正弦波交流の実効値とは

正弦波交流の実効値とは

電気に直流と交流があることは、誰でも知っていることでしょう。

直流は乾電池などで馴染みがあるので、その名の通り電圧が一定です。

しかし、交流の場合は「瞬時値と最大値」の項目で説明したように、時間とともに電圧の大きさと向きが変化します。

では、交流を表すのはどうしたら良いかということになります。

ここで、考えられたのが「実効値」というものです。

正弦波交流の実効値の考え方

図のように、同じ大きさの抵抗に直流電流と、交流電流を流したとします。

このときの電力量（仕事量）が同じになった場合、このときの交流の大きさを直流の値で表わし、この値のことを「交流の実効値」といいます。

交流電圧　$e$　を 直流電圧の大きさ　$E$　で表わし

交流電流　$i$　を 直流電流の大きさ　$I$　で表わします。

実効値と最大値と平均値の関係

電流の実効値と瞬時値の関係

交流の実効値を求める

●正弦波交流電流　$i$　と同じ効力の直流電流　$I$　を求める。

下図の直流電源による電力を　$P_D$　とすると、次のようになります。

$P_D=I^2R　[W]\tag{1}$

また、交流電源による電力を　$P_A$　とすると、次のようになります。

$P_A=i^2R　[W] \tag{2}$

正弦波交流の電流は　$i=I_m\sinωt[A]$　なので、時間の経過とともに大きさと流れる向きが変わります。

交流の場合は１周期が、繰り返されているわけですから、交流電源による電力　$P_A$　を次のように表わします。

$P_A=（i^2 の１周期の平均値）×R　[W] \tag{3}$

そして、 $P_D=P_A$　と仮定したのですから、式(1)と式(3)から

$I^2R=（i^2 の１周期の平均値）×R$　から

$I^2=（i^2 の１周期の平均値）$

$I=\sqrt{（i^2の１周期の平均値）}$

● $i=I_m\sinωt　[A]$　の2乗の波形は周期的に変化し、負の電流の値も2乗されるので、すべてプラス（+）になります。

正弦波交流電流の実効値を求める

ここで、交流電流　$i$　の実効値の値を求めてみます。まず、 $i^2$　を求めると

$i^2=(I_m\sinωt)^2=I_m^2\sin^2ωt\tag{4}$

三角関数の2倍角の公式から　$\cos2α=1-2\sin^2α$

$\sin^2ωt=\cfrac{1-\cos2ωt}{2}\tag{5}$

式(3)に式(4)を代入すると

$i^2=I_m^2×\cfrac{1-\cos2ωt}{2}=\cfrac{I_m^2}{2}-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt\tag{6}$

cos2ωtの波形

● $\cos2ω$ の波形は1周期を平均すると、正の波形と負の波形の面積が等しいので、0（ゼロ）です。

$-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt=0$　となるので

式(6)は

$i^2=\cfrac{I_m^2}{2}-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt=\cfrac{I_m^2}{2}$

従って、　実効値は次のようになります。

$I=\sqrt{\cfrac{I_m^2}{2}}=\cfrac{I_m}{\sqrt2}[A]\tag{7}$

● 実効値は最大値の　\(1/\sqrt2\)　になる。

以上で「正弦波交流の実効値とは」の説明を終わります。