コイルに流れる電流が90°遅れるわけ




この記事は次の項目について書いています。(この記事は2019/7/29に更新されました。)
• 位相の進みと遅れは基準にするもので違う。
• 三角関数で誘導起電力と電流の位相を計算します。

位相の進みと遅れの基準

位相の進みと遅れは、相対的なものですから、電圧を基準にした場合と電流を基準にした場合では、見方が逆になります。

●電流を基準にした場合

交流電源にコイルを接続した回路の場合、電流に対して、電圧が \(\cfrac{π}{2}\)(90°)進みます。

●電圧を基準にした場合

交流電源にコイルを接続した回路の場合、電圧を基準にすれば、電圧に対して、電流が \(\cfrac{π}{2}\)(90°)遅れます。

三角関数で誘導起電力と電流の位相を計算する

●電流を基準に、起電力の大きさを考えます。

コイルに流れる電流の瞬時値は \(i=I_m\sinωt\) [A] です。
コイルに誘導される、起電力は「ファラデーの法則」により、電流の変化率に比例します。

\(v=L\cfrac{Δi}{Δt}\) [V]\(\cdots(1)\)

●電流の変化率

図において、コイルに流れる電流の瞬時値 \(i_1\) は
\(i_1=I_m\sinωt \cdots(2)\)

時間が \(Δt\) [s] 経過したときの電流 \(i_2\) は
\(i_2=I_m\sin(ωt+ωΔt) \cdots(3)\)

電流の変化分 \(Δi\) は
\(Δi=i_2-i_1 \cdots(4)\)

式(4)に式(2)と式(3)を代入します。
\(Δi=i_2-i_1 \cdots(4)\)
\(Δi=I_m\sin(ωt+ωΔt)-I_m\sinωt \cdots(5)\)

式(5)の \(\sin(ωt+ωΔt)\) を三角関数の加法定理で展開すると
加法定理 \(\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\) ですから

\(\sin(ωt+ωΔt)\)=\(\sinωt\cosωΔt+\cosωt\sinωΔt \cdots(6)\)

ここで、\(Δt\) が非常に小さい時間の場合は
\(\cosωΔt≒\cos0=1\)
\(\sinωΔt≒ωΔt\) になります。これを、式(6)に代入します。
\(\sin(ωt+ωΔt)≒\sinωt×1+\cosωt×ωΔt\)

\(\sin(ωt+ωΔt)≒\sinωt+\cosωtωΔt \cdots(7)\)

式(7)を式(5)に代入すると、次のようになります。

\(Δi=I_m\sin(ωt+ωΔt)-I_m\sinωt \cdots(5)\)
\(Δi=I_m(\sinωt+\cosωtωΔt)-I_m\sinωt\)
\(Δi=I_m\sinωt+I_m\cosωtωΔt-I_m\sinωt\)

\(Δi=ωΔtI_m\cosωt\) [A]\(\cdots(8)\)

初めの誘導起電力の式(1)に式(8)を代入すると
\(v=L\cfrac{Δi}{Δt} \cdots(1)\)
\(v=L\cfrac{ωΔtI_m\cosωt}{Δt}\)

\(v=ωLI_m\cosωt\) [V] \(\cdots(9)\)

三角関数の公式から、\(cosθ=sin(θ+\cfrac{π}{2})\) なので、式(9)は

\(v=ωLI_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})\) [V] \(\cdots(10)\)

式(10)を見れば分かる通り、誘導起電力 \(v\) は電流 \(i=I_m\sinωt\) より
位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 進んでいます。

逆にいえば、電流 \(i\) は電圧 \(v\) より位相が \(\cfrac{π}{2}\) [rad] 遅れていることになります。

誘導される起電力 \(v\) は電源電圧 \(e\) と釣り合うことになります。

参考

非常に小さい角度の三角関数
いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度$θ$ラジアンに対する、円弧の長さは θ、\(\sinθ\) は赤線の長さ、\(\cosθ\) は青線の長さになる。

従って、角度 θ の値が 0(ゼロ)に近づいて行くと
\(θ→0\) のとき \(\sinθ→θ\) (赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)

\(\cosθ→1\)(青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)

\(\tanθ→θ\) \((\tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ)\)

\(\cosωΔt≒\cos0=1\)

\(\sinωΔt≒ωΔt\)

以上で「コイルに流れる電流が90°遅れるわけ」の説明を終わります。




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