テブナンの定理の証明

複雑な回路網があるとき、任意の2点間に流れる電流がテブナンの定理で求められることを証明します。

テブナンの定理とは

■ 図1のような回路網があるとき、抵抗 \(R\hspace{8px}\rm [Ω]\) に流れる電流 \(I\hspace{8px}\rm [A]\) を図2のようにテブナンの定理で解くことができます。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\quad\rm[A]\cdots(1)\)

テブナンの定理の証明方法

■ 図3の回路の抵抗 \(R\) に流れる電流を \(I\) とします。

\(V_i\) は回路内部の電源を一つにまとめた値。

\(R_0\) は回路内の内部抵抗の値。

■ 図4のように、ab 間で抵抗 \(R\) を切り離します。

\(V_i\) は回路内部の電源を一つにまとめた値。

\(R_0\) は回路内の内部抵抗の値。

\(V_0\) は ab 間の端子電圧の値。(\(V_0\) はテブナンの定理の等価電源になります。)

\(V_0\) は内部の電源 \(V_i\) により作られます。

\(V_0\) と \(V_i\) の値は一般的に異なります。

■ 図5のように、ab 間の端子電圧 \(V_0\) と電圧が同じ大きさの「電池 \(V_0\)」 を接続します。
回路と電池の電位が同じになるので、電流は \(I_0=0\) になり流れなくなります。

■ 図6のように電池に流れる電流が \(I_0=0\) なので、図のように電池と直列に抵抗 \(R\) を接続しても、回路に変化はありません。

■ 図7の回路の内部電源を \(V_i=0\) にすると、「電池 \(V_0\)」 から回路の方向に電流 \(I_1\) が流れます。

■ 図8のように電池の電圧を \(V_0=0\) とすると、回路の \(V_i=0\) から抵抗に向かって電流 \(I_2\) が流れます。

\(I_2\) は \(I_1\) と向きが反対で、大きさは等しいものになります。

\(I_2=I=I_1\) になります。

\(I_1=I_2=I\) なので、図8と図7は等しくなります。

■ 図7は図9のように、内部抵抗 \(R_0\)、起電力 \(V_0\) を持つ回路と等価回路になります。

したがって、オームの法則により、電流 \(I_1\) は

\(I_1=\cfrac{V_0}{R_0+R}\quad\rm[A]\) になります。

ここで、\(I_2=I=I_1\) なので

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\quad\rm[A]\cdots(2)\) になります。

式(2)は、図2の式(1)のテブナンの定理の式と同じになります。

以上で「テブナンの定理の証明」の説明を終わります。