この記事で書いていること
交流回路において
抵抗だけの回路、コイルだけの回路、コンデンサだけの回路について
電圧、電流、べくロツの書き方について説明します。
抵抗だけの交流回路
抵抗だけの交流回路の電圧と電流の瞬時値
図のように、抵抗 \(R\) [Ω] だけの交流回路があります。
電圧と電流の位相”>抵抗だけが接続された交流回路の 電圧と電流は同相 になります。
電源電圧を \(e\) [V] とすると、回路には \(i\) [A] の電流が流れます。
最大値を \(E_m\) [V]、 実効値を \(E\) [V] とすると
\(E_m=\sqrt2E\) の関係になります。
抵抗 \(R\) の端子電圧 \(v\) は電源電圧 \(e\) と等しくなります。
\(v=e=E_m\sinωt\) [V]
\(v=e=\sqrt2E\sinωt\) [V]
最大値を \(I_m\) [A]、 実効値を \(I\) [A] とすると
\(I_m=\sqrt2I\) の関係になります。
電流 \(i\) は、次のようになります。
\(i=I_m\sinωt\) [A]
\(i=\sqrt2I\sinωt\) [A]
\(i=\cfrac{e}{R}=\cfrac{\sqrt2E}{R}\sinωt\) [A]
電流の式から、電圧 \(e\) の瞬時値がゼロのとき、電流 \(i\) もゼロになるので同相であることがわかります。
■ 電圧と電流の瞬時値
\(e=\sqrt2E\sinωt\) [V]
\(i=\sqrt2I\sinωt\) [A]
抵抗だけの交流回路の電圧と電流の実効値
電圧と電流の位相”>抵抗だけが接続された交流回路の 電圧と電流は同相 になります。
電圧の実効値を \(E\) 、電流の実効値を \(I\) とすると、次のようになります。
\(E=RI\) [V]
\(I=\cfrac{E}{R}\) [A]
\(R=\cfrac{E}{I}\) [Ω]
抵抗だけが接続された交流回路のベクトル図
この回路図のベクトル図を描いてみると、次のようになります。
基準のベクトルを電源電圧 \(\dot{E}\) とします。
回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) なので
\(\dot{I}\) は \(\dot{E}\) と同相になります。
抵抗 \(R\) にかかる電圧 \(\dot{V_R}\) は
電源電圧 \(\dot{E}\) と等しいので
\(\dot{V_R}=\dot{E}\) この二つも同相になります。
■ 抵抗だけが接続された交流回路
抵抗だけが接続された交流回路のベクトル図は
電圧 \(\dot{E}\) と回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は同相になることが分かります。
練習問題
問題１
図のような回路の抵抗 \(R=20\) [Ω] で交流電圧 \(v=100\sqrt2\sinωt\) [V] を加えたとき、回路に流れる電流 \(I\) の大きさを求めよ。
＜解答例＞
交流電圧の瞬時値 \(e\)、 実効値 \(E\) は
\(E=E_m\sqrt2、E_m=100\sqrt2\)
\(E=100\) [V]
電流 \(I\) は
\(I=\cfrac{E}{R}=\cfrac{100}{20}=5\) [A]
問題２
図のような回路において、抵抗 \(R=25\) [Ω]、 最大値 \(E_m=70.7\) [V] のときの電流 \(i\) [A] を求めよ。
＜解答例＞
電源電圧 \(e=E_m\sinωt\) [V] から実効値 \(E\) を求めます。
\(E=\cfrac{E_m}{\sqrt2}=\cfrac{70.7}{\sqrt2}\)
\(E≒50\) [V]
電流の実効値 \(I\) [A] は
\(I=\cfrac{E}{R}=\cfrac{50}{25}=2\) [A]
電流の瞬時値の式に \(I=2\) を入れると
\(i=\sqrt2×2\sinωt\)
\(i=2\sqrt2\sinωt\) [A] となります。
コイルだけの交流回路
コイルだけの交流回路の電圧と電流の瞬時値
図のように、コイル（自己インダクタンス）だけの交流回路があります。
■ 電圧を基準にしたとき
電圧を基準にすると、電流は \(\cfrac{π}{2}\) 位相が遅れます。
電圧を基準にしたとき
コイルだけが接続された交流回路の位相は 電圧を基準にすると電流が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。
電源電圧を \(e\) [V] とすると、回路には \(i\) [A] の電流が流れます。
\(E_m\) [V] を最大値、 \(E\) [V] を実効値とすると
\(E_m=\sqrt2E\) の関係になります。
\(v=e=E_m\sinωt\) [V]
\(v=e=\sqrt2E\sinωt\) [V]
\(I_m\) [A] を最大値、 \(I\) [A] を実効値とすると
\(I_m=\sqrt2I\) の関係になります。
