コイルに流れる電流が90°遅れるわけ

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コイルに流れる電流が90°遅れるわけ

 

位相の進みと遅れは、相対的なものですから、電圧を基準にした場合と電流を基準にした場合では、見方が逆になります。

 

 

電圧を基準に見た場合

交流電源にコイルを接続した回路の場合、電圧の波形に対して、電流の波形が $π/2$(90°) 遅れます。

 

 

電流を基準に見た場合

交流電源にコイルを接続した回路の場合、電流の波形に対して、電圧の波形が $π/2$(90°) 進みます。

 

コイルに流れる電流を計算する

 

コイルに流れる電流の瞬時値は $i=I_msinωt[A]$ です。

 

コイルに誘導される、起電力は次のようになります。
$ v=L\cfrac{Δi}{Δt}[V]\tag{1}$

 

電流の変化を三角関数の加法定理で求める


上図において、コイルに流れる電流の瞬時値 $i_1$ は、次のようになります。
$ i_1=I_msinωt\tag{2}$

 

時間が Δt[s] 経過したときの電流 $i_2$ は、次のようになります。
$ i_2=I_msin(ωt+ωΔt) \tag{3}$

 

電流の変化分 $Δi$ は、次のようになります。
$Δi=i_2-i_1\tag{4}$

 

式(4)に式(2)と式(3)を代入すると、次のようになります。
  $Δi=i_2-i_1$
$Δi=I_msin(ωt+ωΔt)-I_msinωt\tag{5}$

 

式(5)の $sin(ωt+ωΔt)$ を三角関数の加法定理で展開すると次のようになります。

加法定理
$sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ$

$sin(ωt+ωΔt)=sinωtcosωΔt+cosωtsinωΔt\tag{6}$

 

 

電流の変化率から電圧を求める

$\large sin(ωt+ωΔt)=sinωtcosωΔt+cosωtsinωΔt\tag{6}$

 

Δtを非常に小さい時間とすると、次のようになります。
$cosωΔt≒cos0=1$

 

$sinωΔt≒ωΔt$

 

非常に小さい角度の三角関数

いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度θラジアンに対する、円弧の長さはθ、sinθは赤線の長さ、cosθは青線の長さになる。

従って、角度θの値が0(ゼロ)に近づいて行くと
θ→0 のとき sinθ→θ (赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)
cosθ→1 (青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)
tanθ→θ (tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{θ}{1}=θ)

 

  $cosωΔt≒cos0=1$

 

  $sinωΔt≒ωΔt$

 

上の式を式(6)に代入すると、式(6)は次のようになります。
  $\large sin(ωt+ωΔt)≒sinωt×1+cosωt×ωΔt$
$sin(ωt+ωΔt)≒sinωt+cosωtωΔt\tag{7}$

 

式(7)を式(5)に代入すると、式(5)は次のようになります。
$Δi=I_msin(ωt+ωΔt)-I_msinωt\tag{5}$
  $Δi=I_m(sinωt+cosωtωΔt)-I_msinωt$
  $Δi=I_msinωt+I_mcosωtωΔt-I_msinωt$
  $Δi=I_mcosωtωΔt[A]$

 

$Δi=ωΔtI_mcosωt[A]\tag{8}$

 

誘導起電力の式(1)に式(8)を代入すると
$ v=L\cfrac{Δi}{Δt}\tag{1}$
  $ v=L\cfrac{ωΔtI_mcosωt}{Δt}$

 

$ v=ωLI_mcosωt[V]\tag{9}$

 

三角関数の公式から
  $cosθ=sin(θ+\cfrac{π}{2})$ なので

$v=ωLI_mcosωt=ωLI_msin(ωt+\cfrac{π}{2})[V]\tag{10}$

$sin(ωt+\cfrac{π}{2})$ は $sinωt$ より、位相が $π/2$[rad] 進んでいることを意味しています。

 

従って、コイルに誘導される起電力 $v$ は電流 $i$ より、位相が $π/2[rad]$ 進んでいることになります。

 

逆にいえば、電流 $i$ は電圧 $v$ より位相が $π/2[rad]$ 遅れていることになります。

 

誘導される起電力 $v$ は電源電圧 $e$ と釣り合うことになります。

 

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