Y-Δ変換回路とは

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Y-Δ変換回路とは

三相交流回路の、Y(スター)接続からΔ(デルタ)接続への変換について説明します。

図1のY接続回路と図2のΔ接続回路端子A-B、B-C、C-Aの各端子間の合成抵抗は、それぞれ等しいとする。

Y結線からΔ結線へ変換後のΔ接続回路の各抵抗値

YからΔへ変換した場合の、Δ接続回路の各抵抗値、図のようになります。

$$R_1=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}[Ω]$$

$$R_2=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a}[Ω] \tag{2-2-5-1}$$

$$R_3=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b}[Ω]$$

各相の抵抗値が等しい場合

ここで、Y回路の抵抗 $R_a、R_b、R_c$ の大きさが同じで $R$ とすると、それぞれ3倍の大きさになります。

$$R_1=3R[Ω]$$

$$R_2=3R[Ω] \tag{2-2-5-2}$$

$$R_3=3R[Ω]$$

<証明>

端子A-BC間の合成抵抗を求める

●スター(Y)回路の端子A-D間を計算する。

三つの抵抗 $R_a、R_b、R_c$ がYに接続された回路と、等価なΔに接続された回路に変換した各抵抗 $R_1、R_2、R_3$  を求めます。

端子B-C間を短絡し、この端子をDとします。

図の端子A-D間の抵抗は、抵抗 $R_b、R_c$ の並列接続に抵抗 $R_a$ が直列に接続された直並列回路になります。

抵抗 $R_b、R_c$ の並列回路の合成抵抗 $R_{bc}$ は

$R_{bc}=\cfrac{R_bR_c}{R_b+R_c}$

従って、端子A-D間の合成抵抗 $R_{AD}$ は

$R_{AD}=R_a+R_{bc}=R_a+\cfrac{R_bR_c}{R_b+R_c}$

$R_{AD}=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b+R_c}$

$R_{AD}$ の逆数をとると、次のようになります。

$\cfrac{1}{R_{AD}}=\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{1}$

●デルタ(Δ)回路の端子A-D間を計算する。

図のように、Δ接続回路で、端子BとCを短絡した端子Dと端子Aから見た、合成抵抗 $R_{AD}$ は抵抗 $R_1とR_3$ の並列接続です。

合成抵抗 $R_{AD}$ の逆数をとると、次のようになります。

$\cfrac{1}{R_{AD}}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}\tag{2}$

式(1)と式(2)が等しいと仮定したので、次のようになります。

$\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}=\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{3}$

端子B-CA間の合成抵抗を求める

●スター(Y)回路の端子B-E間を計算する。

端子C-A間を短絡し、この端子をEとします。

同じように、端子B-E間の合成抵抗 $R_{BE}$ は次のようになります。

抵抗 $R_c、R_a$ の並列回路の合成抵抗 $R_{ca}$ は

$R_{ca}=\cfrac{R_cR_a}{R_c+R_a}$

従って、端子B-E間の合成抵抗 $R_{BE}$ は

$R_{BE}=R_b+R_{ca}=R_b+\cfrac{R_cR_a}{R_c+R_a}$

$R_{BE}=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c+R_a}$

$R_{BE}$ の逆数をとると、次のようになります。

$\cfrac{1}{R_{BE}}=\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{4}$

●デルタ(Δ)回路の端子B-E間を計算する。

図のように、Δ接続回路で、端子CとAを短絡した端子Eと端子Bから見た、合成抵抗 $R_{BE}$ は抵抗 $R_1とR_2$ の並列接続です。

合成抵抗 $R_{BE}$ の逆数をとると、次のようになります。

$\cfrac{1}{R_{BE}}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\tag{5}$

式(4)と式(5)が等しいと仮定したので、次のようになります。

$\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}=\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{6}$

端子C-AB間の合成抵抗を求める

●スター(Y)回路の端子C-F間を計算する。

端子A-B間を短絡し、この端子をFとします。

同じように、端子C-F間の合成抵抗 $R_{CF}$ は次のようになります。

抵抗 $R_a、R_b$ の並列回路の合成抵抗 $R_{ab}$ は

$R_{ab}=\cfrac{R_aR_b}{R_a+R_b}$

従って、端子C-F間の合成抵抗 $R_{CF}$ は

$R_{CF}=R_c+R_{ab}=R_c+\cfrac{R_aR_b}{R_a+R_b}$ 

$R_{CF}=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a+R_b}$

$R_{CF}$ の逆数をとると、次のようになります。

$\cfrac{1}{R_{CF}}=\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{7}$

●デルタ(Δ)回路の端子C-F間を計算する。

図のように、Δ接続回路で、端子AとBを短絡した端子Fと端子Cから見た、合成抵抗 $R_{CF}$ は抵抗 $R_2とR_3$ の並列接続です。

$\cfrac{1}{R_{CF}}=\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}\tag{8}$

式(7)と式(8)が等しいと仮定したので、次のようになります。

$\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}=\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{9}$

●$R_1、R_2、R_3$ を求める。

上式の式(3)、式(6)、式(9)から

$\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_3}=\cfrac{R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{3}$$ $$\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}=\cfrac{R_c+R_a}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{6}$$ $$\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}=\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{9}$

式(3)、式(6)、式(9)の左辺と右辺をそれぞれ加算します。

$2\left(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3} \right)=\cfrac{2(R_a+R_b+R_c)}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{10}$

式(10)の両辺を2で割ると

$\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3} =\cfrac{R_a+R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{11}$

$R_1$ を求めるには、式(11)の右辺と左辺から式(9)の右辺と左辺を引くと

$\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}-(\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}) =\cfrac{R_a+R_b+R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}-\cfrac{R_a+R_b}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}$

$\cfrac{1}{R_1}=\cfrac{R_c}{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}\tag{12}$

両辺の逆数をとると

$R_1=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}\tag{13}$

$R_2$ を求めるには、式(11)の右辺と左辺から式(3)の右辺と左辺を引いて、同様に計算すると

$R_2=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a}\tag{14}$

$R_3$ を求めるには、式(11)の右辺と左辺から式(6)の右辺と左辺を引いて、同様に計算すると

$R_3=\cfrac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_b}\tag{15}$

以上で、$R_1、R_2、R_3$ が求められました。

演習問題

ここをクリックで解答の表示・非表示

解 答

$R_1=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{10}=\cfrac{68}{10}=6.8[Ω]$

$R_2=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{2}=\cfrac{68}{2}=34[Ω]$

$R_3=\cfrac{2×4+4×10+10×2}{4}=\cfrac{68}{4}=17[Ω]$

以上で「Y-Δ変換回路とは」の説明を終わります。

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