正弦波交流の実効値とは




電気に直流と交流があることは、誰でも知っていることでしょう。

直流は乾電池などで馴染みがあるので、よく知っていると思います。直流は電圧が一定です。

しかし、交流の場合は「瞬時値と最大値」の項目で説明したように、時間とともに電圧の大きさと向きが変化します。

では、交流はどのように表したら適正なのでしょうか?

ここで、考えられたのが「実効値」という考え方です。

正弦波交流の実効値の考え方

図のように、同じ大きさの抵抗に直流電流と、交流電流を流したとします。

このときの電力量(仕事量)が同じになった場合、このときの交流の大きさを直流の値で表わします。

このときの値を「交流の実効値」とします。

交流電圧 \(e\) を 直流電圧の大きさ \(E\) で表わします。

交流の実効値を求める

●正弦波交流電流 \(i\) と同じ効力の直流電流 \(I\) を求める。

下図の直流電源による電力を \(P_D\) とすると、次のようになります。

\(P_D=I^2R\) [W] \(\cdots(1)\)

また、交流電源による電力を \(P_A\) とすると、次のようになります。

\(P_A=i^2R\) [W] \(\cdots(2)\)

正弦波交流の電流は \(i=I_m\sinωt\) [A] なので、時間の経過とともに大きさと流れる向きが変わります。

交流の場合は1周期が、繰り返されているわけですから、交流電源による電力 \(P_A\) を次のように表わします。

\(P_A=(i^2 の1周期の平均値)×R\) [W] \(\cdots(3)\)

そして、\(P_D=P_A\) と仮定したのですから、式(1)と式(3) から

\(I^2R=(i^2 の1周期の平均値)×R\) から

\(I^2=(i^2 の1周期の平均値)\)

\(I=\sqrt{(i^2の1周期の平均値)}\)

• \(i=I_m\sinωt\) [A] の 2乗 の波形は周期的に変化し、負の電流の値も 2乗 されるので、すべてプラス(+)になります。

●正弦波交流電流の実効値を求める
ここで、交流電流 \(i\) の実効値の値を求めてみます。

まず、\(i^2\) を求めると

\(i^2=(I_m\sinωt)^2=I_m^2\sin^2ωt\) \(\cdots(4)\)

三角関数の 2倍角の公式から \(\cos2α=1-2\sin^2α\)

\(\sin^2ωt=\cfrac{1-\cos2ωt}{2}\) \(\cdots(5)\)

式(3)に式(4)を代入すると

\(i^2=I_m^2×\cfrac{1-\cos2ωt}{2}\)=\(\cfrac{I_m^2}{2}-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt \cdots(6)\)

• cos2ωtの波形

• \(\cos2ω\) の波形は 1 周期を平均すると、正の波形と負の波形の面積が等しいので、0(ゼロ)です。

\(-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt=0\) となるので

式(6)は

\(i^2=\cfrac{I_m^2}{2}-\cfrac{I_m^2}{2}\cos2ωt\)=\(\cfrac{I_m^2}{2}\)

実効値は次のようになります。

\(I=\sqrt{\cfrac{I_m^2}{2}}\)=\(\cfrac{I_m}{\sqrt2}\) [A] \(\cdots(7)\)

従って、実効値は最大値の \(1/\sqrt2\) になります。

実効値と最大値と平均値の関係

実効値を \(E、I\)
最大値を \(E_m、I_m\)
平均値を \(E_{av}、I_{av}\) とします。

•実効値=\(\cfrac{最大値}{\sqrt2}\)≒0.707 × 最大値

電圧の実効値 \(E=\cfrac{E_m}{\sqrt2}\) [V]

電流の実効値 \(I=\cfrac{I_m}{\sqrt2}\) [V]  

•最大値=\(\sqrt{2}\) × 実効値

電圧の最大値 \(E_m=\sqrt{2}E\) [V]

電流の最大値 \(I_m=\sqrt{2}I\) [A]

•平均値=\(\cfrac{2}{π}\)× 最大値≒0.637×最大値

電圧の平均値 \(E_{av}=\cfrac{2}{π}×E_m\) [V]

電圧の平均値 \(I_{av}=\cfrac{2}{π}×I_m\) [A]

以上で「正弦波交流の実効値とは」の説明を終わります。




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