目次
重ね合わせの理の解析手順
重ね合わせの理とは一つの回路中に、「複数の電源（起電力）がある場合に、各枝路に流れる電流は、各電源（起電力）がそれぞれ単独にあるときに、その枝路に流れる電流の和に等しい」というものです。
重ね合わせの理の解析手順の説明
手順 1
解析対象回路の電源（起電力）を一つだけ残して、他の電源（起電力）を短絡した回路に分離します。
この「手順1」を他の電源（起電力）に対して、電源（起電力）の数だけ行います。
手順 2
電源（起電力）を一つだけ残した回路の各枝路の電流を、それぞれの電源（起電力）ごとの回路について算出します。
手順 3
各電源（起電力）ごとに求めた、それぞれの枝路電流を、各枝路電流ごとに、その和を求めます。
重ね合わせの理の利点
重ね合わせの理の利点は、回路中に一つの電源（起電力）しか含まれていないように置きかえるので、抵抗の直列接続、並列接続の回路として扱えるので、計算が容易になります。
重ね合わせの理による電源の分離回路の作り方
電源が二つある回路について、「重ね合わせの理」の適用の手順を説明します
手順 1
- （a）の解析回路を（ｂ）の回路ように、電源$E_1$ だけを残して、他の電源を短絡した回路に分離します。
- 同様に、（c）の回路のように、電源$E_2$ だけを残して、他の電源を短絡した回路に分離します。
- （a）の解析回路の電流$I$ のように時計方向の電流の向きを正（プラス）と仮定します。（この電流の基準の向きはどちらに決めても構いません。）
手順 2
（ｂ）の電源 $E_1$ だけの回路で、オームの法則により枝路電流 $I_1$ を求めます。枝路電流 $I_1$ は（a）の解析回路の電流と同じ時計方向なので、 $+I_1$ です。
$+I_1=\frac{E_1}{R}[A]$
手順 3
（c）の電源 $E_2$ だけの回路で、オームの法則により枝路電流 $I_2$ を求めます。枝路電流 $I_2$ は（a）の解析回路の電流と反対方向なので、 $-I_2$ です。
$-I_2=-\frac{E_2}{R}[A]$
手順 4
解析回路の電流$I$ は電流 $+I_1$ と電流 $-I_2$ の和になります。
$I=I_1+(-I_2)$
$I=\cfrac{E_1}{R}-\cfrac{E_2}{R}[A]$ となります。
複数の電源と抵抗素子がある回路の計算
次のような回路の場合の、解析手順
- 図１で
- 複数の電源がある時は E1と E2の回路に分解して計算をする。
- 計算する回路の電源以外は、無いものとして計算する。
電源ごとに計算する
図１の回路を電源 E1の図1-aと図1-bの回路に分解して、それぞれの回路を単独なものとして計算する。
図1-aの回路を計算する。
図1-aの回路の合成抵抗 $R_{0a}$ は $R_2$と $R_3$ の並列接続に、 $R_1$ が直列に接続されている回路です。
合成抵抗 $R_{0a}$ は次のようになります。
$R_{0a}=R_1+\cfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}$
\(I_{1a}\) はオームの法則から
$I_{1a}=\cfrac{E_1}{R_{0a}}=\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
\(R_2とR_3\) は抵抗の並列接続なので流れる電流 \(I_{2a}とI_{3a}\) は、 \(I_{1a}\) の逆比例になります。
$I_{1a}=\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{2a}=I_{1a}×\cfrac{R_3}{R_2+R_3}=\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{3a}=I_{1a}×\cfrac{R_2}{R_2+R_3}=\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
図1-bの回路を計算する。
同じように、図1-ｂの回路を計算すると次のようになります。
合成抵抗 $R_{0b}$ は次のようになります。
$R_{0b}=R_2+\cfrac{R_1R_3}{R_1+R_3}$
\(I_{2b}\) はオームの法則から
$I_{2b}=\cfrac{E_2}{R_{0b}}=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
\(R_1とR_3\) は抵抗の並列接続なので流れる電流 \(I_{1b}とI_{3b}\) は、 \(I_{2b}\) の逆比例になります。
$I_{2b}=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{1b}=I_{2b}×\cfrac{R_3}{R_1+R_3}=\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{3b}=I_{2b}×\cfrac{R_1}{R_1+R_3}=\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
電源ごとの電流を合成する
合成するときに各電流の方向に注意しなければなりません。
合成する時は、電源 $E_1$ から流れる方向をプラスと仮定すると、電流 $I_1$ の場合、
$I_{1a}$ は電源 $E_1$ と同方向なのでプラスとなり、 $I_{1b}$ は逆方向なのでマイナスになります。
各電流値
$I_1=I_{1a}-I_{1b}$
$I_2=I_{2b}-I_{2a}$
$I_3=I_{3a}+I_{3b}$
$I_{1a}=\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{2a}=\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{3a}=\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{2b}=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{1b}=\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_{3b}=\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_1,I_2,I_3$ の各電流を計算する。
$I_1=I_{1a}-I_{1b}$
$I_2=I_{2b}-I_{2a}$
$I_3=I_{3a}+I_{3b}$
$I_1= \cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}-\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_1 = \cfrac{E_1(R_2+R_3)-E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_2=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}-\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_2=\cfrac{E_2(R_1+R_3)-E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_3=\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}+\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
$I_3 =\cfrac{E_1R_2+E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$
計算例
例題 1の各電流を求める
重ね合わせの理で電源ごとに分けて計算する
$I_1=I_{1a}-I_{1b}$
$I_2=I_{2b}-I_{2a}$
$I_3=I_{3a}+I_{3b}$
電源ごとに電流を計算する
・回路-aから見た合成抵抗 $R_a$
$R_a=8+\cfrac{4×2}{4+2}=\cfrac{28}{3}$
・回路-bから見た合成抵抗 $R_b$
$R_b=2+\cfrac{8×4}{8+4}=\cfrac{14}{3}$
・回路-aの各電流は次のようになります。
$I_{1a}=\cfrac{9}{7}、I_{2a}=\cfrac{6}{7}、I_{3a}=\cfrac{3}{7}$
・回路-bの各電流は次のようになります。
$I_{1b}=\cfrac{4}{7}、I_{2b}=\cfrac{12}{7}、I_{3b}=\cfrac{8}{7}$
・回路-aと回路-bの数値を合成する
$I_1=I_{1a}-I_{1b}=\cfrac{5}{7}$
$I_2=I_{2b}-I_{2a}=\cfrac{6}{7}$
$I_3=I_{3a}+I_{3b}=\cfrac{11}{7}$
以上で「重ね合わせの理の解析手順」の説明を終わります。
