複素数とは

虚数とは何か

虚数とは、2乗して-1になる想像上 (imaginary) の数で数学では \(i\) を使います。

\(i=\sqrt-1\)
両辺を2乗すると
\(i^2=-1\)

 電気工学では電流の記号に \(i\) を使うので、\(j\) を使います。 

\(j=\sqrt-1\)
両辺を2乗すると
\(j^2=-1\)

複素数と共役複素数

実数と虚数を使って、次のように表現した式を 「複素数」 といいます。
\(a+jb\)

\(a\) を実部といい、\(jb\) を虚部といいます。

また、虚部の符号を変えたもの \(a-jb\) を共役(きょうやく)複素数といいます。

複素平面(ガウス平面)

複素数を直交座標で表す方法を「複素数表示」といい、複素数表示の平面を「複素平面」、「ガウス平面」といいます。

■ 複素平面の表示例
\(\dot{Z}=a+jb\) を複素平面にグラフ化すると次のような図になります。

\(\dot{Z}\) の絶対値は三平方の定理から
\(Z=\sqrt{a^2+b^2}\)

また、実軸(\(x\))との角度 \(θ\) は
\(θ=tan^{-1}\cfrac{b}{a}\)
となります。

複素数に「j」や「-j」をかけるとどうなるか

例えば、複素数 \(\dot{Z}=a+jb\) に「\(j\)」や「\(-j\)」をかけてみます。

■ \(\dot{Z}=a+jb\) に「\(j\)」をかける
\(j\dot{Z}=j(a+jb)=ja+j^2b=ja-b=-b+ja\) となります。

実数だった \(a\) は虚数に、また虚数だった \(b\) は実数になりました。

「\(j\)」をかけると、反時計方向に90度移動します。

■ \(\dot{Z}=a+jb\) に「\(-j\)」をかける
\(-j\dot{Z}=-j(a+jb)=-ja+b=b-ja\) となります。

実数だった \(a\) は虚数に、また虚数だった \(b\) は実数になりました。

「\(-j\)」をかけると、時計方向に90度移動します。
「\(j\)」をかけると、反時計方向に \(\cfrac{π}{2}\)(90度)移動します。

「\(-j\)」をかけると、時計方向に \(\cfrac{π}{2}\)(90度)移動します。

複素数の四則演算

複素数 \(a+jb\) と 複素数 \(c+jd\) の例

■ 加算
\((a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)\)

■ 減算
\((a+jb)-(c+jd)=(a-c)+j(b-d)\)

■ 乗算
\((a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)\)

■ 除算
\(\cfrac{(a+jb)}{(c+jd)}=\cfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+j\cfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\)

■ 例題
加算
\((2+j4)+(3+j)\) を求めよ。

\((2+j4)+(3+j)=(2+3)+j(4+1)=5+j5\) となります。

乗算
\((2+j3)(2-j3)\) を求めよ。

\((2+j3)(2-j3)=(2×2)-(2×j3)+(j3×2)-(j3×j3)\)\(=4-j6+j6-(-1×9)\)\(=4+9=13\) となります。

以上で「複素数とは」の説明を終わります。