不平衡三相負荷の変換公式と公式の求め方

この記事で書いていること

三相負荷が不平衡になると、変換公式が難しくなります。

  • 不平衡のデルタスター変換公式
  • 不平衡のスターデルタ変換公式

この記事では、不平衡三相負荷の変換公式と公式の求め方 を説明します。

目次

不平衡三相負荷のデルタスター(Δ-Y)変換公式

不平衡三相負荷の場合は
各インピーダンスの大きさが異なります。

デルタスター(ΔーY)変換公式

デルタ結線負荷を スター結線負荷に変換すると、次の式になります。

\(Z_{a}=\)\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

\(Z_{b}=\)\(\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

\(Z_{c}=\)\(\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

デルタスター(ΔーY)変換公式の覚え方

\(Z_{a}=\)\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

\(Z_{b}=\)\(\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

\(Z_{c}=\)\(\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

不平衡三相負荷のスターデルタ(Y-Δ)変換公式

不平衡三相負荷の場合は
各インピーダンスの大きさが異なります。

スターデルタ(YーΔ)変換公式

スター結線負荷を デルタ結線に変換すると、次の式になります。

\(Z_{ab}=\)\(\cfrac{Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{c}}\)

\(Z_{ab}=\)\(\cfrac{Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{a}}\)

\(Z_{ab}=\)\(\cfrac{Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{b}}\)

スターデルタ(YーΔ)変換公式の覚え方

\(Z_{ab}=\)\(\cfrac{Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{c}}\)

\(Z_{ab}=\)\(\cfrac{Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{a}}\)

\(Z_{ab}=\)\(\cfrac{Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{b}}\)

デルタスター変換公式の求め方

変換公式を求めるには
デルタ結線の負荷とスター結線の負荷の
合成インピーダンスが等しいと仮定します。

端子 AB間のインピーダンス

■ Δ結線の端子 AB間のインピーダンス

\(Z_{ΔAB}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

■ Y結線の端子 AB間のインピーダンス

\(Z_{YAB}=Z_{a}+Z_{b}\)

\(Z_{YAB}=Z_{ΔAB}\) より

\(Z_{a}+Z_{b}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(1)\)

端子 BC間のインピーダンス

同様にして端子 BC間のインピーダンスを求めます。

■ Δ結線の端子 BC間のインピーダンス

\(Z_{ΔBC}=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

■ Y結線の端子 BC間のインピーダンス

\(Z_{YBC}=Z_{b}+Z_{c}\)

\(Z_{YBC}=Z_{ΔBC}\) より

\(Z_{b}+Z_{c}=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(2)\)

端子 CA間のインピーダンス

同様にして端子 CA間のインピーダンスを求めます。

■ Δ結線の端子 CA間のインピーダンス

\(Z_{ΔCA}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ca}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

■ Y結線の端子 CA間のインピーダンス

\(Z_{YCA}=Z_{c}+Z_{a}\)

\(Z_{YCA}=Z_{ΔCA}\) より

\(Z_{c}+Z_{a}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ca}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(3)\)

\(Z_{a}+Z_{b}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(1)\)

\(Z_{b}+Z_{c}=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(2)\)

\(Z_{c}+Z_{a}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ca}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(3)\)

式(1)から式(2)を引きます。

\(Z_{a}-Z_{c}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}-Z_{ca}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(4)\)

式(3)と式(4)を足します。

\(2Z_{a}=\cfrac{2Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

\(Z_{a}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(5)\)

式(1)と式(5)から

\(Z_{b}=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(6)\)

式(2)と式(6)から

\(Z_{c}=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(7)\)

不平衡三相回路のデルタスター変換公式

\(Z_{a}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

\(Z_{b}=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

\(Z_{c}=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)

スターデルタの変換公式の求め方

\(Z_{a}=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(5)\)

\(Z_{b}=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(6)\)

\(Z_{c}=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(7)\)

式(5)、(6)、(7)から \(Z_{a}Z_{b}\)、\(Z_{b}Z_{c}\)、\(Z_{c}Z_{a}\) を求めます。

\(Z_aZ_b=\cfrac{(Z_{ab})^2Z_{ca}Z_{bc}}{(Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca})^2}\cdots(8)\)

\(Z_bZ_c=\cfrac{(Z_{bc})^2Z_{ab}Z_{ca}}{(Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca})^2}\cdots(9)\)

\(Z_cZ_a=\cfrac{(Z_{ca})^2Z_{ab}Z_{bc}}{(Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca})^2}\cdots(10)\)

式(8)、(9)、(10)の両辺を加算します。

\(Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)

Zab を求める

\(Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)

\(Z_c=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(7)\)

式(11)の両辺を(7)式の両辺で除算します。

\(Z_{ab}=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_c}\cdots(12)\)

Zbc を求めます

\(Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)

\(Z_a=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(5)\)

式(11)の両辺を式(5)の両辺で除算します。

\(Z_{bc}=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_a}\cdots(13)\)

Zca を求めます

\(Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)

\(Z_b=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(6)\)

式(11)の両辺を式(6)の両辺で除算します。

\(Z_{ca}=\cfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_b}\cdots(14)\)

以上のように、変換公式を求めることができます。

まとめ

不平衡三相負荷の変換公式は次のとおりです。

デルタスター変換公式

スターデルタ変換公式

以上で「不平衡三相負荷の変換公式と公式の求め方」の説明を終わります。

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