コンデンサに流れる電流が90°進むわけ

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コンデンサに流れる電流が90°進むわけ

$v=E_m\sinωt[V]$

$i=ωCE_m\sin\left(ωt+\cfrac{π}{2}\right)[A]$

$I_m=ωCE_m$


  

電圧を基準に見た場合

交流電源にコンデンサを接続した回路の場合、

電圧の波形に対して、電流の波形が $\cfrac{π}{2}$(90°) 進みます。

電圧 $v$ を基準に考えると $vとi$ は次のようになります。

$v=E_m\sinωt[V]$

$i=ωCE_m\sin\left(ωt+\cfrac{π}{2}\right)[A]$

$I_m=ωCE_m$

式を見れば分かる通り、 $i$ は $v$ より $\cfrac{π}{2}$ [rad] 進んでいることが分かります。

電流が電圧より90°進むことの説明

図の回路のコンデンサCに、正弦波交流電圧 $v$ を加えると電流 $i$ が流れます。

電流の定義 $I=\cfrac{Q}{t}[A]$ から

$Δt$ 秒間に $ΔQ[C]$ の電荷が移動した場合の電流 $i$ は、次のようになります。

$i=\cfrac{ΔQ}{Δt}[A]\tag{1}$

また、コンデンサの静電容量 $C[F]$ 、電荷 $Q{C}$ 、電圧 $V[V]$ との間には $Q=CV$ の関係がありますから

$ΔQ=CΔv \tag{2}$

式(2)を式(1)に代入すると

$i=C\left(\cfrac{Δv}{Δt}\right)[A]\tag{3}$

●時刻が $t$ 秒から $Δt$ 秒経過後の電圧 $v$

コンデンサに加わる正弦波交流電圧の $t$ 秒の瞬時値を $v_1$ とすると

$v_1=E_m\sinωt[V]\tag{4}$

$Δt$ 秒後の瞬時値を $v_2$ とすると

$v_2=E_m\sin(ωt+ωΔt)[V]\tag{5}$

電圧の変化 $Δv$ とすると

$Δv=v_2-v_1=v_2=E_m\sin(ωt+ωΔt)-E_m\sinωt \tag{6}$

式(6)の $\sin(ωt+ωΔt)$ は加法定理から

$\sin(ωt+ωΔt)=\sinωt\cdot\cosωΔt+\cosωt\cdot\sinωΔt \tag{7}$

また、$Δt$ を非常に小さい時間とすると

$\cosωΔt≒\cos0=1、\sinωΔt≒ωΔt$ になりますから、式(7)は

$\sin(ωt+ωΔt)=\sinωt\cdot1+\cosωt\cdotωΔt\tag{8}$

式(6)の電圧の変化 $Δv$ は

$Δv=E_m(\sin(ωt+\cosωt\cdotωΔt)-E_m\sinωt$

$=E_m\sinωt+E_m\cosωt\cdotωΔt-E_m\sinωt$

$Δv=E_m\cosωt\cdotωΔt\tag{9}$

式(9)を式(3)に代入すると

$i=C\cfrac{Δv}{Δt}=C\cfrac{E_mωΔt \cdot\cosωt}{Δt}$

$i=ωCE_m\cosωt[A]\tag{10}$

また、$\cosωt=\sin(ωt+\cfrac{π}{2})$ ですから

$i=ωCE_m\cosωt=ωCE_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})[A]\tag{11}$

となりますので、電流 $i$ は電圧 $v$ より $\cfrac{π}{2}$ [rad] 進んでいることがわかります。

電流を基準に見た場合

交流電源にコンデンサを接続した回路の場合、

電流の波形に対して、電圧の波形が $\cfrac{π}{2}$(90°) 遅れます。

$i=I_m\sinωt[V]$

$v=\cfrac{I_m}{ωC}\sin\left(ωt-\cfrac{π}{2}\right)[A]$

$E_m=\cfrac{I_m}{ωC}$

式を見れば分かる通り、 $v$  は $i$  より $\cfrac{π}{2}$ [rad] 遅れていることが分かります。

以上で「コンデンサに流れる電流が90°進むわけ」の説明を終わります。

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