Δ-Y変換回路とは

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Δ-Y変換回路とは


三相交流回路の、Δ(デルタ)接続からY(スター)接続への変換について説明します。
図1のΔ接続回路と図2のY接続回路端子A-B、B-C、C-Aの各端子間の合成抵抗が、それぞれ等しいとする。

 

 

デルタ(Δ)からスター(Y)へ変換後のY接続回路の各抵抗値

ΔからYへ変換した場合の、Y接続回路の各抵抗値は、図のようになります。

$$R_a=\cfrac{R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}[Ω]$$
$R_b=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}[Ω] \tag{2-2-4-1}$
$$R_c=\cfrac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}[Ω]$$

 

 

 

各相の抵抗値が等しい場合

ここで、Δ回路の抵抗$R_1、R_2、R_3$ の大きさが同じで$R$ とすると、それぞれ$\cfrac{1}{3}$ の大きさになります。

$$R_a=\cfrac{R}{3}[Ω]$$
$R_b=\cfrac{R}{3}[Ω] \tag{2-2-4-2}$
$$R_c=\cfrac{R}{3}[Ω]$$

 

<証明>

 

端子A-B間の合成抵抗を求める

●デルタ(Δ)回路の端子A-B間を計算する。
端子A-B間から見た合成抵抗を $R_{AB}$ として、合成抵抗値を求めます。
$R_2とR_3$ は直列接続でこの抵抗を $R_{23}$ とする。
$R_{AB}$ は $R_1とR_{23}$ の並列接続なので、和分の積で求められます。
  $R_{23}=R_2+R_3$
  $R_{AB}=\cfrac{R_1R_{23}}{R_1+R_{23}}$
  $R_{AB}=\cfrac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+(R_2+R_3)}$

 

$R_{AB}=\cfrac{R_1R_2+R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}\tag{1}$

 

 

 

●スター(Y)回路の端子A-B間を計算する。
Y接続回路ではA-B間からみた合成抵抗は、$R_aとR_b$ が直列接続ですから、
その合成抵抗は、次のようになります。
$R_{AB}=R_a+R_b\tag{2}$

 

●Δ-Y変換が等価であるためには、両回路の $R_{AB}$  式(1)と式(2)が等しいことになります。
$R_{AB}=\cfrac{R_1R_2+R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}\tag{1}$
$R_{AB}=R_a+R_b\tag{2}$
$R_a+R_b=\cfrac{R_1R_2+R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}\tag{3}$

 

 

端子B-C間の合成抵抗を求める

●デルタ(Δ)回路の端子B-C間を計算する。
同様にして、端子B-C間からみた合成抵抗 $R_{BC}$ を求める。
$R_1とR_3$ は直列接続で合成抵抗を $R_{13}=R_1+R_3$ とする。
$R_{BC}$ は $R_2とR_{13}$ の並列接続なので、
  $R_{13}=R_1+R_3$

 

  $R_{BC}=\cfrac{R_2R_{13}}{R_2+R_{13}} $

 

  $R_{BC}=\cfrac{R_2(R_1+R_3)}{R_2+(R_1+R_3)} $

 

$R_{BC}=\cfrac{R_1R_2+R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{4}$

 

 

●スター(Y)回路の端子B-C間を計算する。
Y接続回路ではB-C間からみた合成抵抗は、$R_bとR_c$ が直列接続ですから、その合成抵抗は次のようになります。
$R_{BC}=R_b+R_c\tag{5}$

 

●Δ-Y変換が等価であるためには、両回路の $R_{BC}$ 式(4)と式(5)が等しいことになります。
$R_{BC}=\cfrac{R_1R_2+R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{4}$
$R_{BC}=R_b+R_c\tag{5}$
$R_b+R_c=\cfrac{R_1R_2+R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{6}$

 

 

端子C-A間の合成抵抗を求める

●デルタ(Δ)回路の端子C-A間を計算する。
同様にして、端子C-A間からみた合成抵抗 $R_{CA}$ を求める。
$R_1とR_2$ は直列接続で合成抵抗を $R_{12}=R_1+R_2$ とする。
$R_{CA}$ は $R_3とR_{12}$ の並列接続なので、
  $R_{12}=R_1+R_2$

 

  $R_{CA}=\cfrac{R_3R_{12}}{R_3+R_{12}}$

 

  $R_{CA}=\cfrac{R_3(R_1+R_2)}{R_3+(R_1+R_2)}$

 

$R_{CA}=\cfrac{R_3R_1+R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{7}$

 

●スター(Y)回路の端子C-A間を計算する。
Y接続回路ではC-A間からみた合成抵抗は、$R_cとR_a$ が直列接続ですから、その合成抵抗は次のようになります。
$R_{CA}=R_c+R_a\tag{8}$

 

●Δ-Y変換が等価であるためには、両回路の $R_{CA}$ 式(7)と式(8)が等しいことになります。
$R_{CA}=\cfrac{R_3R_1+R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{7}$
$R_{CA}=R_c+R_a\tag{8}$
$R_c+R_a=\cfrac{R_3R_1+R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{9}$

 

 

●$R_a、R_b、R_c$ を求める。
上式の式(3)、式(6)、式(9)から
$R_a+R_b=\cfrac{R_1R_2+R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}\tag{3}$
$R_b+R_c=\cfrac{R_1R_2+R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{6}$
$R_c+R_a=\cfrac{R_3R_1+R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{9}$

 

式(3)、式(6)、式(9)の左辺と右辺をそれぞれ加算します。
  $2(R_a+R_b+R_c)=\cfrac{2(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)}{R_1+R_2+R_3}$

 

$R_a+R_b+R_c=\cfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}\tag{10}$

 

$R_a$ を求めるには、式(10)から式(6)を引くと
  $R_a+R_b+R_c-(R_b+R_c)=\cfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}-\cfrac{(R_1R_2+R_2R_3)}{R_1+R_2+R_3}$
$R_a=\cfrac{R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}\tag{11}$

 

$R_b$ を求めるには、式(8)から式(9)を引くと
  $R_a+R_b+R_c-(R_c+R_a)=\cfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}-\cfrac{(R_3R_1+R_2R_3)}{R_1+R_2+R_3}$
$R_b=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}\tag{12}$

 

$R_c$ を求めるには、(8)式から(3)式を引くと
  $R_a+R_b+R_c-(R_c+R_a)=\cfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1+R_2+R_3}-\cfrac{(R_1R_2+R_3R_1)}{R_1+R_2+R_3}$
$R_c=\cfrac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\tag{13}$
となります。

 

演習問題

 

 

<解答>

 

$R_a=\cfrac{10×4}{4+6+10}=\cfrac{40}{20}=2[Ω]$

 

$R_b=\cfrac{4×6}{4+6+10}=\cfrac{24}{20}=1.2[Ω]$

 

$R_c=\cfrac{6×10}{4+6+10}=\cfrac{60}{20}=3[Ω]$

 

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