コイルだけの交流回路

コイルだけの交流回路の電圧と電流の瞬時値

図のように、コイル(自己インダクタンス)だけの交流回路があります。

電圧を基準にしたとき

電圧を基準にすると、電流は \(\cfrac{π}{2}\) 位相が遅れます。

コイルだけが接続された交流回路の位相は 電圧を基準にすると電流が \(\cfrac{π}{2}\) 遅れます。

電源電圧を \(e\quad\rm[V]\) とすると、回路には \(i\quad\rm[A]\) の電流が流れます。

\(E_m\quad\rm[V]\) を最大値、 \(E\quad\rm[V]\) を実効値とすると
\(E_m=\sqrt2E\) の関係になります。

\(v=e=E_m\sinωt\quad\rm[V]\)  
\(v=e=\sqrt2E\sinωt\quad\rm[V]\) 

\(I_m\quad\rm[A]\) を最大値、 \(I\quad\rm[A]\) を実効値とすると
\(I_m=\sqrt2I\) の関係になります。

電流 \(i\) は、次のようになります。

\(i=I_m\sin(ωt-\cfrac{π}{2})\quad\rm[A]\) 
\(i=\sqrt2I\sin(ωt-\cfrac{π}{2})\quad\rm[A]\) 

電流を基準にしたとき

コイルに誘導される起電力 \(v\) は
\(e=v=E_m\sinωt\) 

コイルに誘導される起電力を、電流を基準に考えると
\(v=ωLI_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) になり、電圧が電流より \(\cfrac{π}{2}\) 位相が進みます。

コイルだけの交流回路の電圧と電流

電圧の実効値を \(E\) 、電流の実効値を \(I\) 、インピーダンスを \(Z=ωL\) とすると、次のようになります。

\(E=ZI=ωLI\quad\rm[V]\) 

\(I=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{ωL}\quad\rm[A]\) 

\(Z=\cfrac{E}{I}=ωL=2πfL\quad[Ω]\) 

\(X_L=ωL\quad[Ω]\) は交流回路で電流を流しにくくするリアクタンスです。
コイルのリアクタンスは 誘導性リアクタンス といいます。
\(ω=2πf\) です。

記号法による表示

\(\dot E=\dot Z \dot I=jωL\dot I\quad\rm[V]\)

\(\dot I=\cfrac{\dot E}{\dot Z}=\cfrac{\dot E}{jωL}\quad\rm[A]\)

\(\dot Z=\cfrac{\dot E}{\dot I}=jωL\quad[Ω]\)

■ 虚数単位 \(j\) を付ける場所

  • 虚数単位がややこしくなるのは、どこに付けたらいいかわからない。
  • \(+j、-j\) どっちになるかわからない。ということではないでしょうか

■ 虚数単位 \(j\) は、\(ω\)(オメガ)の前に \(+j\) を付けると覚えましょう。

これを覚えれば、かなりの部分が解決すると思います。

  • \(+j\) は反時計方向に90°移動します。
  • \(-j\) は時計方向に90°移動します。

コイルだけの交流回路のベクトル図

この回路図のベクトル図を描いてみると次のようになります。

基準のベクトルを電源電圧 \(\dot{E}\) とします。

回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は \(\dot{I}=-j\cfrac{\dot{E}}{ωL}\) なので \(\dot{I}\) は \(\dot{E}\) より \(\cfrac{π}{2}\quad\rm[rad]\) 90° 遅れます。

コイル \(L\) にかかる電圧 \(\dot{V_L}\) は電源電圧 \(\dot{E}\) と等しいので \(\dot{V_L}=\dot{E}\) この二つも同相になります。

コイルだけが接続された交流回路のベクトル図は、電圧 \(\dot{E}\) に対して回路に流れる電流 \(\dot{I}\) は \(\cfrac{π}{2}\quad\rm[rad]\) 90° 遅れます。

練習問題

 

問題1

コイルの自己インダクタンス \(L=10\quad\rm[mH]\) のとき、周波数 \(50\quad\rm[Hz]\) における誘導リアクタンス \(X_L\quad[Ω]\) を求めよ。

<解 答>
誘導性リアクタンス \(X_L=ωL=2πfL\) より

\(X_L=2π×50×10×10^{-3}=3.1415\quad[Ω]\) になります。

問題2

インダクタンス \(L\) が \(100\quad\rm[mH]\) のコイルに \(50\quad\rm[Hz]\) 、\(100\quad\rm[V]\) の交流電圧を加えた場合の誘導リアクタンス \(X_L\) と電流 \(I\) を求めよ。

<解 答>
\(X_L=ωL=2πfL 、π=3.14\) とします。

\(X_L=2×3.14×50×100×10^{-3}\) 

\(X_L=31.4\quad[Ω]\) 

\(I=\cfrac{E}{X_L}=\cfrac{100}{31.4}\) 

\(I≒3.18\quad\rm[A]\) 

問題3

\(e=150\sinωt\) の交流電圧を加えたら、実効値 \(15\quad\rm[A]\) の電流が流れた。コイルの誘導リアクタンス \(X_L\) を求めよ。

<解 答>
\(e=E_m\sinωt\) より

電圧の最大値は \(150\) です。

電圧の実効値 \(E\) は

\(E=\cfrac{150}{\sqrt2}=75\sqrt2\quad\rm[V]\) 

\(X_L=\cfrac{E}{I}=\cfrac{75\sqrt2}{15}=5\sqrt2\) 

\(X_L≒7.07\quad[Ω]\) 


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以上で「コイルだけの交流回路」の説明を終わります。