抵抗・コイル・コンデンサの単独回路

この記事で書いていること

交流回路において

抵抗だけの回路、コイルだけの回路、コンデンサだけの回路について

電圧、電流、べくロツの書き方について説明します。

目次

抵抗だけの交流回路

抵抗だけの交流回路の電圧と電流の瞬時値

図のように、抵抗 \(R\) [Ω] だけの交流回路があります。

電圧と電流の位相">抵抗だけが接続された交流回路の 電圧と電流は同相 になります。

電源電圧を \(e\) [V] とすると、回路には \(i\) [A] の電流が流れます。

最大値を \(E_m\) [V]、 実効値を \(E\) [V] とすると

\(E_m=\sqrt2E\) の関係になります。

抵抗 \(R\) の端子電圧 \(v\) は電源電圧 \(e\) と等しくなります。

\(v=e=E_m\sinωt\) [V]

\(v=e=\sqrt2E\sinωt\) [V] 

最大値を \(I_m\) [A]、 実効値を \(I\) [A] とすると

\(I_m=\sqrt2I\) の関係になります。

電流 \(i\) は、次のようになります。

\(i=I_m\sinωt\) [A]

\(i=\sqrt2I\sinωt\) [A] 

\(i=\cfrac{e}{R}=\cfrac{\sqrt2E}{R}\sinωt\) [A]

電流の式から、電圧 \(e\) の瞬時値がゼロのとき、電流 \(i\) もゼロになるので同相であることがわかります。

■ 電圧と電流の瞬時値

\(e=\sqrt2E\sinωt\) [V]

\(i=\sqrt2I\sinωt\) [A]

抵抗だけの交流回路の電圧と電流の実効値

電圧と電流の位相">抵抗だけが接続された交流回路の 電圧と電流は同相 になります。

電圧の実効値を \(E\) 、電流の実効値を \(I\) とすると、次のようになります。

\(E=RI\) [V]  

\(I=\cfrac{E}{R}\) [A]  

\(R=\cfrac{E}{I}\) [Ω] 

抵抗だけが接続された交流回路のベクトル図

この回路図のベクトル図を描いてみると、次のようになります。

基準のベクトルを電源電圧 \(\dot{E}\) とします。

回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は 

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{E}}{R}\) なので 

\(\dot{I}\) は \(\dot{E}\) と同相になります。

抵抗 \(R\) にかかる電圧 \(\dot{V_R}\) は

電源電圧 \(\dot{E}\) と等しいので 

\(\dot{V_R}=\dot{E}\) この二つも同相になります。

■ 抵抗だけが接続された交流回路

抵抗だけが接続された交流回路のベクトル図は

電圧 \(\dot{E}\) と回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は同相になることが分かります。

練習問題

問題1

図のような回路の抵抗 \(R=20\) [Ω] で交流電圧 \(v=100\sqrt2\sinωt\) [V] を加えたとき、回路に流れる電流 \(I\) の大きさを求めよ。

<解答例>

交流電圧の瞬時値 \(e\)、 実効値 \(E\) は

\(E=E_m\sqrt2、E_m=100\sqrt2\) 

\(E=100\) [V]  

電流 \(I\) は

\(I=\cfrac{E}{R}=\cfrac{100}{20}=5\) [A]  

問題2

図のような回路において、抵抗 \(R=25\) [Ω]、 最大値 \(E_m=70.7\) [V] のときの電流 \(i\) [A] を求めよ。

<解答例>

電源電圧 \(e=E_m\sinωt\) [V] から実効値 \(E\) を求めます。

\(E=\cfrac{E_m}{\sqrt2}=\cfrac{70.7}{\sqrt2}\) 

\(E≒50\) [V]  

電流の実効値 \(I\) [A] は

\(I=\cfrac{E}{R}=\cfrac{50}{25}=2\) [A]  

電流の瞬時値の式に \(I=2\) を入れると

\(i=\sqrt2×2\sinωt\) 

