コンデンサだけの交流回路

コンデンサだけの交流回路の電圧と電流の瞬時値

図のように、コンデンサだけの交流回路があります。

電圧を基準にしたとき

電圧を基準にすると、電流は \(\cfrac{π}{2}\) 位相が進みます。

コンデンサだけが接続された交流回路の位相は 電圧を基準にすると電流が \(\cfrac{π}{2}\) 進みます。

電源電圧を \(e\quad\rm[V]\) とすると、回路には \(i\quad\rm[A]\) の電流が流れます。

\(E_m\quad\rm[V]\) を最大値、 \(E\quad\rm[V]\) を実効値とすると
\(E_m=\sqrt2E\) の関係になります。

\(v=e=E_m\sinωt\quad\rm[V]\)  
\(v=e=\sqrt2E\sinωt\quad\rm[V]\) 

\(I_m\quad\rm[A]\) を最大値、 \(I\quad\rm[A]\) を実効値とすると
\(I_m=\sqrt2I\) の関係になります。

電流 \(i\) は、次のようになります。

\(i=I_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\quad\rm[A]\cdots(1)\) 
\(i=\sqrt2I\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\quad\rm[A]\) 

\(I_m=\cfrac{E_m}{Z}=\cfrac{E_m}{\cfrac{1}{ωC}}=ωCE_m\cdots(2)\) 

式(2)を 式(1)に代入すると、次のようになります。

\(i=ωCE_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\quad\rm[A]\)

コンデンサだけの交流回路の電圧と電流

電圧の実効値を \(E\) 、電流の実効値を \(I\) 、インピーダンスを \(Z=\cfrac{1}{ωC}\) とすると、次のようになります。

\(E=ZI=\cfrac{I}{ωC}\quad\rm[V]\) 

\(I=\cfrac{E}{Z}=ωCE\quad\rm[A]\) 

\(Z=\cfrac{E}{I}=\cfrac{1}{ωC}\quad[Ω]\) 

\(Z=\cfrac{1}{ωC}\quad[Ω]\) は交流回路で電流を流しにくくするリアクタンスです。
コンデンサのリアクタンスは 容量性リアクタンス といいます。
\(ω=2πf\) です。

記号法による表示

\(\dot E=\dot Z \dot I=\cfrac{\dot I}{jωC}\quad\rm[V]\) 

\(\dot I=\cfrac{\dot E}{\dot Z}=jωC\dot E\quad\rm[A]\) 

\(\dot Z=\cfrac{\dot E}{\dot I}=\cfrac{1}{jωC}\quad[Ω]\) 

■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所

  • 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
  • \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか

■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)(オメガ)の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。

これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。

  • \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
  • \(-j\) は時計方向に90°移動します。

コンデンサの交流回路のベクトル図

この回路図のベクトル図を描いてみると次のようになります。

基準のベクトルを電源電圧 \(\dot{E}\) とします。

回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は \(\dot{I}=jωC\dot{E}\) なので \(\dot{I}~\)は\(~\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\quad\rm[rad]\) 90° 進みます。

コンデンサ \(C\) にかかる電圧 \(\dot{V_C}\) は電源電圧 \(\dot{E}\) と等しいので \(\dot{V_C}=\dot{E}\) この二つも同相になります。

コンデンサだけの交流回路のベクトル図は、電圧 \(\dot{E}\) に対して回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は \(\cfrac{π}{2}\quad\rm[rad]\) 90° 進みます。

■ 交流回路において、抵抗、コイル、コンデンサの位相関係は次のようになります。

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以上で「コンデンサだけの交流回路」の説明を終わります。