重ね合わせの理の解析手順

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重ね合わせの理の解析手順

重ね合わせの理とは一つの回路中に、「複数の電源(起電力)がある場合に、各枝路に流れる電流は、各電源(起電力)がそれぞれ単独にあるときに、その枝路に流れる電流の和に等しい」というものです。

重ね合わせの理の解析手順の説明

手順 1

解析対象回路の電源(起電力)を一つだけ残して、他の電源(起電力)を短絡した回路に分離します。

この「手順1」を他の電源(起電力)に対して、電源(起電力)の数だけ行います。

手順 2

電源(起電力)を一つだけ残した回路の各枝路の電流を、それぞれの電源(起電力)ごとの回路について算出します。

手順 3

各電源(起電力)ごとに求めた、それぞれの枝路電流を、各枝路電流ごとに、その和を求めます。

重ね合わせの理の利点

重ね合わせの理の利点は、回路中に一つの電源(起電力)しか含まれていないように置きかえるので、抵抗の直列接続、並列接続の回路として扱えるので、計算が容易になります。

重ね合わせの理による電源の分離回路の作り方

電源が二つある回路について、「重ね合わせの理」の適用の手順を説明します

手順 1

  • (a)の解析回路を(b)の回路ように、電源$E_1$ だけを残して、他の電源を短絡した回路に分離します。
  • 同様に、(c)の回路のように、電源$E_2$ だけを残して、他の電源を短絡した回路に分離します。
  • (a)の解析回路の電流$I$ のように時計方向の電流の向きを正(プラス)と仮定します。(この電流の基準の向きはどちらに決めても構いません。)

手順 2

(b)の電源 $E_1$ だけの回路で、オームの法則により枝路電流 $I_1$ を求めます。枝路電流 $I_1$ は(a)の解析回路の電流と同じ時計方向なので、 $+I_1$ です。

$+I_1=\frac{E_1}{R}[A]$

手順 3

(c)の電源 $E_2$ だけの回路で、オームの法則により枝路電流 $I_2$ を求めます。枝路電流 $I_2$ は(a)の解析回路の電流と反対方向なので、 $-I_2$ です。

$-I_2=-\frac{E_2}{R}[A]$

手順 4

解析回路の電流$I$ は電流 $+I_1$ と電流 $-I_2$ の和になります。

$I=I_1+(-I_2)$

$I=\cfrac{E_1}{R}-\cfrac{E_2}{R}[A]$ となります。

複数の電源と抵抗素子がある回路の計算

次のような回路の場合の、解析手順

    図1で

  • 複数の電源がある時は E1と E2の回路に分解して計算をする。
  • 計算する回路の電源以外は、無いものとして計算する。

電源ごとに計算する

図1の回路を電源 E1の図1-aと図1-bの回路に分解して、それぞれの回路を単独なものとして計算する。

図1-aの回路を計算する。

図1-aの回路の合成抵抗 $R_{0a}$ は $R_2$と $R_3$ の並列接続に、 $R_1$ が直列に接続されている回路です。

合成抵抗 $R_{0a}$ は次のようになります。

$R_{0a}=R_1+\cfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}$

\(I_{1a}\) はオームの法則から

$I_{1a}=\cfrac{E_1}{R_{0a}}=\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

\(R_2とR_3\) は抵抗の並列接続なので流れる電流 \(I_{2a}とI_{3a}\) は、 \(I_{1a}\) の逆比例になります。

$I_{1a}=\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{2a}=I_{1a}×\cfrac{R_3}{R_2+R_3}=\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{3a}=I_{1a}×\cfrac{R_2}{R_2+R_3}=\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

図1-bの回路を計算する。

同じように、図1-bの回路を計算すると次のようになります。

合成抵抗 $R_{0b}$ は次のようになります。

$R_{0b}=R_2+\cfrac{R_1R_3}{R_1+R_3}$

\(I_{2b}\) はオームの法則から

$I_{2b}=\cfrac{E_2}{R_{0b}}=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

\(R_1とR_3\) は抵抗の並列接続なので流れる電流 \(I_{1b}とI_{3b}\) は、 \(I_{2b}\) の逆比例になります。

$I_{2b}=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{1b}=I_{2b}×\cfrac{R_3}{R_1+R_3}=\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{3b}=I_{2b}×\cfrac{R_1}{R_1+R_3}=\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

電源ごとの電流を合成する

合成するときに各電流の方向に注意しなければなりません。

合成する時は、電源 $E_1$ から流れる方向をプラスと仮定すると、電流 $I_1$ の場合、

$I_{1a}$ は電源 $E_1$ と同方向なのでプラスとなり、 $I_{1b}$ は逆方向なのでマイナスになります。


各電流値

$I_1=I_{1a}-I_{1b}$

$I_2=I_{2b}-I_{2a}$

$I_3=I_{3a}+I_{3b}$

$I_{1a}=\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{2a}=\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{3a}=\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{2b}=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{1b}=\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_{3b}=\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_1,I_2,I_3$ の各電流を計算する。

$I_1=I_{1a}-I_{1b}$

$I_2=I_{2b}-I_{2a}$

$I_3=I_{3a}+I_{3b}$

$I_1= \cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}-\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_1 = \cfrac{E_1(R_2+R_3)-E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_2=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}-\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_2=\cfrac{E_2(R_1+R_3)-E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_3=\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}+\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_3 =\cfrac{E_1R_2+E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

計算例

例題 1の各電流を求める

重ね合わせの理で電源ごとに分けて計算する

$I_1=I_{1a}-I_{1b}$

$I_2=I_{2b}-I_{2a}$

$I_3=I_{3a}+I_{3b}$

電源ごとに電流を計算する

・回路-aから見た合成抵抗 $R_a$

$R_a=8+\cfrac{4×2}{4+2}=\cfrac{28}{3}$

・回路-bから見た合成抵抗 $R_b$

$R_b=2+\cfrac{8×4}{8+4}=\cfrac{14}{3}$

・回路-aの各電流は次のようになります。

$I_{1a}=\cfrac{9}{7}、I_{2a}=\cfrac{6}{7}、I_{3a}=\cfrac{3}{7}$

・回路-bの各電流は次のようになります。

$I_{1b}=\cfrac{4}{7}、I_{2b}=\cfrac{12}{7}、I_{3b}=\cfrac{8}{7}$

・回路-aと回路-bの数値を合成する

$I_1=I_{1a}-I_{1b}=\cfrac{5}{7}$

$I_2=I_{2b}-I_{2a}=\cfrac{6}{7}$

$I_3=I_{3a}+I_{3b}=\cfrac{11}{7}$

以上で「重ね合わせの理の解析手順」の説明を終わります。

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