正弦波交流の実効値とは

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正弦波交流の実効値とは


電気に直流と交流があることは、誰でも知っていることでしょう。直流は乾電池などで馴染みがあるので、その名の通り電圧が一定です。
しかし、交流の場合は「瞬時値と最大値」の項目で説明したように、時間とともに電圧の大きさと向きが変化します。

 

では、交流を表すのはどうしたら良いかということになります。ここで、考えられたのが「実効値」というものです。

 

正弦波交流の実効値の考え方

 

図のように、同じ大きさの抵抗に直流電流と、交流電流を流したとします。このときの電力量(仕事量)が同じになった場合、このときの交流の大きさを直流の値で表わし、この値のことを「交流の実効値」といいます。

 

交流電圧 \(e\) を 直流電圧の大きさ \(E\) で表わし
交流電流 \(i\) を 直流電流の大きさ \(I\) で表わします。

 

 

実効値と最大値と平均値の関係

 

$$実効値=\cfrac{最大値}{\sqrt{2}}≒0.707×最大値$$
$E=\cfrac{E_m}{\sqrt{2}} [V] \tag{3-1-9-1}$
$$I=\cfrac{I_m}{\sqrt{2}}[A]$$

 

$$最大値=\sqrt{2}×実効値$$
$E_m=\sqrt{2}E[V] \tag{3-1-9-2}$
$$I_m=\sqrt{2}I[A]$$

 

$$平均値=\cfrac{2}{π}×最大値≒0.637×最大値$$
$E_{av}=\cfrac{2}{π}×E_m [V] \tag{3-1-9-3}$
$$I_{av}=\cfrac{2}{π}×I_m [A]$$

 

 

電流の実効値と瞬時値の関係

\(I=\sqrt{i^2の平均} [A] \tag{3-1-9-4} \)

 

交流の実効値を求める

 

●正弦波交流電流 $i$ と同じ効力の直流電流 $I$ を求める。

 

下図の直流電源による電力を \(P_D\) とすると、次のようになります。
\(P_D=I^2R [W]\tag{1} \)

 

また、交流電源による電力を \(P_A\) とすると、次のようになります。
\(P_A=i^2R [W] \tag{2}\)

 

正弦波交流の電流は $i=I_msinωt[A]$ なので、時間の経過とともに大きさと流れる向きが変わります。

 

交流の場合は1周期が、繰り返されているわけですから、交流電源による電力 $P_A$ を次のように表わします。
\(P_A=(i^2の1周期の平均値)×R [W] \tag{3} \)
そして、 \(P_D=P_A\) と仮定したのですから、式(1)と式(3)から
  $I^2R=(i^2の1周期の平均値)×R$ から

 

  $I^2=(i^2の1周期の平均値)$

 

  $I=\sqrt{(i^2の1周期の平均値)}$

 


● \(i=I_msinωt [A]\) の2乗の波形は周期的に変化し、負の電流の値も2乗されるので、すべてプラス(+)になります。

 

正弦波交流電流の実効値を求める

 

ここで、交流電流 $i$ の実効値の値を求めてみます。まず、 $i^2$ を求めると
$i^2=(I_msinωt)^2=I_m^2sin^2ωt\tag{4}$
三角関数の2倍角の公式から $cos2α=1-2sin^2α$
$sin^2ωt=\cfrac{1-cos2ωt}{2}\tag{5}$

 

式(3)に式(4)を代入すると
$i^2=I_m^2×\cfrac{1-cos2ωt}{2}=\cfrac{I_m^2}{2}-\cfrac{I_m^2}{2}cos2ωt\tag{6}$

 

cos2ωtの波形

 

● \(cos2ω\)$ の波形は1周期を平均すると、正の波形と負の波形の面積が等しいので、0(ゼロ)です。


  $-\cfrac{I_m^2}{2}cos2ωt=0$ となるので

 

式(6)は
  $i^2=\cfrac{I_m^2}{2}-\cfrac{I_m^2}{2}cos2ωt=\cfrac{I_m^2}{2}$

 

従って、 実効値は次のようになります。
  $I=\sqrt{\cfrac{I_m^2}{2}}=\cfrac{I_m}{\sqrt2}[A]\tag{7}$

 

実効値は最大値の \(1/\sqrt2\) になる。

 

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