テブナンの定理の証明

テブナンの定理の証明

図1のような回路網があるとき、抵抗 \(R\hspace{8px}\rm [Ω]\) に流れる電流 \(I\hspace{8px}\rm [A]\) を図2のようにテブナンの定理で解くことができます。

\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\hspace{8px}\rm [A]\cdots(1)\) テブナンの定理

証明方法

1.図3の回路の抵抗 \(R\hspace{8px}\rm [Ω]\) に流れる電流を \(I\hspace{8px}\rm [A]\) とします。
\(V_i\) は回路内部の電源を一つにまとめた値。
\(R_0\) は回路内の内部抵抗の値。

2.抵抗を切り離す
図4のように、ab 間で抵抗 \(R\) を切り離します。
\(V_i\) は回路内部の電源を一つにまとめた値。
\(R_0\) は回路内の内部抵抗の値。
\(V_0\) は ab 間の端子電圧の値。(\(V_0\) はテブナンの定理の等価電源になります。)
\(V_0\) は内部の電源 \(V_i\) により作られます。
\(V_0\) と \(V_i\) の値は一般的に異なります。

3.ab 間に電池を接続する
図5のように、ab 間の端子電圧 \(V_0\hspace{8px}\rm [V]\) と電圧が同じ大きさの電池 \(V_0\hspace{8px}\rm [V]\) を接続します。
回路と電池の電位が同じになるので、電流は \(I_0=0\hspace{8px}\rm [A]\) になり流れなくなります。

4.電池に直列に抵抗を接続する
図6のように電池に流れる電流が \(I_0=0\) なので、図のように電池と直列に抵抗 \(R\) を接続しても、回路に変化はありません。

5.回路の内部電源をゼロにする
図7の回路の内部電源を \(V_i=0\hspace{8px}\rm [V]\) にすると、電池 \(V_0\hspace{8px}\rm [V]\) から回路の方向に電流 \(I_1\hspace{8px}\rm [A]\) が流れます。

6.電池の電圧をゼロにする
図8のように電池の電圧を \(V_0=0\hspace{8px}\rm [V]\) とすると、回路から抵抗に向かって電流 \(I_2\hspace{8px}\rm [A]\) が流れます。
\(I_2\) は \(I_1\) と向きが反対で、大きさは等しいものになります。
\(I_2=I=I_1\) になります。

7.\(I_1=I_2=I\) なので、図8と図7は等しくなります。

8.図7は図9のように、内部抵抗 \(R_0\hspace{8px}\rm [Ω]\)、起電力 \(V_0\hspace{8px}\rm [V]\) を持つ回路と等価回路になります。

したがって、オームの法則により、電流 \(I_1\hspace{8px}\rm [A]\) は
\(I_1=\cfrac{V_0}{R_0+R}\hspace{8px}\rm [A]\) になります。

ここで、\(I_2=I=I_1\) なので
\(I=\cfrac{V_0}{R_0+R}\hspace{8px}\rm [A]\cdots(2)\) になります。

式(2)は、図2の式(1)のテブナンの定理の式と同じになります。

テブナンの定理

2019.09.25

以上で「テブナンの定理の証明」の説明を終わります。