ラジアンと角速度・角周波数とは何か

電気の分野などでは角度を円弧の長さで測る　ラジアン　を使います。

角度が移動する大きさを表すものに、角速度があります

ここでは、ラジアンと角速度・角周波数の説明をします。

ラジアンとは何か

ラジアンとは、中心角　\(θ\)　を表す方法で

弧の長さ　\(l\)　[m]　を円の半径　\(r\)　[m]　で割った値をいいます。

■　1ラジアン

1ラジアンとは、円の半径に等しい円弧の長さに対する中心角の大きさをいいます。

■　ラジアンで表す方法

次のように、円弧の長さ　\(2π\)、半径　\(6\)　の角度　\(θ\)　をラジアンで表して見ましょう。

\(θ=\cfrac{2π}{6}=\cfrac{π}{3}\)　[rad]　になります。

ラジアンと角度の相互変換

■　ラジアンを度数に換算する

ラジアンを　\(θ\)、度数を　\(α\)　とすると

\(θ=α°×\cfrac{π}{180}\)　[rad]　

■　度数をラジアンに換算する

度数を　\(α\)、ラジアンを　\(θ\)　とすると

\(α°=θ×\cfrac{180}{π}\)

角速度とは

電気回路では、コイルの回転角　\(θ\)　の大きさを表すのに、　角度　ではなく　ラジアン　を使います。

１秒間に　A点から　B点に移動したときに進む角度の大きさを　角速度（角周波数）　といいます。

角速度は　\(ω\) （オメガ）で表し、単位に　[rad/s] （ラジアン毎秒）　を使います。

　角速度 は 角周波数 ともいわれます。　

角速度は周波数に比例する

■　角速度と回転角の関係

図を単位円とすると、\(t\)　秒間に　A点から　B点まで移動したときの、回転角を　\(θ\)　[rad]　とします。

このときの、角速度　\(ω\)　は

\(ω=\cfrac{θ}{t}\)　[rad]　になります。

上の式を変形すると

\(θ=ωt\)　[rad]　となります。

周期　\(T\)　[s]　は１回転する時間のことをいいます。

回転角　\(θ\)　は、１回転で　\(2π\)　[rad]　ですから

角速度　\(ω\)　は、次のようになります。

\(ω=\cfrac{θ}{t}=\cfrac{2π}{T}\)　[rad]

また、周波数　\(f\)　[Hz]　と周期　\(T\)　[s]　の間には、次の関係があります。

\(f=\cfrac{1}{T}\)　[Hz]　

この式を、\(ω\) の式に代入すると

\(ω=\cfrac{2π}{T}=2π・\cfrac{1}{T}=2πf\)　[rad/s]　になります。

この式から、角速度　\(ω\)　は周波数　\(f\)　に比例することがわかります。

交流電圧の角速度による表し方

\(\large e=E_m\sinθ\)　[V]　

\(\large e=E_m\sinωt\)　[V]　

\(\large e=E_m\sin2πft\)　[V]

練習問題

問題 1

角度　90°　をラジアンに変換する。

＜解答例＞

\(θ=α°×\cfrac{π}{180}\)　[rad]　を使って

\(θ=90×\cfrac{π}{180}=\cfrac{π}{2}\)　[rad]　になります。

問題 2

ラジアンの　\(\cfrac{π}{3}\)　を角度に変換する。

＜解答例＞

\(α°=θ×\cfrac{180}{π}\)　を使って

\(α°=\cfrac{π}{3}×\cfrac{180°}{π}=60°\)　になります。

以上で「ラジアンと角速度・角周波数とは何か」の説明を終わります。