コンデンサに流れる電流が90°進むわけ




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コンデンサに流れる電流が90°進むわけ

\(v=E_m\sinωt\) [V]

\(i=ωCE_m\sin\left(ωt+\cfrac{π}{2}\right)\) [A]

\(I_m=ωCE_m\)


  

電圧を基準に見た場合

交流電源にコンデンサを接続した回路の場合、

電圧の波形に対して、電流の波形が \(\cfrac{π}{2}\)(90°)進みます。

電圧 \(v\) を基準に考えると \(v\) と \(i\) は次のようになります。

\(v=E_m\sinωt\) [V]

\(i=ωCE_m\sin\left(ωt+\cfrac{π}{2}\right)\) [A]

\(I_m=ωCE_m\)

式を見れば分かる通り、\(i\) は \(v\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進んでいることが分かります。

電流が電圧より90°進むことの説明

図の回路のコンデンサ C に、正弦波交流電圧 \(v\) を加えると電流 \(i\) が流れます。

電流の定義 \(I=\cfrac{Q}{t}\) [A] から

\(Δt\) 秒間に \(ΔQ\) [C] の電荷が移動した場合の電流 \(i\) は、次のようになります。

\(i=\cfrac{ΔQ}{Δt}\) [A] \(\cdots(1)\)

また、コンデンサの静電容量 C [F]、電荷 Q [C]、電圧 V [V] との間には\(Q=CV\) の関係がありますから

\(ΔQ=CΔv \cdots(2)\)

式(2)を式(1)に代入すると

\(i=C\left(\cfrac{Δv}{Δt}\right)\) [A] \(\cdots(3)\)

●時刻が \(t\) 秒から \(Δt\) 秒経過後の電圧 \(v\)

コンデンサに加わる正弦波交流電圧の \(t\) 秒の瞬時値を \(v_1\) とすると

\(v_1=E_m\sinωt\) [V] \(\cdots(4)\)

\(Δt\) 秒後の瞬時値を \(v_2\) とすると

\(v_2=E_m\sin(ωt+ωΔt)\) [V] \cdots(5)

電圧の変化 \(Δv\) とすると

\(Δv=v_2-v_1=v_2=E_m\sin(ωt+ωΔt)-E_m\sinωt \cdots(6)\)

式(6)の \(\sin(ωt+ωΔt)\) は加法定理から

\(\sin(ωt+ωΔt)\)=\(\sinωt\cdot\cosωΔt+\cosωt\cdot\sinωΔt \cdots(7)\)

また、\(Δt\) を非常に小さい時間とすると

\(\cosωΔt≒\cos0=1、\sinωΔt≒ωΔt\) になりますから、式(7)は

\(\sin(ωt+ωΔt)=\sinωt\cdot1+\cosωt\cdotωΔt \cdots(8)\)

式(6)の電圧の変化 \(Δv\) は

\(Δv=E_m(\sin(ωt+\cosωt\cdotωΔt)-E_m\sinωt\)=\(E_m\sinωt+E_m\cosωt\cdotωΔt-E_m\sinωt\)

\(Δv=E_m\cosωt\cdotωΔt \cdots(9)\)

式(9)を式(3)に代入すると

\(i=C\cfrac{Δv}{Δt}\)=\(C\cfrac{E_mωΔt \cdot\cosωt}{Δt}\)

\(i=ωCE_m\cosωt\) [A] \(\cdots(10)\)

また、\(\cosωt=\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) ですから

\(i=ωCE_m\cosωt\)=\(ωCE_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) [A] \(\cdots(11)\)

となりますので、電流 \(i\) は電圧 \(v\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進んでいることがわかります。

電流を基準に見た場合

交流電源にコンデンサを接続した回路の場合、

電流の波形に対して、電圧の波形が \(\cfrac{π}{2}\)(90°)遅れます。

\(i=I_m\sinωt\) [V]

\(v=\cfrac{I_m}{ωC}\sin\left(ωt-\cfrac{π}{2}\right)\) [A]

\(E_m=\cfrac{I_m}{ωC}\)

式を見れば分かる通り、\(v\) は \(i\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 遅れていることが分かります。

以上で「コンデンサに流れる電流が90°進むわけ」の説明を終わります。




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