Y-Δ変換回路とは




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Y-Δ変換回路とは

三相交流回路の、Y(スター)接続からΔ(デルタ)接続への変換について説明します。

図1のY接続回路と図2のΔ接続回路端子A-B、B-C、C-Aの各端子間の合成抵抗は、それぞれ等しいとする。

Y結線からΔ結線へ変換後のΔ接続回路の各抵抗値

YからΔへ変換した場合の、Δ接続回路の各抵抗値は、次のようになります。

\(R_1=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}\) [Ω]

\(R_2=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a}\) [Ω]

\(R_3=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b}\) [Ω] 

各相の抵抗値が等しい場合

ここで、Y回路の抵抗 \(R_a、R_b、R_c\) の大きさが同じで \(R\) とすると、それぞれ3倍の大きさになります。

\(R_1=3R\) [Ω]

\(R_2=3R\) [Ω]

\(R_3=3R\) [Ω] 

<証明>

端子A-BC間の合成抵抗を求める

●スター(Y)回路の端子A-D間を計算する。

三つの抵抗 \(R_a、R_b、R_c\) が Y に接続された回路と、等価な Δ に接続された回路に変換した各抵抗 \(R_1、R_2、R_3\) を求めます。

端子B-C 間を短絡し、この端子を D とします。

図の端子A-D間の抵抗は、抵抗 \(R_b、R_c\) の並列接続に抵抗 \(R_a\) が直列に接続された直並列回路になります。

抵抗 \(R_b、R_c\) の並列回路の合成抵抗 \(R_{bc}\) は

\(R_{bc}=\cfrac{R_bR_c}{R_b+R_c}\)

従って、端子A-D間の合成抵抗 \(R_{AD}\) は

\(R_{AD}=R_a+R_{bc}=R_a+\cfrac{R_bR_c}{R_b+R_c}\)

\(R_{AD}=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b+R_c}\)

\(R_{AD}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{AD}}\)=\(\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(1)\)

●デルタ(Δ)回路の端子A-D間を計算する。

図のように、Δ接続回路で、端子B と C を短絡した端子 D と端子A から見た、合成抵抗 \(R_{AD}\) は抵抗 \(R_1\) と \(R_3\) の並列接続です。

合成抵抗 \(R_{AD}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{AD}}\)=\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3} \cdots(2)\)

式(1)と式(2)が等しいと仮定したので、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}\)=\(\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(3)\)

端子B-CA 間 の合成抵抗を求める

●スター(Y)回路の端子B-E 間 を計算する。

端子C-A 間 を短絡し、この端子を E とします。

同じように、端子B-E 間 の合成抵抗 \(R_{BE}\) は次のようになります。

抵抗 \(R_c、R_a\) の並列回路の合成抵抗 \(R_{ca}\) は

\(R_{ca}=\cfrac{R_cR_a}{R_c+R_a}\)

従って、端子B-E 間 の合成抵抗 \(R_{BE}\) は

\(R_{BE}=R_b+R_{ca}=R_b+\cfrac{R_cR_a}{R_c+R_a}\)

\(R_{BE}=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c+R_a}\)

\(R_{BE}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{BE}}\)=\(\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(4)\)

●デルタ(Δ)回路の端子B-E 間 を計算する。

図のように、Δ接続回路で、端子C と A を短絡した端子 E と端子 B から見た、合成抵抗 \(R_{BE}\) は抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の並列接続です。

合成抵抗 \(R_{BE}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{BE}}\)=\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2} \cdots(5)\)

式(4)と式(5)が等しいと仮定したので、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\)=\(\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(6)\)

端子C-AB 間 の合成抵抗を求める

●スター(Y)回路の端子C-F 間 を計算する。

端子A-B 間 を短絡し、この端子を F とします。

同じように、端子C-F 間 の合成抵抗 \(R_{CF}\) は次のようになります。

抵抗 \(R_a、R_b\) の並列回路の合成抵抗 \(R_{ab}\) は

\(R_{ab}=\cfrac{R_aR_b}{R_a+R_b}\)

従って、端子C-F 間 の合成抵抗 \(R_{CF}\) は

\(R_{CF}=R_c+R_{ab}=R_c+\cfrac{R_aR_b}{R_a+R_b}\)

\(R_{CF}=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a+R_b}\)

\(R_{CF}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{CF}}\)=\(\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(7)\)

●デルタ(Δ)回路の端子C-F 間 を計算する。

図のように、Δ接続回路で、端子A と B を短絡した端子 F と 端子C から見た、合成抵抗 \(R_{CF}\) は抵抗 \(R_2\) と \(R_3\) の並列接続です。

\(\cfrac{1}{R_{CF}}=\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3} \cdots(8)\)

式(7)と式(8)が等しいと仮定したので、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)=\(\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(9)\)

●\(R_1、R_2、R_3\) を求める。

上式の式(3)、式(6)、式(9)から

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}\)=\(\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(3)\)

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\)=\(\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(6)\)

\(\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)=\(\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(9)\)

式(3)、式(6)、式(9)の左辺と右辺をそれぞれ加算します。

\(2\left(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3} \right)\)=\(\cfrac{2(R_a+R_b+R_c)}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(10)\)

式(10)の両辺を2で割ると

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)=\(\cfrac{R_a+R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(11)\)

\(R_1\) を求めるには、式(11)の右辺と左辺から、式(9)の右辺と左辺を引きます。

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}-(\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3})\)=\(\cfrac{R_a+R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}-\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)

\(\cfrac{1}{R_1}=\cfrac{R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a} \cdots(12)\)

両辺の逆数をとると

\(R_1=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c} \cdots(13)\)

\(R_2\) を求めるには、式(11)の右辺と左辺から式(3)の右辺と左辺を引いて、同様に計算すると

\(R_2=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a} \cdots(14)\)

\(R_3\) を求めるには、式(11)の右辺と左辺から式(6)の右辺と左辺を引いて、同様に計算すると

\(R_3=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b} \cdots(15)\)

以上で、\(R_1、R_2、R_3\) が求められました。

演習問題

ここをクリックで解答の表示・非表示

解 答

\(R_1=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{10}=\cfrac{68}{10}\)=6.8[Ω]

\(R_2=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{2}=\cfrac{68}{2}\)=34[Ω]

\(R_3=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{4}=\cfrac{68}{4}\)=17[Ω]

以上で「Y-Δ変換回路とは」の説明を終わります。




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