電流 \(i\) は、次のようになります。
\(i=I_m\sin(ωt-\cfrac{π}{2})\) [A]
\(i=\sqrt2I\sin(ωt-\cfrac{π}{2})\) [A]
■ 電流を基準にしたとき
コイルに誘導される起電力 \(v\) は
\(e=v=E_m\sinωt\)
電流を基準にしたとき
コイルに誘導される起電力を、電流を基準に考えると
\(v=ωLI_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) になり、電圧が電流より \(\cfrac{π}{2}\) 位相が進みます。
コイルだけの交流回路の電圧と電流
電圧の実効値を \(E\) 、電流の実効値を \(I\) 、インピーダンスを \(Z=ωL\) とすると、次のようになります。
\(E=ZI=ωLI\) [V]
\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{ωL}\) [A]
\(Z=\cfrac{E}{I}=ωL=2πfL\) [Ω]
誘導性リアクタンス
\(X_L=ωL\) [Ω] は交流回路で電流を流しにくくするリアクタンスです。
コイルのリアクタンスは 誘導性リアクタンス といいます。
\(ω=2πf\) です。
記号法による表示
\(\dot E=\dot Z \dot I=jωL\dot I\) [V]
\(\dot I=\cfrac{\dot E}{\dot Z}=\cfrac{\dot E}{jωL}\) [A]
\(\dot Z=\cfrac{\dot E}{\dot I}=jωL\) [Ω]
■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所
- 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
- \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか
■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)（オメガ）の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。
これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。
- \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
- \(-j\) は時計方向に90°移動します。
コイルだけの交流回路のベクトル図
この回路図のベクトル図を描いてみると次のようになります。
基準のベクトルを電源電圧 \(\dot{E}\) とします。
回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=-j\cfrac{\dot{E}}{ωL}\) なので
\(\dot{I}\) は \(\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad]、 90° 遅れます。
コイル \(L\) にかかる電圧 \(\dot{V_L}\) は
電源電圧 \(\dot{E}\) と等しいので \(\dot{V_L}=\dot{E}\) この二つも同相になります。
コイルだけの交流回路
コイルだけが接続された交流回路のベクトル図は
電圧 \(\dot{E}\) に対して回路に流れる電流 \(\dot{I}\) が \(\cfrac{π}{2}\) [rad]、 90° 遅れます。
練習問題
問題１
コイルの自己インダクタンス \(L=10\) [mH] のとき
周波数 \(50\) [Hz] における誘導リアクタンス \(X_L\) [Ω] を求めよ。
＜解答例＞
誘導性リアクタンス \(X_L=ωL=2πfL\) より
\(X_L=2π×50×10×10^{-3}=3.1415\) [Ω] になります。
問題２
インダクタンス \(L\) が \(100\) [mH] のコイルに \(50\) [Hz] 、\(100\) [V] の交流電圧を加えた場合の誘導リアクタンス \(X_L\) と電流 \(I\) を求めよ。
＜解答例＞
\(X_L=ωL=2πfL 、π=3.14\) とします。
\(X_L=2×3.14×50×100×10^{-3}\)
\(X_L=31.4\) [Ω]
\(I=\cfrac{E}{X_L}=\cfrac{100}{31.4}\)
\(I≒3.18\) [A]
問題３
\(e=150\sinωt\) [V] の交流電圧を加えたら、実効値 \(15\) [A] の電流が流れた。コイルの誘導リアクタンス \(X_L\) を求めよ。
＜解答例＞
\(e=E_m\sinωt\) より
電圧の最大値は \(150\) です。
電圧の実効値 \(E\) は
\(E=\cfrac{150}{\sqrt2}=75\sqrt2\) [V]
\(X_L=\cfrac{E}{I}=\cfrac{75\sqrt2}{15}=5\sqrt2\)
