コンデンサに流れる電流が90°進むわけ

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コンデンサに流れる電流が90°進むわけ


  $v=E_msinωt[V]$
  $i=ωCE_msin\left(ωt+\cfrac{π}{2}\right)[A]$
  $I_m=ωCE_m$

 

 

電圧を基準に見た場合

交流電源にコンデンサを接続した回路の場合、電圧の波形に対して、電流の波形が $π/2$(90°) 進みます。
電圧 $v$ を基準に考えると $vとi$ は次のようになります。
  $v=E_msinωt[V]$
  $i=ωCE_msin\left(ωt+\cfrac{π}{2}\right)[A]$
  $I_m=ωCE_m$
式を見れば分かる通り、 $i$ は $v$ より $π/2[rad]$ 進んでいることが分かります。

 

 

電流が電圧より90°進むことの説明

 


図の回路のコンデンサCに、正弦波交流電圧 $v$ を加えると電流 $i$ が流れます。

 

電流の定義 $I=\cfrac{Q}{t}[A]$ から
$Δt$ 秒間に $ΔQ[C]$ の電荷が移動した場合の電流 $i$ は、次のようになります。
$i=\cfrac{ΔQ}{Δt}[A]\tag{1}$

 

また、コンデンサの静電容量 $C[F]$ 、電荷 $Q{C}$ 、電圧 $V[V]$ との間には $Q=CV$ の関係がありますから

 

$ΔQ=CΔv \tag{2}$

 

式(2)を式(1)に代入すると
$i=C\left(\cfrac{Δv}{Δt}\right)[A]\tag{3}$

 

●時刻が $t$ 秒から $Δt$ 秒経過後の電圧 $v$
コンデンサに加わる正弦波交流電圧の $t$ 秒の瞬時値を $v_1$ とすると
$v_1=E_msinωt[V]\tag{4}$

 

$Δt$ 秒後の瞬時値を $v_2$ とすると
$v_2=E_msin(ωt+ωΔt)[V]\tag{5}$

 

電圧の変化 $Δv$ とすると
$Δv=v_2-v_1=v_2=E_msin(ωt+ωΔt)-E_msinωt \tag{6}$

 

式(6)の $sin(ωt+ωΔt)$ は加法定理から
$sin(ωt+ωΔt)=sinωt・cosωΔt+cosωt・sinωΔt \tag{7}$

 

また、$Δt$ を非常に小さい時間とすると
$cosωΔt≒cos0=1、sinωΔt≒ωΔt$ になりますから、式(7)は
$sin(ωt+ωΔt)=sinωt・1+cosωt・ωΔt\tag{8}$
式(6)の電圧の変化 $Δv$ は
  $Δv=E_m(sin(ωt+cosωt・ωΔt)-E_msinωt$
  $=E_msinωt+E_mcosωt・ωΔt-E_msinωt$

 

$=E_mcosωt・ωΔt\tag{9}$

 

式(9)を式(3)に代入すると
  $i=C\cfrac{Δv}{Δt}=C\cfrac{E_mωΔt cosωt}{Δt}$

 

$=ωCE_mcosωt[A]\tag{10}$

 

また、$\large{cosωt=sin(ωt+\frac{π}{2})}$ ですから
$i=ωCE_mcosωt=ωCE_msin(ωt+\cfrac{π}{2})[A]\tag{11}$
となりますので、電流 $i$ は電圧 $v$ より $π/2[rad]$ 進んでいることがわかります。

 

電流を基準に見た場合

交流電源にコンデンサを接続した回路の場合、電流の波形に対して、電圧の波形が $π/2$(90°) 遅れます。
  $i=I_msinωt[V]$

 

  $v=\cfrac{I_m}{ωC}sin\left(ωt-\cfrac{π}{2}\right)[A]$

 

  $E_m=\cfrac{I_m}{ωC}$
式を見れば分かる通り、 $v$  は $i$  より $π/2[rad]$ 遅れていることが分かります。

 

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