テブナンの定理




テブナンの定理 は求めたいものが、回路の電流 のときに有効な定理です。

テブナンの定理の特徴は、「回路網のどこでも好きな場所の2点」を取りだしたときに、そこに流れる電流を求めるのに適した定理で、鳳ーテブナンの定理 ともいわれます。

テブナンの定理は、次のような複数の「抵抗や電源」からなる回路網がある時、その回路網を、「一つの内部電源」と「一つの内部抵抗」の 等価回路にすることができます。

このような等価回路にすることができれば、オームの法則によって簡単に計算することができます。

テブナンの定理の使い方

手順

図のようなの回路の電流 \(I\) を求める場合において、テブナンの定理の使い方を説明します。

1.回路を負荷の \(ab\) の部分で切り離します。

2.端子 \(ab\) 間を開放して、\(ab\) 間の開放電圧 \(V_0\) を求めます。
この開放電圧 \(V_0\) が、等価回路の等価電源になります。

•\(V_0\) を求めるには、次のようにします。
閉回路に流れる電流を \(I_0\) とすると、電圧降下のによる電圧 \(V_1、V_2\) の向きは、右図のようになります。

開放電圧 \(V_0\) は

\(V_0=E_1-V_1=E_2+V_2\)

\(I_0=\cfrac{E_1-E_2}{R_1+R_2}\)

\(V_0=E_1-R_1I_0=E_1-\cfrac{R_1}{R_1+R_2}(E_1-E_2)\)

\(V_0=E_2+R_2I_0=E_2+\cfrac{R_2}{R_1+R_2}(E_1-E_2)\)

3.端子 \(ab\) 間から見た合成抵抗 \(R_0\)(等価抵抗)を求めます。
回路内部のすべての電源を短絡させます。

合成抵抗 \(R_0\) は、\(R_1、R_2\) の並列接続なので

\(\cfrac{1}{R_0}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\) から

\(R_0=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) になります。

4.等価回路に変換すると、図のようになります。

この等価回路の負荷抵抗に流れる電流 \(I\) を、オームの法則により求めると、次のようになります。

\(V_0=I(R_0+R_3)\)

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R_3}\)

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R_3}\)\(=\cfrac{E_1-\cfrac{R_1}{R_1+R_2}(E_1-E_2)}{\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}+R_3}\)\(=\cfrac{(R_1+R_2)E_1-R_1(E_1-E_2)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

整理すると

\(I=\cfrac{R_1E_2+R_2E_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\) のようになります。

また、\(V_0=E_2+R_2I_0=E_2+\cfrac{R_2}{R_1+R_2}(E_1-E_2)\) の式から求めても、当然同じ結果になります。

テブナンの定理の例題

次の図のような回路の問題について、テブナンの定理の使い方を説明します。

回路の抵抗 \(R_S\) を流れる電流 \(I\) を求める、という問題であるとき。

1.開放電圧(等価電源)を求める
開放電圧 \(V_0\) を求めるには、抵抗 \(R_S\) を取りはずします。

\(V_0\) の求め方は、次のように考えられます。

\(E_1+(-E_2)=I_0(R_1+R_2)\)  電源の合計=電圧降下の合計ですからオームの法則により

\(I_0=\cfrac{E_1-E_2}{R_1+R_2}\)=\(\cfrac{9}{9}=1\) [A]

したがって、開放電圧 \(V_0\) は

\(V_0=E_1-R_1I_0=15-3=12\) [V] または

\(V_0=E_2+R_2I_0=6+6=12\) [V] になります。

2.合成抵抗(等価抵抗)を求める
抵抗 \(R_S\) を取りはずし、回路内の電源はすべて短絡させます。

取りはずした端子 ab から見た合成抵抗 \(R_0\) を求めます。

合成抵抗 \(R_0\) は、並列接続なので和分の積で求められます。

\(R_0=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\cfrac{3×6}{3+6}=2\) [Ω] になります。

3.テブナンの定理で等価回路にする
求めた \(V_0、R_0\) を使って、等価回路にします。

元の回路を等価回路にすると、次のようになります。

端子ab 間に抵抗 \(R_S\) を接続して、流れる電流 \(I\) を求めます。

電流 \(I\) は、オームの法則から次のように求められます。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R_S}=\cfrac{12}{6}=2\) [A] となります。

テブナンの定理を検証する

次のような回路で、電流 \(I\) をテブナンの定理で求めよ。という問題があるとします。

テブナンの定理で、\(V_0\) を求めます。

\(I_0=\cfrac{100}{25}=4\) [A] から

\(V_0=100-5×4=80\) [V]

次に、等価抵抗 \(R_0\) を求めます。

抵抗の並列接続なので、和分の積で求めます。
\(R_0=\cfrac{5×20}{5+20}=4\) [Ω]

求めた \(V_0、R_0\) から、もとの回路を、等価回路にすると次のようになります。

求める電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{80}{8}=10\) [A] になります。

各要素についての検証

回路の各要素を、次の図のようにして考えて見ます。

合成抵抗を \(R\) とすると

\(R=5+\cfrac{20×4}{20+4}=\cfrac{25}{3}\) [Ω]

\(I_1=\cfrac{100}{\cfrac{25}{3}}=12\) [A]

\(I_2、I\) を分流の法則で求める。

\(I_2=I_1×\cfrac{4}{20+4}=2\) [A]

\(I=I_1×\cfrac{20}{20+4}=10\) [A]

したがって、\(V_1=V_2=40\) [V]

\(V_1=100-5×12=40\) [V]

\(V_2=20×2=40\) [V]

●各要素の数値は次のようになります。

回路の負荷抵抗 \(4\) [Ω] にかかる電圧は、\(40\) [V] になり、テブナンの定理の \(V_0=80\) [V] とは異なることに注意が必要です。

●等価回路での各要素の数値は、次のようになります。

\(V_0=80\) [V] は、\(R_0\) と負荷抵抗 \(4\) [Ω] の電圧降下の和になります。

以上で「テブナンの定理」の説明を終わります。




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