Y-Δ変換回路とは

三相交流回路の、Y(スター)接続からΔ(デルタ)接続への変換について説明します。

ここでは、各相の負荷をインピーダンスでなく、抵抗を使って説明していきます。

Y 接続回路をΔ 接続回路に変換するには、図1のY 接続回路と図2のΔ 接続回路端子A-B、B-C、C-Aの各端子間の合成抵抗は、それぞれ等しいとすることで求められます。

Y 結線からΔ 結線へ変換後の各抵抗値

Y からΔ へ変換した場合の、Δ 接続回路の各抵抗値は、次のようになります。

\(R_1\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}\)\(\quad\rm[Ω]\) 

\(R_2\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a}\)\(\quad\rm[Ω]\) 

\(R_3\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b}\)\(\quad\rm[Ω]\) 

各相の抵抗値が等しい場合

ここで、Y 回路の抵抗 \(R_a、R_b、R_c\) の大きさが同じで \(R\) とすると、それぞれ 3倍の大きさになります。

\(R_1=3R\quad\rm[Ω]\) 

\(R_2=3R\quad\rm[Ω]\) 

\(R_3=3R\quad\rm[Ω]\) 

<証明>

三つの抵抗 \(R_a、R_b、R_c\) が Y に接続された回路と、これと等価な Δ に接続された回路に変換した各抵抗 \(R_1、R_2、R_3\) を求めます。

端 子A-D 間の合成抵抗を求めます

■ スター(Y)回路の端子 A-D 間を計算します

端子 B-C 間を短絡し、この端子を D とします。

図の端子 A-D 間の抵抗は、抵抗 \(R_b、R_c\) の並列接続に抵抗 \(R_a\) が直列に接続された直並列回路になります。

抵抗 \(R_b、R_c\) の並列回路の合成抵抗 \(R_{bc}\) は、「和分の積」から

\(R_{bc}\)\(=\cfrac{R_bR_c}{R_b+R_c}\)

従って、端子 A-D 間の合成抵抗 \(R_{AD}\) は

\(R_{AD}\)\(=R_a+R_{bc}\)\(=R_a+\cfrac{R_bR_c}{R_b+R_c}\)

\(R_{AD}\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b+R_c}\)

\(R_{AD}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{AD}}\)\(=\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(1)\)

■ デルタ(Δ)回路の端子 A-D 間を計算します

次に、Δ 接続回路で端子 B-C 間を短絡し、この端子を D とします。

端子 A と端子 D から見た合成抵抗 \(R_{AD}\) は抵抗 \(R_1\) と \(R_3\) の並列接続になります。

合成抵抗 \(R_{AD}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{AD}}\)\(=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}\)\(\cdots(2)\)

■ Y-Δ 変換が等価であるためには、両回路の式(1)と式(2)が等しい

\(\cfrac{1}{R_{AD}}\)\(=\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(1)\)

\(\cfrac{1}{R_{AD}}\)\(=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}\)\(\cdots(2)\)

式(1)と式(2)が等しいとすると

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}\)\(=\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(3)\)

端子 B-E 間 の合成抵抗を求めます

■ スター(Y)回路の端子 B-E 間 を計算します

端子 C-A 間 を短絡し、この端子を E とします。

同じように、端子 B-E 間 の合成抵抗 \(R_{BE}\) は次のようになります。

抵抗 \(R_c、R_a\) の並列回路の合成抵抗 \(R_{ca}\) は

\(R_{ca}\)\(=\cfrac{R_cR_a}{R_c+R_a}\)

従って、端子 B-E 間 の合成抵抗 \(R_{BE}\) は

\(R_{BE}\)\(=R_b+R_{ca}=R_b+\cfrac{R_cR_a}{R_c+R_a}\)

\(R_{BE}\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c+R_a}\)

\(R_{BE}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{BE}}\)\(=\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(4)\)

■ デルタ(Δ)回路の端子 B-E 間 を計算します

端子 C-A 間 を短絡し、この端子を E とします。

端子 E と端子 B から見た合成抵抗 \(R_{BE}\) は、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の並列接続になります。

