直列共振とは




抵抗、コイル、コンデンサの直列回路において、起こる現象に共振回路があります。ここでは、直列共振について説明します。

図のようなRLC直列回路において、\(X_L\)と\(X_C\)が等しい状態を「直列共振」といいます。

RLC直列回路の合成インピーダンス\(\dot Z\)は、次のような式になります。

\(\dot Z=R+j(X_L-X_C)\) [Ω]

この式で、誘導リアクタンス \(X_L\) と容量リアクタンス \(X_C\) が等しい状態を「共振」といいます。

共振したときの合成インピーダンス \(\dot Z\) は

\(\dot Z=R+j(X_L-X_C)=R\) [Ω] となり抵抗だけになります。

RLC直列回路のベクトル図

直列回路が共振したときのベクトルを描くと、次の図のようになります。

抵抗 \(R\) の電圧 \(\dot{V_R}\) は、

\(\dot{V_R}=R\dot{I}\) [V]

誘導リアクタンスの電圧 \(\dot{V_L}\) は、

\(\dot{V_L}=jX_L\dot{I}\) [V]

容量リアクタンスの電圧 \(\dot{V_C}\) は、

\(\dot{V_C}=-jX_C\dot{I}\) [V]

直列共振したときの共振電流

直列回路の合成インピーダンス \(\dot{Z}\) は、共振状態になると抵抗 \(R\) だけになります。

\(\dot{Z}=R+j(X_L-X_C)\)\(=R+J0=R\) [Ω] 

●RLC直列回路の共振電流
共振したときは、\(X_L=X_C\) なので、\(V_L=V_C\) になります。

電流を基準にすると、図のように、\(\dot{V_L}\) は \(\cfrac{π}{2}\) の進み

\(\dot{V_C}\) は \(\cfrac{π}{2}\) の遅れになりますので、共振したときは互いに打ち消し合います。

したがって、回路は抵抗 \(R\) の電圧 \(\dot{V_R}\) だけになります。

RLC直列回路の共振状態の時には、インピーダンスが抵抗 \(R\) だけになり最小になるので、共振電流 \(I_0\) は最大になります。

共振電流 \(\dot{I_0}\) は

\(\dot{I_0}=\cfrac{\dot{E}}{\dot{Z}}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) [A] になります。

これは見かけ上のインピーダンスが抵抗だけになるためです。

共振周波数からはなれるほど電流は減少します。

この様子を示したものを共振曲線または、共振特性といいます。

図の曲線に見られるように、\(f_o\) だけをよく通し、\(f_o\) 以外の電流は流しにくいことになる。

このような現象を選択性があるといいます。

テレビやラジオで選局するのもこの応用です。

この共振現象を利用してテレビやラジオの選局をすることを同調させるといいます。

RLC直列回路の共振周波数

図1のように誘導リアクタンス \(X_L\) は周波数を 0(ゼロ)から増加させていくと、周波数に比例して大きくなります。

逆に容量リアクタンス \(X_C\) は小さくなっていきます。

この両者は正反対の要素を持っているので、周波数を増加させていくと途中に必ず、\(ωL=\cfrac{1}{ωC}\) になる周波数 \(f_0\) があります。

この時の周波数 \(f_0\) を共振周波数といいます。

共振周波数 \(f_0\) のときの共振角速度を \(ω_0\) とすると

\(ω_0L=\cfrac{1}{ω_0C}\) から

\({ω_0}^2=\cfrac{1}{LC}\)

\(ω_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\)

ここで、\(ω_0=2πf_0\) ですから

\(2πf_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\) になります。

したがって、共振周波数は

\(f_0=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\) [Hz] になります。

直列共振の特徴

共振状態になると
•電源から見たインピーダンスは見かけ上は抵抗だけになるので、電圧と電流は同相になります。
•共振状態のときは L や C の端子電圧が電源電圧より大きくなります。電圧拡大作用という現象がおきます。
•共振状態のときの電流の値は最大になります。

●\(L\) と \(C\) の電圧拡大作用
RLC直列回路が共振状態になると、電源電圧 \(E\) より \(L\) や \(C\) の端子電圧が大きくなるという現象が起こります。

その大きさは、共振電流を \(I_0\) とすると

\(I_0=\cfrac{E}{R}\) [A]

共振角速度 \(ω_0\) は

\(ω_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}\)

\(L\) や \(C\) の端子電圧 \(V_L、V_C\) は次のようになります。

\(V_L=ω_0LI_0=ω_0L\cfrac{E}{R}\) [V]

\(V_C=\cfrac{1}{ω_0C}I_0=\cfrac{1}{ω_0C}\cfrac{E}{R}\) [V]

電源電圧と\(V_L\) や \(V_C\) の比を「選択度」あるいは \(Q\) といいます。

\(Q=\cfrac{V_L}{E}=\cfrac{ω_0L\cfrac{E}{R}}{E}=\cfrac{ω_0L}{R}=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\)

\(Q=\cfrac{V_C}{E}=\cfrac{\cfrac{E}{ω_0CR}}{E}=\cfrac{1}{ω_0CR}=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\)

したがって、\(L\) や \(C\) は電源電圧に対して

\(L\) の端子電圧は \(\cfrac{ωL}{R}\) 倍

\(C \)の端子電圧は \(\cfrac{1}{ωCR}\) 倍になります。

選択度 \(Q\) は

\(Q=\cfrac{V_L}{E}=\cfrac{V_C}{E}=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\) になります。

計算例

直列共振 
次のようなRLC直列回路に、 \(R=10\) [Ω]、\(L=10π\) [mH]、\(C=π/4\) [μF] が接続されているとき、\(E=10\) [V] の交流電圧を加えると、共振時に \(L、C\) 両端の電圧は 何 [V] になるか求めよ。 
(\(π^2 \fallingdotseq 10\)とする。) 

<解 答>
\(f_o=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\)=\(\cfrac{1}{2π\sqrt{10π×10^{-3}×(π/4)×10^{-6}}}\)=\(\cfrac{1}{π^2×10^{-4}}\)=\(\cfrac{10000}{10}=1000\) [Hz]

\(I_o=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{R}=\cfrac{10}{10}=1\) [A]

\(X_L=ωL\)=\(2πfL=2π×10^3×10π×10^{-3}=200\) [Ω]

\(X_C=\cfrac{1}{ωC}\)=\(\cfrac{1}{2πfC}=\cfrac{1}{2π×10^3×(π/4)×10^{-6}}=200\) [Ω]

\(V_L=ωLI=200×1=200\) [V]

\(V_C=\cfrac{1}{ωC}I=200×1=200\) [V]

\(Q=\cfrac{ωL}{R}=\cfrac{200}{10}=20\) 倍

\(Q=\cfrac{1}{ωCR}=200×\cfrac{1}{10}=20\) 倍

このことから分かるように、\(L\) や \(C\) の端子電圧は電源電圧の 20 倍にもなることが分かります。

並列共振とは

2019.06.11

以上で「直列共振とは」の説明を終わります。




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