ノートンの定理の例題




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ノートンの定理の例題

例題1

次の回路の \(R_S\) にかかる電圧を求めよ。

解答

手順1
求める電圧がかかっている抵抗 \(R_S\) を取りはずします。

次に、端子 ab 間を短絡したときに流れる電流 \(I_0\) は

\(I_0=\cfrac{E}{R_1}=G_1E\)

ただし、\(G_1=\cfrac{1}{R_1}\) 

手順2
端子 ab 間を開放する。回路内部の電圧源を短絡したときの端子 ab から見た、回路の合成コンダクタンス \(G_0\) は

\(G_0=G_1+G_2\) [S]

ただし、\(G_1=\cfrac{1}{R_1}、G_2=\cfrac{1}{R_2}\) 

手順3
ノートンの定理より、次のような等価回路になります。

したがって、端子 ab 間に 抵抗 \(R_S\) をつないだとき、 \(R_S\) にかかる電圧は

\(V=\cfrac{I_0}{G_0+G_S}=\cfrac{G_1}{G_1+G_2+G_S}E\) [V] で求められます。

ただし、\(G_1=\cfrac{1}{R_1}、G_2=\cfrac{1}{R_2}、G_S=\cfrac{1}{R_S}\)

例題2

図の回路の、端子 ab 間の電圧 \(V\) をノートンの定理で求めよ。

解答

手順1
ab 間を短絡して、そこに流れる電流 \(I_0\) を求める。


\(I_0=I_1+I_2\)

\(V_1=R_1I_1=E_1\) から \(I_1=\cfrac{72}{6}=12\)

\(V_2=R_2I_2=E_2\) から \(I_2=\cfrac{12}{4}=3\)

\(I_0=I_1+I_2=12+3=15\) [A] になります。

手順2
端子 ab 間を開放する。回路内部の電圧源を短絡したときの端子 ab から見た、回路の合成コンダクタンス \(G_0\) を求める。

抵抗 \(R_1、R_2\) をコンダクタンスで表します。

\(G_1=\cfrac{1}{R_1}=\cfrac{1}{6}\)

\(G_2=\cfrac{1}{R_2}=\cfrac{1}{4}\)

\(G_0=G_1+G_2=\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{5}{12}\) {S}

手順3
ノートンの定理より、次のような等価回路になります。

したがって、求める電圧 \(V\) は

\(V=\cfrac{I_0}{G_0+G_3}\)=\(\cfrac{15}{\cfrac{5}{12}+\cfrac{1}{3}}=20\) [V] になります。

例題3

次の回路の、抵抗 \(R\) にかかる電圧 \(V\) と 電流 \(I\) を求めよ。

解答

回路を次のように、変形して電流と電圧の方向を決めます。

手順1
ノートンの定理により、短絡電流 \(I_0\) を求める。

抵抗 \(R\) を取りはずして、短絡させます。

それぞれの電流の向きを、図のようにすると \(I_1=I_0+I_2\) ですから

\(I_0=I_1-I_2\) になります。

ノートンの定理から

\(I_1=\cfrac{90}{30}=3\)

\(I_2=\cfrac{180}{30}=6\) になりますので、\(I_0\) は次のようになります。

\(I_0=I_1-I_2=3-6=-3\) [A]

符号がマイナスなので、図の向きと反対の電流が流れることになります。

手順2

合成コンダクタンス \(G_0\) を求めます。

\(G_0=\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{30}=\cfrac{2}{30}\) [S] 

手順3

等価回路にすると、次のようになります。

したがって、抵抗 \(R\) にかかる電圧 \(V\) は

\(V=\cfrac{I_0}{G_0+G_R}=\cfrac{-3}{\cfrac{2}{30}+\cfrac{1}{30}}=-30\) [V] になります。

手順4

抵抗 \(R\) に流れる電流は、オームの法則から

\(I=\cfrac{V}{R}=\cfrac{-30}{30}=-1\) [A] となります。

電流の符号がマイナスなので、図の向きと反対の方向に流れていることになります。




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