コイルに流れる電流が90°遅れるわけ




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コイルに流れる電流が90°遅れるわけ

位相の進みと遅れは、相対的なものですから、電圧を基準にした場合と電流を基準にした場合では、見方が逆になります。

電圧を基準に見た場合

交流電源にコイルを接続した回路の場合、電圧の波形に対して、電流の波形が \(\cfrac{π}{2}\)(90°)遅れます。

電流を基準に見た場合

交流電源にコイルを接続した回路の場合、電流の波形に対して、電圧の波形が \(\cfrac{π}{2}\)(90°)進みます。

コイルに流れる電流を計算する

コイルに流れる電流の瞬時値は \(i=I_m\sinωt\) [A] です。

コイルに誘導される、起電力は次のようになります。

\(v=L\cfrac{Δi}{Δt}\) [V] \(\cdots(1)\)

電流の変化を三角関数の加法定理で求める

上図において、コイルに流れる電流の瞬時値 \(i_1\) は、次のようになります。

\(i_1=I_m\sinωt \cdots(2)\)

時間が Δt[s] 経過したときの電流 \(i_2\) は、次のようになります。

\(i_2=I_m\sin(ωt+ωΔt) \cdots(3)\)

電流の変化分 \(Δi\) は、次のようになります。

\(Δi=i_2-i_1 \cdots(4)\)

式(4)に式(2)と式(3)を代入すると、次のようになります。

\(Δi=i_2-i_1\)

\(Δi=I_m\sin(ωt+ωΔt)-I_m\sinωt \cdots(5)\)

式(5)の \(\sin(ωt+ωΔt)\) を三角関数の加法定理で展開すると次のようになります。

加法定理
\(\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\)

\(\sin(ωt+ωΔt)\)=\(\sinωt\cosωΔt+\cosωt\sinωΔt \cdots(6)\)

電流の変化率から電圧を求める

\(\sin(ωt+ωΔt)\)=\(\sinωt\cosωΔt+\cosωt\sinωΔt \cdots(6)\)

Δt を非常に小さい時間とすると、次のようになります。

\(\cosωΔt≒\cos0=1\)

\(\sinωΔt≒ωΔt\)

非常に小さい角度の三角関数

いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度$θ$ラジアンに対する、円弧の長さは θ、\(\sinθ\) は赤線の長さ、\(\cosθ\) は青線の長さになる。

従って、角度 θ の値が 0(ゼロ)に近づいて行くと

\(θ→0\) のとき \(\sinθ→θ\) (赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)

\(\cosθ→1\)(青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)

\(\tanθ→θ\) \((\tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ)\)

\(\cosωΔt≒\cos0=1\)

\(\sinωΔt≒ωΔt\)

上の式を式(6)に代入すると、式(6)は次のようになります。

\(\sin(ωt+ωΔt)≒\sinωt×1+\cosωt×ωΔt\)

\(\sin(ωt+ωΔt)≒\sinωt+\cosωtωΔt \cdots(7)\)

式(7)を式(5)に代入すると、式(5)は次のようになります。

\(Δi=I_m\sin(ωt+ωΔt)-I_m\sinωt\) \cdots(5)

\(Δi=I_m(\sinωt+\cosωtωΔt)-I_m\sinωt\)

\(Δi=I_m\sinωt+I_m\cosωtωΔt-I_ms\inωt\)

\(Δi=I_m\cosωtωΔt\) [A]

\(Δi=ωΔtI_m\cosωt\) [A] \(\cdots(8)\)

誘導起電力の式(1)に式(8)を代入すると

\(v=L\cfrac{Δi}{Δt} \cdots(1)\)

\(v=L\cfrac{ωΔtI_m\cosωt}{Δt}\)

\(v=ωLI_m\cosωt\) [V] \(\cdots(9)\)

三角関数の公式から

\(cosθ=sin(θ+\cfrac{π}{2})\) なので

\(v=ωLI_m\cosωt=ωLI_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) [V] \(\cdots(10)\)

\(\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) は \(\sinωt\) より、

位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進んでいることを意味しています。

従って、コイルに誘導される起電力 \(v\) は電流 \(i\) より、位相が 

\(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進んでいることになります。

逆にいえば、電流 \(i\) は電圧 \(v\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 遅れていることになります。

誘導される起電力 \(v\) は電源電圧 \(e\) と釣り合うことになります。

以上で「コイルに流れる電流が90°遅れるわけ」の説明を終わります。




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