不平衡三相負荷のデルタスター(Δ-Y)変換公式の求め方

電源側と負荷側の結線が異なる、不平衡三相交流回路 の計算をする場合は、非常にむずかしくなります。

ここでは、不平衡三相負荷について、電源側と負荷側の結線が異なるときの変換について説明します。

各負荷のインピーダンスの大きさが異なる、不平衡三相負荷のデルタスター(Δ-Y)変換について説明します。

この場合も、考え方は平衡三相負荷の時と同じように求められます。

デルタ負荷の各端子間の合成インピーダンスを求めて、スター負荷の同じ端子間の合成インピーダンスと「等しい」として計算をします。

デルタ負荷とスター負荷の変換公式の求め方

デルタ負荷とスター負荷の合成インピーダンスが、等しいと仮定して変換をします。

端子AB間の合成インピーダンスを求める

デルタ負荷とスター負荷の端子AB間の、インピーダンスが「等しい」と仮定します。

■ デルタ負荷の端子AB 間の合成インピーダンスを求めます。

デルタ負荷の端子AB 間の合成インピーダンスを \(Z_{AB}\) とすると、\(Z_{ca}\) と \(Z_{bc}\) の直列接続と \(Z_{ab}\) を並列に接続した直並列接続の回路です

従って、その合成インピーダンスは 和分の積 で求められます。

\(Z_{AB}\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\quad\rm[Ω]\cdots(1)\)

■ スター負荷の端子AB 間の合成インピーダンスを求めます。

スター負荷の端子AB 間の合成インピーダンスは、\(Z_{a}\) と \(Z_{b}\) の直列接続です。

合成インピーダンスは、次のようになります。

\(Z_{AB}=\)\(Z_a+Z_b\cdots(2)\)

 

式(1)と式(2)が等しいとすると、次のようになります。

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_b\cdots(3)\)

端子BC間の合成インピーダンス

同様に、端子BC 間の合成インピーダンスを求めます。

■ デルタ負荷の端子BC間の合成インピーダンスを求めます。

デルタ負荷の端子BC 間の合成インピーダンスを \(Z_{BC}\) とすると、\(Z_{ab}\) と \(Z_{ca}\) の直列接続と \(Z_{bc}\) を並列に接続した直並列接続の回路です。

\(Z_{BC}=\cfrac{Z_{bc}(Z_{ab}+Z_{ca})}{Z_{bc}+(Z_{ab}+Z_{ca})}\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(4)\)

■ スター負荷の端子BC 間の合成インピーダンスを求めます。

スター負荷の端子BC 間の合成インピーダンスは、\(Z_{b}\) と \(Z_{c}\) の直列接続です。

その合成インピーダンスは、次のようになります。

\(Z_{BC}\)\(={Z_b}+{Z_c}\cdots(5)\)

式(4)と式(5)が等しいとすると、次のようになります。

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(={Z_b}+{Z_c}\cdots(6)\)

端子CA間の合成インピーダンス

同様に、端子CA 間の合成インピーダンスを求めます。

■ デルタ負荷の端子CA 間の合成インピーダンスを求めます。

デルタ負荷の端子CA 間の合成インピーダンスを \(Z_{CA}\) とすると、\(Z_{ab}\) と \(Z_{bc}\) の直列接続と \(Z_{ca}\) を並列に接続した直並列接続の回路です。

\(Z_{CA}\)\(=\cfrac{Z_{ca}(Z_{ab}+Z_{bc})}{Z_{ca}+(Z_{ab}+Z_{bc})}\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(7)\)

スター負荷の端子CA 間の合成インピーダンスは、\(Z_{a}\) と \(Z_{c}\) の直列接続です。

その合成インピーダンスは、次のようになります。

\(Z_{CA}\)\(=Z_a+Z_c\cdots(8)\)

式(7)と式(8)が等しいとすると、次のようになります。

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_c\cdots(9)\)

デルタスター(Δ-Y)変換後のスター負荷各相の値の求め方

 

スター負荷の a相 の値の求め方

前述の式を使います。

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_b\cdots(3)\)
\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_c\cdots(9)\)

式(3)と式(9)の両辺を加算します。

\(\cfrac{2Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=2Z_a+Z_b+Z_c\) \(\cdots(10)\)

前項で求めた式(6)

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_b+Z_c\cdots(6)\)

ここで、\(Z_a\) を求めるために、式(10)から式(6)の両辺を減算します。

\(\cfrac{2Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}=2Z_a\)
\(Z_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)

これで、\(Z_a\) を求めることができました。

スター負荷の b相 の値の求め方

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_b\cdots(3)\)
\(\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_b+Z_c\cdots(6)\)

式(3)と式(6)の両辺を加算します。

\(\cfrac{2Z_{ab}Z_{bc}+Z_{ab}Z_{ca}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+2Z_b+Z_c\cdots(12)\)

前項で求めた式(9)

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_c\cdots(9)\)

ここで、\(Z_b\) を求めるために、式(12)から式(9)の両辺を減算します。

\(\cfrac{2Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}=2Z_b\)
\(Z_b=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(13)\)

スター負荷の c相 の値の求め方

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_b+Z_c\)\(\cdots(6)\)
\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_c\cdots(9)\)

式(6)と式(9)の両辺を加算します。

\(\cfrac{2Z_{bc}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}+Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_b+2Z_c\)\(\cdots(14)\)

前項で求めた式(3)

\(\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\)\(=Z_a+Z_b\cdots(3)\)

ここで、\({Z_c}\) を求めるために、式(14)から式(3)の両辺を減算します。

\(\cfrac{2Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}=2Z_c\)
\(Z_c\)\(=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(15)\)

したがって、不平衡のデルタ負荷 を スター負荷に変換 した時の、スター負荷の値は次のようになります。

図は、デルタ負荷をスター負荷に変換した時の、各相の値です。

デルタスター(ΔーY)変換式の覚え方

\(Z_a\)\(=\cfrac{Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(11)\)
\(Z_b=\cfrac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(13)\)
\(Z_c\)\(=\cfrac{Z_{bc}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}\cdots(15)\)