不平衡三相負荷のスターデルタ(Y-Δ)変換公式の求め方

電源側と負荷側の結線が異なる、不平衡三相交流回路 の計算をする場合は、非常にむずかしくなります。

ここでは、不平衡三相負荷について、電源側と負荷側の結線が異なるときの変換について説明します。

各負荷のインピーダンスの大きさが異なる 不平衡三相負荷 の スターデルタ(Y-Δ)変換 について説明します。

スター負荷とデルタ負荷の変換公式の求め方

図のような、スター負荷を デルタ負荷に変換する方法について説明します。

■ 不平衡三相負荷のデルタスター変換公式

★ 不平衡三相負荷のデルタスター変換公式の求め方で使用したものです。


デルタスター(Δ-Y)変換で算出した式は次のとおりです。

\(Z_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)

\(Z_b=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(13)\)

\(Z_c\)\(=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(15)\)

スター結線負荷の各相を乗算します

■ デルタスター(Δ-Y)変換で算出した式を利用します。

式(11)と式(13)と式(15)を使って、\(Z_aZ_b\) 、\(Z_bZ_c\) 、\(Z_cZ_a\) を求めます。

\(Z_aZ_b\) を求めます

\(Z_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)
\(Z_b=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(13)\)

式(11)と式(13)の両辺を乗算します。

\(Z_aZ_b\)\(=\cfrac{(Z_{ab})^2Z_{ca}Z_{bc}}{(Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca})^2}\cdots(16)\)

\(Z_bZ_c\) を求めます

\(Z_b=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(13)\)
\(Z_c\)\(=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(15)\)

式(13)と式(15)の両辺を乗算します。

\(Z_bZ_c\)\(=\cfrac{(Z_{bc})^2Z_{ab}Z_{ca}}{(Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca})^2}\cdots(17)\)

\(Z_cZ_a\) を求めます

\(Z_c=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(15)\)
\(Z_a=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)

式(15)と式(11)の両辺を乗算します。

\(Z_cZ_a\)\(=\cfrac{(Z_{ca})^2Z_{ab}Z_{bc}}{(Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca})^2}\cdots(18)\)

スターデルタ(Y-Δ)変換後の デルタ負荷 各相の値の求め方

■ 式(16)、式(17)、式(18)の両辺を共に加算します。

\(Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(19)\)

Zab を求めます

\(Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(19)\)
\(Z_c\)\(=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(15)\)

式(19)の両辺を(15)式の両辺で除算します。

\(Z_{ab}\)\(=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_c}\)\(\cdots(20)\)

Zbc を求めます

\(Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(19)\)
\(Z_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)

式(19)の両辺を式(11)の両辺で除算します。

\(Z_{bc}=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_a}\)\(\cdots(21)\)

Zca を求めます

\(Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(19)\)
\(Z_b=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(13)\)

式(19)の両辺を式(13)の両辺で除算します。

\(Z_{ca}=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_b}\)\(\cdots(22)\)

したがって、不平衡のスター負荷をデルタ負荷に変換した時のデルタ負荷の値は次のようになります。

図は、スター負荷をデルタ負荷に変換した時の各相の値です。

スターデルタ(YーΔ)変換式の覚え方

\(Z_{ab}=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_c}\)\(\cdots(20)\)
\(Z_{bc}=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_a}\)\(\cdots(21)\)
\(Z_{ca}=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_b}\)\(\cdots(22)\)
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以上で「不平衡三相負荷のスターデルタ(Y-Δ)変換公式の求め方」の説明を終わります。