\(X_L≒7.07\) [Ω]
コンデンサだけの交流回路
コンデンサだけの交流回路の電圧と電流の瞬時値
図のように、コンデンサだけの交流回路があります。
■ 電圧を基準にしたとき
電圧を基準にすると、電流は \(\cfrac{π}{2}\) 位相が進みます。
電圧を基準にしたとき
コンデンサだけが接続された交流回路の位相は 電圧を基準にすると電流が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。
電源電圧を \(e\) [V] とすると、回路には \(i\) [A] の電流が流れます。
\(E_m\) [V] を最大値、 \(E\) [V] を実効値とすると
\(E_m=\sqrt2E\) の関係になります。
\(v=e=E_m\sinωt\) [V]
\(v=e=\sqrt2E\sinωt\) [V]
\(I_m\) [A] を最大値、 \(I\) [A] を実効値とすると
\(I_m=\sqrt2I\) の関係になります。
電流 \(i\) は、次のようになります。
\(i=I_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\cdots(1)\)
\(i=\sqrt2I\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) [A]
\(I_m=\cfrac{E_m}{Z}=\cfrac{E_m}{\cfrac{1}{ωC}}=ωCE_m\cdots(2)\)
式（２）を 式（１）に代入すると、次のようになります。
\(i=ωCE_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) [A]
コンデンサだけの交流回路の電圧と電流
電圧の実効値を \(E\) 、電流の実効値を \(I\) 、インピーダンスを \(Z=\cfrac{1}{ωC}\) とすると、次のようになります。
\(E=ZI=\cfrac{I}{ωC}\) [V]
\(I=\cfrac{E}{Z}=ωCE\) [A]
\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{1}{ωC}\) [Ω]
容量性リアクタンス
\(Z=\cfrac{1}{ωC}\quad[Ω]\) は交流回路で電流を流しにくくするリアクタンスです。
コンデンサのリアクタンスは 容量性リアクタンス といいます。
\(ω=2πf\) です。
記号法による表示
\(\dot E=\dot Z \dot I=\cfrac{\dot I}{jωC}\) [V]
\(\dot I=\cfrac{\dot E}{\dot Z}=jωC\dot E\) [A]
\(\dot Z=\cfrac{\dot E}{\dot I}=\cfrac{1}{jωC}\) [Ω]
■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所
- 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
- \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか
■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)（オメガ）の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。
これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。
- \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
- \(-j\) は時計方向に90°移動します。
コンデンサの交流回路のベクトル図
この回路図のベクトル図を描いてみると次のようになります。
基準のベクトルを電源電圧 \(\dot{E}\) とします。
回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は
\(\dot{I}=jωC\dot{E}\) なので
\(\dot{I}~\)は\(~\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad]、 90° 進みます。
コンデンサ \(C\) にかかる電圧 \(\dot{V_C}\) は
電源電圧 \(\dot{E}\) と等しいので \(\dot{V_C}=\dot{E}\) この二つも同相になります。
コンデンサだけの交流回路
コンデンサだけの交流回路のベクトル図は
電圧 \(\dot{E}\) に対して回路に流れる電流 \(\dot{I}\) が \(\cfrac{π}{2}\) [rad]、 90° 進みます。
■ 交流回路において、抵抗、コイル、コンデンサの位相関係は次のようになります。
以上で「抵抗・コイル・コンデンサの単独回路」の説明を終わります。