コンデンサに流れる電流が90°進むわけ
\(v=E_m\sinωt\) [V]
\(i=ωCE_m\sin\left(ωt+\cfrac{π}{2}\right)\) [A]
\(I_m=ωCE_m\)
電圧を基準に見た場合
交流電源にコンデンサを接続した回路の場合、
電圧の波形に対して、電流の波形が \(\cfrac{π}{2}\)（90°）進みます。
電圧 \(v\) を基準に考えると \(v\) と \(i\) は次のようになります。
\(v=E_m\sinωt\) [V]
\(i=ωCE_m\sin\left(ωt+\cfrac{π}{2}\right)\) [A]
\(I_m=ωCE_m\)
式を見れば分かる通り、\(i\) は \(v\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進んでいることが分かります。
電流が電圧より90°進むことの説明
図の回路のコンデンサ C に、正弦波交流電圧 \(v\) を加えると電流 \(i\) が流れます。
電流の定義 \(I=\cfrac{Q}{t}\) [A] から
\(Δt\) 秒間に \(ΔQ\) [C] の電荷が移動した場合の電流 \(i\) は、次のようになります。
\(i=\cfrac{ΔQ}{Δt}\) [A] \(\cdots(1)\)
また、コンデンサの静電容量 C [F]、電荷 Q [C]、電圧 V [V] との間には\(Q=CV\) の関係がありますから
\(ΔQ=CΔv \cdots(2)\)
式(2)を式(1)に代入すると
\(i=C\left(\cfrac{Δv}{Δt}\right)\) [A] \(\cdots(3)\)
●時刻が \(ｔ\) 秒から \(Δt\) 秒経過後の電圧 \(v\)
コンデンサに加わる正弦波交流電圧の \(t\) 秒の瞬時値を \(v_1\) とすると
\(v_1=E_m\sinωt\) [V] \(\cdots(4)\)
\(Δt\) 秒後の瞬時値を \(v_2\) とすると
\(v_2=E_m\sin(ωt+ωΔt)\) [V] \cdots(5)
電圧の変化 \(Δv\) とすると
\(Δv=v_2-v_1=v_2=E_m\sin(ωt+ωΔt)-E_m\sinωt \cdots(6)\)
式(6)の \(\sin(ωt+ωΔt)\) は加法定理から
\(\sin(ωt+ωΔt)\)＝\(\sinωt\cdot\cosωΔt+\cosωt\cdot\sinωΔt \cdots(7)\)
また、\(Δt\) を非常に小さい時間とすると
\(\cosωΔt≒\cos0=1、\sinωΔt≒ωΔt\) になりますから、式(7)は
\(\sin(ωt+ωΔt)=\sinωt\cdot1+\cosωt\cdotωΔt \cdots(8)\)
式(6)の電圧の変化 \(Δv\) は
\(Δv=E_m(\sin(ωt+\cosωt\cdotωΔt)-E_m\sinωt\)＝\(E_m\sinωt+E_m\cosωt\cdotωΔt-E_m\sinωt\)
\(Δv=E_m\cosωt\cdotωΔt \cdots(9)\)
式(9)を式(3)に代入すると
\(i=C\cfrac{Δv}{Δt}\)＝\(C\cfrac{E_mωΔt \cdot\cosωt}{Δt}\)
\(i=ωCE_m\cosωt\) [A] \(\cdots(10)\)
また、\(\cosωt=\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) ですから
\(i=ωCE_m\cosωt\)＝\(ωCE_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) [A] \(\cdots(11)\)
となりますので、電流 \(i\) は電圧 \(v\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進んでいることがわかります。
電流を基準に見た場合
交流電源にコンデンサを接続した回路の場合、
電流の波形に対して、電圧の波形が \(\cfrac{π}{2}\)（90°）遅れます。
\(i=I_m\sinωt\) [V]
\(v=\cfrac{I_m}{ωC}\sin\left(ωt-\cfrac{π}{2}\right)\) [A]
\(E_m=\cfrac{I_m}{ωC}\)
式を見れば分かる通り、\(v\) は \(i\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 遅れていることが分かります。
以上で「コンデンサに流れる電流が90°進むわけ」の説明を終わります。