合成抵抗 \(R_{BE}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{BE}}\)\(=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2} \cdots(5)\)

■ Y-Δ 変換が等価であるためには、両回路の式(4)と式(5)が等しい

\(\cfrac{1}{R_{BE}}\)\(=\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(4)\)

\(\cfrac{1}{R_{BE}}\)\(=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\)\(\cdots(5)\)

式(4)と式(5)が等しいとすると

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\)\(=\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(6)\)

端子 C-F 間 の合成抵抗を求めます

■ スター(Y)回路の端子 C-F 間 を計算します

端子 A-B 間 を短絡し、この端子を F とします。

同じように、端子 C-F 間 の合成抵抗 \(R_{CF}\) は次のようになります。

抵抗 \(R_a、R_b\) の並列回路の合成抵抗 \(R_{ab}\) は

\(R_{ab}\)\(=\cfrac{R_aR_b}{R_a+R_b}\)

従って、端子 C-F 間 の合成抵抗 \(R_{CF}\) は

\(R_{CF}\)\(=R_c+R_{ab}=R_c+\cfrac{R_aR_b}{R_a+R_b}\)

\(R_{CF}\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a+R_b}\)

\(R_{CF}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{CF}}\)\(=\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(7)\)

■ デルタ(Δ)回路の端子 C-F 間 を計算します

端子 A-B 間 を短絡し、この端子を F とします。

端子 C と 端子 F から見た、合成抵抗 \(R_{CF}\) は抵抗 \(R_2\) と \(R_3\) の並列接続です。

合成抵抗 \(R_{CF}\) の逆数をとると、次のようになります。

\(\cfrac{1}{R_{CF}}\)\(=\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)\(\cdots(8)\)

■ Y-Δ 変換が等価であるためには、両回路の式(7)と式(8)が等しい

\(\cfrac{1}{R_{CF}}\)\(=\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(7)\)

\(\cfrac{1}{R_{CF}}\)\(=\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)\(\cdots(8)\)

式(7)と式(8)が等しいとすると

\(\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)\(=\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(9)\)

\(R_1、R_2、R_3\) を求めます

上式の式(3)、式(6)、式(9)から

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}\)\(=\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(3)\)

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\)\(=\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(6)\)

\(\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)\(=\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(9)\)

式(3)、式(6)、式(9)の左辺と右辺をそれぞれ加算します。

\(2\left(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\right)\)
\(=\cfrac{2(R_a+R_b+R_c)}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(10)\)

式(10)の両辺を2で割ると

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)
\(=\cfrac{R_a+R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(11)\)

\(R_1\) を求めるには、式(11)の右辺と左辺から、式(9)の右辺と左辺を引きます。

\(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\)\(-(\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3})\)
\(=\cfrac{R_a+R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(-\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)

\(\cfrac{1}{R_1}\)\(=\cfrac{R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\)\(\cdots(12)\)

両辺の逆数をとると

\(R_1\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}\)\(\cdots(13)\)

★ \(R_2\) を求めるには、式(11)の右辺と左辺から式(3)の右辺と左辺を引いて、同様に計算すると

\(R_2\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a}\)\(\cdots(14)\)

★ \(R_3\) を求めるには、式(11)の右辺と左辺から式(6)の右辺と左辺を引いて、同様に計算すると

\(R_3\)\(=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b}\)\(\cdots(15)\)

以上のように、\(R_1、R_2、R_3\) が求めることができました。

練習問題

 

問題1

<解 答>

\(R_1=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{10}\)\(=\cfrac{68}{10}=6.8\quad\rm[Ω]\) 

\(R_2=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{2}\)\(=\cfrac{68}{2}=34\quad\rm[Ω]\) 

\(R_3=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{4}\)\(=\cfrac{68}{4}=17\quad\rm[Ω]\) 

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以上で「Y-Δ変換回路とは」の説明を終わります。