コイルに流れる電流が90°遅れるわけ

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コイルに流れる電流が90°遅れるわけ

位相の進みと遅れは、相対的なものですから、電圧を基準にした場合と電流を基準にした場合では、見方が逆になります。

電圧を基準に見た場合

交流電源にコイルを接続した回路の場合、電圧の波形に対して、電流の波形が $\cfrac{π}{2}$(90°) 遅れます。

電流を基準に見た場合

交流電源にコイルを接続した回路の場合、電流の波形に対して、電圧の波形が $\cfrac{π}{2}$(90°) 進みます。

コイルに流れる電流を計算する

コイルに流れる電流の瞬時値は $i=I_m\sinωt[A]$ です。

コイルに誘導される、起電力は次のようになります。

$v=L\cfrac{Δi}{Δt}[V]\tag{1}$

電流の変化を三角関数の加法定理で求める

上図において、コイルに流れる電流の瞬時値 $i_1$ は、次のようになります。

$ i_1=I_m\sinωt\tag{2}$

時間が Δt[s] 経過したときの電流 $i_2$ は、次のようになります。

$ i_2=I_m\sin(ωt+ωΔt) \tag{3}$

電流の変化分 $Δi$ は、次のようになります。

$Δi=i_2-i_1\tag{4}$

式(4)に式(2)と式(3)を代入すると、次のようになります。

$Δi=i_2-i_1$

$Δi=I_m\sin(ωt+ωΔt)-I_m\sinωt\tag{5}$

式(5)の $\sin(ωt+ωΔt)$ を三角関数の加法定理で展開すると次のようになります。

加法定理
$$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$$

$\sin(ωt+ωΔt)=\sinωt\cosωΔt+\cosωt\sinωΔt\tag{6}$

電流の変化率から電圧を求める

$\sin(ωt+ωΔt)=\sinωt\cosωΔt+\cosωt\sinωΔt\tag{6}$

Δtを非常に小さい時間とすると、次のようになります。

$\cosωΔt≒\cos0=1$

$\sinωΔt≒ωΔt$

非常に小さい角度の三角関数

いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度$θ$ラジアンに対する、円弧の長さは$θ$、

$\sinθ$は赤線の長さ、$\cosθ$は青線の長さになる。

従って、角度θの値が$0$(ゼロ)に近づいて行くと

$θ→0$ のとき $\sinθ→θ$ (赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)

$\cosθ→1$ (青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)

$\tanθ→θ$ $(\tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ)$

$\cosωΔt≒\cos0=1$

$\sinωΔt≒ωΔt$

上の式を式(6)に代入すると、式(6)は次のようになります。

$\sin(ωt+ωΔt)≒\sinωt×1+\cosωt×ωΔt$

$\sin(ωt+ωΔt)≒\sinωt+\cosωtωΔt\tag{7}$

式(7)を式(5)に代入すると、式(5)は次のようになります。

$Δi=I_m\sin(ωt+ωΔt)-I_m\sinωt\tag{5}$

$Δi=I_m(\sinωt+\cosωtωΔt)-I_m\sinωt$

$Δi=I_m\sinωt+I_m\cosωtωΔt-I_ms\inωt$

$Δi=I_m\cosωtωΔt[A]$

$Δi=ωΔtI_m\cosωt[A]\tag{8}$

誘導起電力の式(1)に式(8)を代入すると

$v=L\cfrac{Δi}{Δt}\tag{1}$

$v=L\cfrac{ωΔtI_m\cosωt}{Δt}$

$v=ωLI_m\cosωt[V]\tag{9}$

三角関数の公式から

$cosθ=sin(θ+\cfrac{π}{2})$ なので

$$v=ωLI_m\cosωt=ωLI_m\sin(ωt+\cfrac{π}{2})[V]\tag{10}$$

$\sin(ωt+\cfrac{π}{2})$ は $\sinωt$ より、

位相が $\cfrac{π}{2}$[rad] 進んでいることを意味しています。

従って、コイルに誘導される起電力 $v$ は電流 $i$ より、位相が 

$\cfrac{π}{2}$[rad] 進んでいることになります。

逆にいえば、電流 $i$ は電圧 $v$ より位相が $\cfrac{π}{2}$[rad] 遅れていることになります。

誘導される起電力 $v$ は電源電圧 $e$ と釣り合うことになります。

以上で「コイルに流れる電流が90°遅れるわけ」の説明を終わります。

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