電位とは(点電荷の場合)

電位とは、基準とする地点からの高さを意味します。

また、その地点における位置エネルギーということもできます。

プラスの電荷は、山の形をしていると考えると頂上の方が、電位が高いということになります。

マイナスの電荷は、谷の形をしているので底の方が、電位が低いと考えることができます。

ここでは、点電荷が作る電場の電位についての説明になります。

電場

図のように \(+Q\) [C] の電荷から \(r\) [m] 離れた 点A に +1 [C] の電荷を置いたとき、+1 [C] の電荷が受ける力の方向は反発する方向になります。

• 電場(電界)\(\dot{E}\cdots\) +1 [C] の電荷が受ける静電気力(ベクトル量)をいう。

力の大きさはクーロンの法則が適用できます。

したがって、 +1 [C] の電荷の電場の大きさは

点電荷 \(Q\) による電場の大きさ
\(E=k\cfrac{Q}{r^2}\) [N/C] になります。

電位

点A で +1 [C] の電荷が持つ位置エネルギーが 点A の電位になります。
図の点A の電位は、電場が基準点O まで移動したときにする仕事で計算できます。

仕事 \(U=W_{AO}\)

位置エネルギー=仕事=力 × 距離 になります。

力=電場の大きさ になります。

• 電位 \(V\cdots\) +1 [C] の電荷が持つ静電気力の位置エネルギー(スカラー量)

一般的に基準点は、無限遠を取ります。

基準点を無限遠 点O に取ると
点O での力 \(F\) はゼロになります。

\(F=k\cfrac{Q}{r^2}=0\) これは分母が \(r=∞\) になることからわかります。

位置エネルギー \(U\) も(力×距離)なのでゼロになります。

電位 \(V\) も(位置エネルギー)なのでゼロになります。

■ 点電荷による電位の大きさ
点電荷 \(Q\) から \(r\) 離れた +1 [C] の電荷の電位は、次のようになります。
電位 \(V\) は点A から 点O まで移動させたときの仕事 \(W_{AO}\) になります。

 +1 [C] の電荷が持つ電位の公式
\(V=k\cfrac{Q}{r}\) [V] 

電荷が持つ位置エネルギー

  • 電荷が受けている静電気力は保存力でもあるので、位置エネルギーを持っていることになります。
  • 点Aにおける電位が \(V\) ならば、点Aにある +1 [C] の電荷の持つ位置エネルギー \(U\) の大きさは、電位の定義から \(U=V\) [J] になります。
  • 点Aに \(+q\) [C] の電荷を置いた場合は \(+q\) [C] の電荷の持つ位置エネルギーは \(U=qV\) [J] になります。
  • 位置エネルギーの計算では、電荷や電位の符号はそのまま付けて計算する必要があります。

クーロンの法則、点電荷の電場、点電荷の電位の関係

クーロンの法則と電場は電荷の符号がわかれば方向が決まるので、計算には大きさだけを考えれば良いので符号は付けない。
電位の場合は電荷から見て、プラスのときもマイナスのときも考えられるので符号を付けて計算します。

電位の単位は、 [J/C] ですが、一般的に [V] ボルトを使います。

■ 電位とは高さ

プラスは山の形の電位であり、マイナスは谷の形の電位と考えられます。

プラスの電荷は山の高い位置にありますので、図1 にあるような位置に、+1クーロンの点電荷が置かれていると、その点電荷の位置が電位 \(V\)(ボルト) になります。

そして、電荷間に働く力はプラス同士なので反発力(斥力)が働きます。

次に、マイナスの電荷は谷の低い位置にあると考えます。

図2のような場所に置かれた、+1 [C] の電荷は吸引力がはたらいて底の方に引き寄せられます。

その点電荷の基準からの位置が電位 \(V\)(ボルト) になります。

電場(電界)については次の記事が参考になります。
■関連記事■ 電場(電界)とは(点電荷の場合)

練習問題

■ 問題1
図の二つの電位の合計を求めよ。

解答例
2つの電荷 \(q\) による電位は共に同じになります。

\(V=k\cfrac{q}{a}\) [V] 

電位 \(V\) の足し算は数値で計算する。(向きは関係なし)

\(2V=k\cfrac{q}{a}+k\cfrac{q}{a}=\cfrac{2kq}{a}\) [V] になります。

問題2
図のように、点電荷 \(+Q\) から \(2R\) 離れた所を 点A、点Aから \(R\) 離れた所を 点B とします。
クーロンの法則の比例定数を \(k\)、電位は無限遠を基準として次の問いに答えよ。

(1)点Aにおける電場の大きさを求めよ。
(2)点A、点B における電位を求めよ。

解答例
(1)
点Aにおける電場の大きさは公式から

\(E=k\cfrac{Q}{r^2}=k\cfrac{Q}{(2R)^2}\)

\(E=k\cfrac{Q}{4R^2}\) [N/C] になります。

(2)
点A の電位は電位の式から
\(V=k\cfrac{Q}{r}\)

\(V_A=k\cfrac{Q}{2R}\) [V] 

点B の電位は
\(V_B=k\cfrac{Q}{3R}\) [V]

以上で「電位とは(点電荷の場合)」の説明を終わります。