重ね合わせの理の解析手順




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重ね合わせの理の解析手順

重ね合わせの理とは一つの回路中に、「複数の電源(起電力)がある場合に、各枝路に流れる電流は、各電源(起電力)がそれぞれ単独にあるときに、その枝路に流れる電流の和に等しい」というものです。

重ね合わせの理の解析手順の説明

手順 1

解析対象回路の電源(起電力)を一つだけ残して、他の電源(起電力)を短絡した回路に分離します。

この「手順1」を他の電源(起電力)に対して、電源(起電力)の数だけ行います。

手順 2

電源(起電力)を一つだけ残した回路の各枝路の電流を、それぞれの電源(起電力)ごとの回路について算出します。

手順 3

各電源(起電力)ごとに求めた、それぞれの枝路電流を、各枝路電流ごとに、その和を求めます。

重ね合わせの理の利点

重ね合わせの理の利点は、回路中に一つの電源(起電力)しか含まれていないように置きかえるので、抵抗の直列接続、並列接続の回路として扱えるので、計算が容易になります。

重ね合わせの理による電源の分離回路の作り方

電源が二つある回路について、「重ね合わせの理」の適用の手順を説明します

手順 1

  • (a)の解析回路を(b)の回路ように、電源 \(E_1\) だけを残して、他の電源を短絡した回路に分離します。
  • 同様に (c) の回路のように、電源 \(E_2\) だけを残して、他の電源を短絡した回路に分離します。
  • (a)の解析回路の電流 \(I\) のように時計方向の電流の向きを正(プラス)と仮定します。(この電流の基準の向きはどちらに決めても構いません。)

手順 2

(b)の電源 \(E_1\) だけの回路で、オームの法則により枝路電流 \(I_1\) を求めます。枝路電流 \(I_1\) は(a)の解析回路の電流と同じ時計方向なので、\(+I_1\) です。

\(+I_1=\cfrac{E_1}{R}\) [A]

手順 3

(c)の電源 \(E_2\) だけの回路で、オームの法則により枝路電流 \(I_2\) を求めます。枝路電流 \(I_2\) は(a)の解析回路の電流と反対方向なので、\(-I_2\) です。

\(-I_2=-\cfrac{E_2}{R}\) [A]

手順 4

解析回路の電流 \(I\) は電流 \(+I_1\) と電流 \(-I_2\) の和になります。

\(I=I_1+(-I_2)\)

\(I=\cfrac{E_1}{R}-\cfrac{E_2}{R}\) [A] となります。

複数の電源と抵抗素子がある回路の計算

次のような回路の場合の、解析手順

    図1で

  • 複数の電源がある時は E1 と E2 の回路に分解して計算をする。
  • 計算する回路の電源以外は、無いものとして計算する。

電源ごとに計算する

図1の回路を電源 E1 の図1-a と図1-b の回路に分解して、それぞれの回路を単独なものとして計算する。

図1-aの回路を計算する。

図1-aの回路の合成抵抗 \(R_{0a}\) は \(R_2\) と \(R_3\) の並列接続に、\(R_1\) が直列に接続されている回路です。

合成抵抗 \(R_{0a}\) は次のようになります。

\(R_{0a}=R_1+\cfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}\)

\(I_{1a}\) はオームの法則から

\(I_{1a}=\cfrac{E_1}{R_{0a}}\)=\(\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(R_2とR_3\) は抵抗の並列接続なので流れる電流 \(I_{2a}とI_{3a}\) は、\(I_{1a}\) の逆比例になります。

\(I_{1a}=\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{2a}=I_{1a}×\cfrac{R_3}{R_2+R_3}\)=\(\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{3a}=I_{1a}×\cfrac{R_2}{R_2+R_3}\)=\(\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

図1-bの回路を計算する。

同じように、図1-bの回路を計算すると次のようになります。

合成抵抗 \(R_{0b}\) は次のようになります。

\(R_{0b}=R_2+\cfrac{R_1R_3}{R_1+R_3}\)

\(I_{2b}\) はオームの法則から

\(I_{2b}=\cfrac{E_2}{R_{0b}}\)=\(\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(R_1とR_3\) は抵抗の並列接続なので流れる電流 \(I_{1b}とI_{3b}\) は、\(I_{2b}\) の逆比例になります。

\(I_{2b}=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{1b}=I_{2b}×\cfrac{R_3}{R_1+R_3}\)=\(\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{3b}=I_{2b}×\cfrac{R_1}{R_1+R_3}\)=\(\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

電源ごとの電流を合成する

合成するときに各電流の方向に注意しなければなりません。

合成する時は、電源 \(E_1\) から流れる方向をプラスと仮定すると、電流\(I_1\) の場合、

\(I_{1a}\) は電源 \(E_1\) と同方向なのでプラスとなり、\(I_{1b}\) は逆方向なのでマイナスになります。


各電流値

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}\)

\(I_2=I_{2b}-I_{2a}\)

\(I_3=I_{3a}+I_{3b}\)

\(I_{1a}=\cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{2a}=\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{3a}=\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{2b}=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{1b}=\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_{3b}=\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_1,I_2,I_3\) の各電流を計算する。

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}\)

\(I_2=I_{2b}-I_{2a}\)

\(I_3=I_{3a}+I_{3b}\)

\(I_1= \cfrac{E_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)-\(\cfrac{E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_1 = \cfrac{E_1(R_2+R_3)-E_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_2=\cfrac{E_2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)-\(\cfrac{E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_2=\cfrac{E_2(R_1+R_3)-E_1R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_3=\cfrac{E_1R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)+\(\cfrac{E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

\(I_3 =\cfrac{E_1R_2+E_2R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)

計算例

例題 1の各電流を求める

重ね合わせの理で電源ごとに分けて計算する

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}\)

\(I_2=I_{2b}-I_{2a}\)

\(I_3=I_{3a}+I_{3b}\)

電源ごとに電流を計算する

・回路-aから見た合成抵抗 \(R_a\)

\(R_a=8+\cfrac{4×2}{4+2}=\cfrac{28}{3}\)

・回路-bから見た合成抵抗 \(R_b\)

\(R_b=2+\cfrac{8×4}{8+4}=\cfrac{14}{3}\)

・回路-aの各電流は次のようになります。

\(I_{1a}=\cfrac{9}{7}、I_{2a}=\cfrac{6}{7}、I_{3a}=\cfrac{3}{7}\)

・回路-bの各電流は次のようになります。

\(I_{1b}=\cfrac{4}{7}、I_{2b}=\cfrac{12}{7}、I_{3b}=\cfrac{8}{7}\)

・回路-aと回路-bの数値を合成する

\(I_1=I_{1a}-I_{1b}=\cfrac{5}{7}\)

\(I_2=I_{2b}-I_{2a}=\cfrac{6}{7}\)

\(I_3=I_{3a}+I_{3b}=\cfrac{11}{7}\)

以上で「重ね合わせの理の解析手順」の説明を終わります。




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