\(i=2\sqrt2\sinωt\) [A] となります。

コイルだけの交流回路

コイルだけの交流回路の電圧と電流の瞬時値

図のように、コイル(自己インダクタンス)だけの交流回路があります。

■ 電圧を基準にしたとき

電圧を基準にすると、電流は \(\cfrac{π}{2}\) 位相が遅れます。

電圧を基準にしたとき

コイルだけが接続された交流回路の位相は 電圧を基準にすると電流が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。

電源電圧を \(e\) [V] とすると、回路には \(i\) [A] の電流が流れます。

\(E_m\) [V] を最大値、 \(E\) [V] を実効値とすると

\(E_m=\sqrt2E\) の関係になります。

\(v=e=E_m\sinωt\) [V]

\(v=e=\sqrt2E\sinωt\) [V] 

\(I_m\) [A] を最大値、 \(I\) [A] を実効値とすると

\(I_m=\sqrt2I\) の関係になります。

電流 \(i\) は、次のようになります。

\(i=I_m\sin(ωt-\cfrac{π}{2})\) [A]

\(i=\sqrt2I\sin(ωt-\cfrac{π}{2})\) [A] 

■ 電流を基準にしたとき

コイルに誘導される起電力 \(v\) は

\(e=v=E_m\sinωt\) 

電流を基準にしたとき

コイルに誘導される起電力を、電流を基準に考えると

\(v=ωLI_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) になり、電圧が電流より \(\cfrac{π}{2}\) 位相が進みます。

コイルだけの交流回路の電圧と電流

電圧の実効値を \(E\) 、電流の実効値を \(I\) 、インピーダンスを \(Z=ωL\) とすると、次のようになります。

\(E=ZI=ωLI\) [V]  

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{ωL}\) [A]  

\(Z=\cfrac{E}{I}=ωL=2πfL\) [Ω] 

誘導性リアクタンス

\(X_L=ωL\) [Ω] は交流回路で電流を流しにくくするリアクタンスです。

コイルのリアクタンスは 誘導性リアクタンス といいます。

\(ω=2πf\) です。

記号法による表示

\(\dot E=\dot Z \dot I=jωL\dot I\) [V] 

\(\dot I=\cfrac{\dot E}{\dot Z}=\cfrac{\dot E}{jωL}\) [A] 

\(\dot Z=\cfrac{\dot E}{\dot I}=jωL\) [Ω] 

■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所

  • 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
  • \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか

■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)(オメガ)の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。

これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。

  • \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
  • \(-j\) は時計方向に90°移動します。

コイルだけの交流回路のベクトル図

この回路図のベクトル図を描いてみると次のようになります。

基準のベクトルを電源電圧 \(\dot{E}\) とします。

回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は 

\(\dot{I}=-j\cfrac{\dot{E}}{ωL}\) なので 

\(\dot{I}\) は \(\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad]、 90° 遅れます。

コイル \(L\) にかかる電圧 \(\dot{V_L}\) は

電源電圧 \(\dot{E}\) と等しいので \(\dot{V_L}=\dot{E}\) この二つも同相になります。

コイルだけの交流回路

コイルだけが接続された交流回路のベクトル図は

電圧 \(\dot{E}\) に対して回路に流れる電流 \(\dot{I}\) が \(\cfrac{π}{2}\) [rad]、 90° 遅れます。

練習問題

問題1

コイルの自己インダクタンス \(L=10\) [mH] のとき

周波数 \(50\) [Hz] における誘導リアクタンス \(X_L\) [Ω] を求めよ。

<解答例>

誘導性リアクタンス \(X_L=ωL=2πfL\) より

\(X_L=2π×50×10×10^{-3}=3.1415\) [Ω] になります。

問題2

インダクタンス \(L\) が \(100\) [mH] のコイルに \(50\) [Hz] 、\(100\) [V] の交流電圧を加えた場合の誘導リアクタンス \(X_L\) と電流 \(I\) を求めよ。

<解答例>

\(X_L=ωL=2πfL 、π=3.14\) とします。

\(X_L=2×3.14×50×100×10^{-3}\) 

\(X_L=31.4\) [Ω]  

