流の値も 2乗 されるので、すべてプラス（+）になります。
正弦波交流電流の実効値を求める
ここで、交流電流 \(i\) の実効値の値を求めてみます。
まず、\(i^2\) を求めると
\(i^2=(I_m\sinωt)^2=I_m^2\sin^2ωt\) \(\cdots(4)\)
三角関数の 2倍角の公式から \(\cos2α=1-2\sin^2α\)
\(\sin^2ωt=\cfrac{1-\cos2ωt}{2}\) \(\cdots(5)\)
式(3)に式(4)を代入すると
\(i^2=I_m^2×\cfrac{1-\cos2ωt}{2}\)＝\(\cfrac{I_m^2}{2}-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt \cdots(6)\)
cos2ωtの波形
● \(\cos2ω\) の波形は 1 周期を平均すると、正の波形と負の波形の面積が等しいので、0（ゼロ）です。
\(-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt=0\) となるので
式(6)は
\(i^2=\cfrac{I_m^2}{2}-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt\)＝\(\cfrac{I_m^2}{2}\)
従って、 実効値は次のようになります。
\(I=\sqrt{\cfrac{I_m^2}{2}}\)＝\(\cfrac{I_m}{\sqrt2}\) [A] \(\cdots(7)\)
● 実効値は最大値の \(1/\sqrt2\) になる。
以上で「正弦波交流の実効値とは」の説明を終わります。