\(I=\cfrac{E}{X_L}=\cfrac{100}{31.4}\) 

\(I≒3.18\) [A]  

問題3

\(e=150\sinωt\) [V] の交流電圧を加えたら、実効値 \(15\) [A] の電流が流れた。コイルの誘導リアクタンス \(X_L\) を求めよ。

<解答例>

\(e=E_m\sinωt\) より

電圧の最大値は \(150\) です。

電圧の実効値 \(E\) は

\(E=\cfrac{150}{\sqrt2}=75\sqrt2\) [V]  

\(X_L=\cfrac{E}{I}=\cfrac{75\sqrt2}{15}=5\sqrt2\) 

\(X_L≒7.07\) [Ω]

コンデンサだけの交流回路

コンデンサだけの交流回路の電圧と電流の瞬時値

図のように、コンデンサだけの交流回路があります。

■ 電圧を基準にしたとき


電圧を基準にすると、電流は \(\cfrac{π}{2}\) 位相が進みます。

電圧を基準にしたとき

コンデンサだけが接続された交流回路の位相は 電圧を基準にすると電流が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

電源電圧を \(e\) [V] とすると、回路には \(i\) [A] の電流が流れます。

\(E_m\) [V] を最大値、 \(E\) [V] を実効値とすると

\(E_m=\sqrt2E\) の関係になります。

\(v=e=E_m\sinωt\) [V]

\(v=e=\sqrt2E\sinωt\) [V] 

\(I_m\) [A] を最大値、 \(I\) [A] を実効値とすると

\(I_m=\sqrt2I\) の関係になります。

電流 \(i\) は、次のようになります。

\(i=I_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\cdots(1)\)

\(i=\sqrt2I\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) [A] 

\(I_m=\cfrac{E_m}{Z}=\cfrac{E_m}{\cfrac{1}{ωC}}=ωCE_m\cdots(2)\) 

式(2)を 式(1)に代入すると、次のようになります。

\(i=ωCE_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) [A] 

コンデンサだけの交流回路の電圧と電流

電圧の実効値を \(E\) 、電流の実効値を \(I\) 、インピーダンスを \(Z=\cfrac{1}{ωC}\) とすると、次のようになります。

\(E=ZI=\cfrac{I}{ωC}\) [V]  

\(I=\cfrac{E}{Z}=ωCE\) [A]  

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{1}{ωC}\) [Ω] 

容量性リアクタンス

\(Z=\cfrac{1}{ωC}\quad[Ω]\) は交流回路で電流を流しにくくするリアクタンスです。

コンデンサのリアクタンスは 容量性リアクタンス といいます。

\(ω=2πf\) です。

記号法による表示

\(\dot E=\dot Z \dot I=\cfrac{\dot I}{jωC}\) [V]  

\(\dot I=\cfrac{\dot E}{\dot Z}=jωC\dot E\) [A]  

\(\dot Z=\cfrac{\dot E}{\dot I}=\cfrac{1}{jωC}\) [Ω] 

■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所

  • 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
  • \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか

■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)(オメガ)の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。

これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。

  • \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
  • \(-j\) は時計方向に90°移動します。

コンデンサの交流回路のベクトル図

この回路図のベクトル図を描いてみると次のようになります。

基準のベクトルを電源電圧 \(\dot{E}\) とします。

回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は 

\(\dot{I}=jωC\dot{E}\) なので 

\(\dot{I}~\)は\(~\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\) [rad]、 90° 進みます。

コンデンサ \(C\) にかかる電圧 \(\dot{V_C}\) は

電源電圧 \(\dot{E}\) と等しいので \(\dot{V_C}=\dot{E}\) この二つも同相になります。

コンデンサだけの交流回路

コンデンサだけの交流回路のベクトル図は

電圧 \(\dot{E}\) に対して回路に流れる電流 \(\dot{I}\) が \(\cfrac{π}{2}\) [rad]、 90° 進みます。

■ 交流回路において、抵抗、コイル、コンデンサの位相関係は次のようになります。

以上で「抵抗・コイル・コンデンサの単独回路」の説明を終わります。

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